Pregunta 1: En Δ ABC, si ∠A = 40° y ∠B = 60°. Determina los lados más largo y más corto del triángulo.
Solución:
Dado que en ΔABC, ∠A = 40° y ∠B = 60°
Para encontrar: lado más largo y más corto
Lo sabemos,
Suma de ángulos en un triángulo 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + 60° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 100° = 80°
∠C = 80°
Ahora,
⟹ 40° < 60° < 80° = ∠A < ∠B < ∠C
⟹ ∠C es el ángulo mayor y ∠A es el ángulo menor.
Ahora, ∠A < ∠B < ∠C
⟹ BC < AC < AB [El lado opuesto al ángulo mayor es mayor y el lado opuesto al ángulo menor es menor]
AB es el lado más largo y BC es el lado más corto.
Pregunta 2: En un Δ ABC, si ∠B = ∠C = 45°, ¿cuál es el lado más largo?
Solución:
Dado que en ΔABC,
ΔABC, ∠B = ∠C = 45°
Para encontrar: lado más largo
Lo sabemos.
Suma de ángulos en un triángulo = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 45° + 45° = 180°
∠A = 180° – (45° + 45°) = 180° – 90° = 90°
∠A = 90°
Pregunta 3: En Δ ABC, el lado AB se produce a D para que BD = BC. Si ∠B = 60° y ∠A = 70°. Demuestre que: (i) AD > CD (ii) AD > AC
Solución:
Dado que, en Δ ABC, el lado AB se produce a D de modo que BD = BC.
∠B = 60° y ∠A = 70°
Probar:
(i) AD > CD (ii) AD > AC
Primero une C y D
Lo sabemos,
Suma de ángulos en un triángulo = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
70° + 60° + ∠C = 180°
∠C = 180° – (130°) = 50°
∠C = 50°
∠ACB = 50° … (i)
También en Δ BDC
∠DBC =180 – ∠ABC [ABD es un ángulo recto]
180 – 60° = 120°
y también BD = BC[dado]
∠BCD = ∠BDC [Los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales]
Ahora,
∠DBC+ ∠BCD + ∠BDC = 180° [Suma de los ángulos de un triángulo =180°]
⟹ 120° + ∠BCD + ∠BCD = 180°
⟹ 120° + 2∠ BCD = 180°
⟹ 2∠BCD = 180° – 120° = 60°
⟹ ∠BCD = 30°
⟹ ∠BCD = ∠BDC = 30° …. (ii)
Ahora, considere ΔADC.
∠BAC ⟹ ∠DAC = 70° [dado]
∠BDC ⟹ ∠ADC = 30° [De (ii)]
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD
= 50° + 30°[De (i) y (ii)] = 80°
Ahora, ∠ADC < ∠DAC < ∠ACD
AC < DC < AD [El lado opuesto al ángulo mayor es más largo y el ángulo más pequeño es más pequeño]
AD > CD y AD > AC
Por lo tanto probado
Pregunta: 4 ¿Es posible dibujar un triángulo con lados de 2 cm, 3 cm y 7 cm de longitud?
Solución:
Las longitudes dadas de los lados son 2 cm, 3 cm y 7 cm.
Para comprobar si es posible dibujar un triángulo con las longitudes de lados dadas
Lo sabemos,
Solo se puede dibujar un triángulo cuando la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado.
Por lo tanto, vamos a comprobar la regla.
2 + 3 < 7 [la suma de dos lados cualesquiera no es mayor que el tercer lado, por lo que no cumple la condición del triángulo]
2 + 7 > 3
y 3 + 7 > 2
Por lo tanto, el triángulo no existe.
Pregunta: 5 O es cualquier punto en el interior de Δ ABC. Pruebalo.
(i) AB + AC > OB + OC
(ii) AB + BC+ CA > OA + QB + OC
(iii) OA + OB + OC > (1/2)(AB + BC+CA)
Solución:
Dado que O es cualquier punto en el interior de ΔABC
Probar
(i) AB + AC > OB + OC
(ii) AB + BC+ CA > OA + QB + OC
(iii) OA + OB + OC > (1/2)(AB + BC+CA)
Sabemos que en un triángulo la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado.
Entonces tenemos
en ΔABC
AB + BC > CA
BC+ AC > AB
CA + AB > BC
en ΔOBC
OB + OC > BC … (i)
en ΔOAC
OA + OC > AC… (ii)
En ΔOAB
OA + OB > AB … (iii)
Ahora, extienda BO para encontrarse con AC en D.
Ahora, en ΔABD, tenemos
AB + AD > BD
AB + AD > BO + OD … (iv) [BD = BO + OD]
De manera similar, en ΔODC, tenemos
OD + DC > OC… (v)
(i) Sumando (iv) y (v), obtenemos
AB + AD + OD + DC > BO + OD + OC
AB + (AD + DC) > OB + OC
AB + AC > OB + OC… (vi)
Del mismo modo, tenemos
BC+ BA > OA + OC… (vii)
y CA+ CB > OA + OB… (viii)
(ii) Sumando las ecuaciones (vi), (vii) y (viii), obtenemos
AB + AC+ BC+ BA + CA + CB > OB + OC+ OA + OC+ OA + OB
⟹ 2AB + 2BC+ 2CA > 2OA + 2OB + 2OC
⟹ 2(AB + BC+ CA) > 2(OA + OB + OC)
⟹ AB + BC+ CA > OA + OB + OC
(iii) Sumar las ecuaciones (i), (ii) y (iii)
OB + OC+ OA + OC+ OA + OB > BC+ AC+ AB
2OA + 2OB + 2OC > AB + BC+ CA
Obtenemos = 2(OA + OB + OC) > AB + BC+CA
(OA + OB + OC) > (1/2)(AB + BC+CA)
Pregunta: 6 Demuestra que el perímetro de un triángulo es mayor que la suma de sus alturas.
Prueba:
Sabemos que de todos los segmentos que se pueden dibujar a una línea dada, desde un punto que no se encuentra sobre ella, la distancia perpendicular, es decir, el segmento de línea perpendicular es el más corto.
Por lo tanto
dC ⊥ aC
AB > AD y AC > AD
AB + AC > 2AD…. (i)
SER ⊥ CA
BA > BE y BC > BE
BA + BC > 2BE… (ii)
CF ⊥ AB
CA > CF y CB > CF
CA + CB > 2CF… (iii)
Sumando (i), (ii) y (iii), obtenemos
AB + AC+ BA + BC+ CA + CB > 2AD + 2BE + 2CF
2AB + 2BC+ 2CA > 2(AD + BE + CF)
AB + BC+ CA > AD + BE + CF
El perímetro del triángulo es mayor que la suma de sus alturas
Por lo tanto probado
Pregunta 7: En la Fig., demuestre que:
(i) CD + DA + AB + BC > 2AC
(ii) CD + DA + AB > BC
Solución:
Probar
(i) CD + DA + AB + BC > 2AC
(ii) CD + DA+ AB > BC
Sabemos que en un triangulo la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado
(Yo asi,
En ΔABC tenemos
AB + BC > AC…. (i)
En ΔADC, tenemos
CD + DA > AC…. (ii)
Sumando (i) y (ii), obtenemos
AB + BC+ CD + DA > AC+ AC
AB + BC+ CD + DA > 2AC
(ii) Ahora, en Δ ABC, tenemos,
AB + AC > BC… (iii)
Y en ΔADC, tenemos
CD + DA > CA
Añadir AB en ambos lados
CD + DA + AB > AC+ AB
De la ecuación (iii) y (iv), obtenemos,
CD + DA + AB > AC+ AB > BC
CD + DA + AB > BC
Por lo tanto probado
Pregunta 8: ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F)?
(i) La suma de los tres lados de un triángulo es menor que la suma de sus tres alturas.
(ii) La suma de cualquiera de los dos lados de un triángulo es mayor que el doble de la mediana hacia el tercer lado
(iii) La suma de cualquiera de los dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado.
(iv) La diferencia de dos lados cualesquiera de un triángulo es igual al tercer lado.
(v) Si dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces el ángulo mayor tiene el lado mayor opuesto a él.
(vi) De todos los segmentos de línea que se pueden trazar desde un punto hasta una línea que no lo contiene, el segmento de línea perpendicular es el más corto.
Solución:
(i) Falso porque la suma de los tres lados de un triángulo es mayor que la suma de sus tres alturas
(ii) Verdadero
(iii) Verdadero
(iv) Falso porque la diferencia de dos lados cualesquiera de un triángulo es menor que el tercer lado.
(v) Cierto porque el lado opuesto al ángulo mayor es el más largo en un triángulo.
(vi) Verdadero porque la distancia perpendicular es la distancia más corta de un punto a una línea que no lo contiene.
Pregunta 9: Completa los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.
(i) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado ____________.
(ii) La suma de las tres alturas de un triángulo es ____________ que su perímetro.
(iii) La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es ____________ que el tercer lado.
(iv) Si dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces el ángulo más pequeño tiene el lado ____________ opuesto a él.
(v) La diferencia de dos lados cualesquiera de un triángulo es ____________ que el tercer lado.
(vi) Si dos lados de un triángulo son desiguales, entonces el lado más grande tiene un ángulo ____________ opuesto a él.
Solución:
(i) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado más grande
(ii) La suma de las tres alturas de un triángulo es menor que su perímetro.
(iii) La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado.
(iv) Si dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces el ángulo más pequeño tiene el lado más pequeño opuesto a él.
(v) La diferencia de dos lados cualesquiera de un triángulo es menor que el tercer lado.
(vi) Si dos lados de un triángulo son desiguales, entonces el lado mayor tiene un ángulo mayor opuesto a él.
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Artículo escrito por manandeep16 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA