Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Fórmula de Heron – Ejercicio 12.1

Pregunta 1. Encuentra el área de un triángulo cuyos lados miden respectivamente 150 cm, 120 cm y 200 cm.

Solución:

Por la fórmula de Heron, tenemos,

Área del triángulo = $\sqrt[]{s(sa)(sb)(sc)}$

Semiperímetro, s = (a + b + c)/2

donde a, b y c son lados del triangulo

Tenemos,

a = 150cm

b = 120 cm

c = 200cm

Paso 1: Calcular s

s = (a+b+c)/2

s = (150+200+120)/2

m = 235 cm

Paso 2: Calcular el área de un triángulo

$Área= \sqrt[]{235(235-120)(235-150)(235-200) } \\ =\sqrt[]{235(35)(115)(85) } \\=\sqrt[] {8093375}$

= 8966.56

El área del triángulo es 8966.56 cm2.

Pregunta 2. Encuentra el área de un triángulo cuyos lados miden respectivamente 9 cm, 12 cm y 15 cm.

Solución:

Por la fórmula de Heron, tenemos,

Área del triángulo = \sqrt[]{s(sa)(sb)(sc)}

Semiperímetro, s = (a + b + c)/2

donde a, b y c son lados del triangulo

Tenemos,

a = 9cm

b = 12 cm

c = 15 cm

Paso 1: Calcular s

s = (a+b+c)/2

s = (9 + 12 + 15)/2

m = 18 cm

Paso 2: Calcular el área de un triángulo

$Área= \sqrt[]{18(18-9)(18-12)(18-15) } \\ =\sqrt[]{18 * 9 * 6 * 3} \\=\sqrt[]{2916}$

= 54

El área del triángulo es de 54 cm cuadrados.

Pregunta 3. Encuentra el área de un triángulo cuyos lados miden 18 cm y 10 cm y el perímetro es 42 cm.

Solución:

Tenemos,

a = 18 cm, b = 10 cm y perímetro = 42 cm

Supongamos que c es el tercer lado del triángulo.

Paso 1: Cálculo del tercer lado del triángulo, es decir c,

Sabemos, perímetro = 2s,

2s = 42

s = 21

También,

s = (a+b+c)/2

Sustituyendo s, obtenemos

21 = (18+10+c)/2

42 = 28 + c

c = 14 cm

Paso 2: Cálculo del área del triángulo,

$Area= \sqrt[]{21(21-18)(21-10)(21-14) } \\ =\sqrt[]{21 * 3 * 11 * 7} \\=21\sqrt[]{11}$

Pregunta 4. En un triángulo ABC, AB = 15cm, BC = 13cm y AC = 14cm. Encuentre el área del triángulo ABC y, por lo tanto, su altura en AC.

Solución:

Por la fórmula de Heron, tenemos,

Área del triángulo =\sqrt[]{s(sa)(sb)(sc)}

Semiperímetro, s = (a + b + c)/2

donde a, b y c son lados del triangulo

Tenemos,

a = 150cm

b = 120 cm

c = 200cm

Paso 1: Calcular s

s = (a+b+c)/2

s = (15+13+14)/2

m = 21 cm

Paso 2: Calcular el área de un triángulo

$Area= \sqrt[]{21(21-13)(21-14)(21-15) } \\ =\sqrt[]{21 * 8 * 7 * 6} \\=\sqrt[]{7056}$

= 84

Área = 84 cm ²

Supongamos que BE es una perpendicular sobre AC

Sabemos, área del triángulo = ½ x Base x Altura

=> ½ × BE × AC = 84

SER = 12cm

Por lo tanto, la longitud de la altura es de 12 cm.

Pregunta 5. El perímetro de un terreno triangular es de 540 my sus lados están en la razón 25:17:12. Encuentra el área del triángulo.

Solución:

Sean los lados de un triángulo dado a = 25x, b = 17x, c = 12x respectivamente,

Tenemos, Perímetro del triángulo = 540 cm

Además, Perímetro = 2s

2s = a + b + c

=> a + b + c = 540 cm

=> 25x + 17x + 12x = 540cm

=> 54x = 540cm

=> x = 10 cm

Entonces, los lados de un triángulo son

a = 250cm

b = 170cm

c = 120cm

Además, semiperímetro, s = (a+b+c)/2

= 540/2

= 270

m = 270 cm

Y,

$Area= \sqrt[]{270(270-250)(270-170)(270-120) } \\ =\sqrt[]{270 * 20 * 100 * 150} \\=\sqrt[]{81000000}$

= 9000

Por lo tanto, el área del triángulo es 9000 cm2.

Pregunta 6. El perímetro de un campo triangular es de 300 my sus lados están en la proporción 3:5:7. Encuentra el área del triángulo.

Solución:

Sean los lados de un triángulo dado a = 3x, b = 5x, c = 7x respectivamente,

Tenemos, Perímetro del triángulo = 300 m

Además, Perímetro = 2s

2s = a + b + c

=> a + b + c = 300 m

=> 3x + 5x + 7x = 300 metros

=> 15x = 300 metros

=> x = 20 cm

Entonces, los lados de un triángulo son

a = 60 metros

b = 100 m

c = 140 metros

Además, semiperímetro, s = (a+b+c)/2

= 300/2

= 150

s = 150 metros

Y,

$Area= \sqrt[]{150(150-60)(150-100)(150-140) } \\ =\sqrt[]{150 * 90 * 50 * 10} \\=1500\sqrt[]{3}$

Por lo tanto, el área del triángulo es 1500\sqrt[]{3} cm2.

Pregunta 7. El perímetro del campo triangular es 240dm. Si dos de sus lados miden 78 dm y 50 dm, encuentra la longitud de la perpendicular del lado 50 dm desde el vértice opuesto.

Solución:

Semiperímetro, s = (a + b + c)/2

donde a, b y c son lados del triangulo

perímetro = 2s

2s = 240dm

s = 120dm

Sea x el tercer lado.

Ahora,

120 = (78 + 50 + x)/2

x = 112 dm

Calculando el área del triángulo, tenemos,

$Area= \sqrt[]{120(120-112)(120-50)(120-78) } \\ =\sqrt[]{(3 * 8 * 7 * 10)^2} \\=\sqrt[]{3 * 8 * 7 * 10} \\={3 * 8 * 7 * 10} sq. dm. \\={1680} sq. dm.$

Supongamos que la longitud de la altura de longitud 50dm sea a.

Sabemos, área del triángulo = ½ x Base x Altura

=> ½ × un × 50 = 1680

EB = 67,2 dm

Por lo tanto, la longitud de la altura es 67,2 dm.

Pregunta 8. Un triángulo tiene lados de 35 cm, 54 cm y 61 cm. Encuentra su área. Encuentra la altitud más pequeña.

Solución:

Semiperímetro, s = (a + b + c)/2

donde a, b y c son lados del triangulo

s = (34+54+61)/2

=75cm

Calculando el área del triángulo, tenemos,

$Area= \sqrt[]{75(75-35)(75-54)(75-61) } \\ =\sqrt[]{(75 * 40 * 21 * 14)^2} \\=\sqrt[]{(5 * 3 * 7 * 2)^2 * 2 * 5} \\={5 * 3 * 7 * 2}\sqrt{10} sq. cm. \\={420}\sqrt{5} sq. cm.$

Supongamos que la longitud de la altura de longitud 50dm sea a.

Sabemos, área del triángulo = ½ x Base x Altura

Para diferentes medidas, el área permanece constante.

La altura más pequeña siempre se encuentra en el lado más largo.

$½ × a × 61 = 420 \sqrt{5}$

=> un = 30,79 cm

Por lo tanto, la longitud de la altura = 30,79 cm

Pregunta 9. El perímetro de un campo triangular es de 144 cm y sus lados están en la razón 3:4:5. Encuentra el área del triángulo y la altura correspondiente al lado más largo.

Solución:

Sean los lados de un triángulo dado a = 3x, b = 4x, c = 5x respectivamente,

Tenemos, Perímetro del triángulo = 144 cm

Además, Perímetro = 2s

2s = a + b + c

=> a + b + c = 144 cm

=> 3x + 4x + 5x = 144cm

=> 12x = 144cm

=> x = 12 cm

Entonces, los lados de un triángulo son

a = 36cm

b = 48 metros

c = 60 metros

Además, semiperímetro, s = (a+b+c)/2

= 144/2

= 72

m = 72 cm

Y,

$Area= \sqrt[]{72(72-60)(72-48)(72-36) } \\ =\sqrt[]{72 * 12 * 24 * 36}$ \\=1500\sqrt[]{3}

= 9,6 cm

Pregunta 10. El perímetro del triángulo isósceles es de 42 cm, y su base (3/2) por cada uno de sus lados iguales. Encuentra la longitud de cada lado.

Solución:

Sean los lados iguales a.

Entonces, base = 3/2a

Perímetro del triángulo = 3/2a + a + a

7a/2 = 42cm

= 12 cm

Por lo tanto, los lados del triángulo son, 12 cm es cada uno de los lados iguales

y 3/2a = 18 cm = base

Semiperímetro = 42/2 cm = 21 cm

Por la fórmula de garza,

$Area= \sqrt[]{21(21-12)(21-18)(21-12) } \\ =\sqrt[]{21 * 3 * 9 * 9} \\=\sqrt[]{7 * 3 * 3 * 9 * 9} \\={27}\sqrt{7} sq. cm. \\=71.43 sq. cm.$

Sabemos, área del triángulo = ½ x Base x Altura

Sustituyendo los valores que obtenemos,

1/2 x alto x 18 = 71,43 cm

alto = 7,92 cm

Pregunta 11. Encuentra el área de la región sombreada

Solución:

Por el teorema de Pitágoras,

AB ² = AD ² + BD ²

$AB = \sqrt[]{AB^2 + BD^2} \\AB = \sqrt[]{12^2 + 16^2} \\AB = \sqrt[]{144 + 256} \\AB = \sqrt[]{400} AB = 20cm$

En el triángulo ABC,

Perímetro = AB + BC+ AC = 20cm + 52cm + 48cm

= 120cm

Ahora,

s = 120/2 = 60 cm

Área del triángulo por la fórmula de heron,

$Area= \sqrt[]{60(60-20)(60-48)(60-52) } \\ =\sqrt[]{60 * 40 * 12 * 8} \\=\sqrt[]{(8 * 8 * 6 * 6 * 10 * 10)} \\=\sqrt[]{(8 * 6 * 10)^2} \\=480 sq. cm.$

Área del triángulo ABD = 1/2(AD)(BD)

1/2 (12)(16) cm2. = 96 cm2.

Área sombreada = área del triángulo ABC – área del triángulo ABD

= 480 – 96 cm2.

384 cm2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yippeee25 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra el área de un triángulo cuyos lados miden respectivamente 150 cm, 120 cm y 200 cm.

Pregunta 2. Encuentra el área de un triángulo cuyos lados miden respectivamente 9 cm, 12 cm y 15 cm.

Pregunta 3. Encuentra el área de un triángulo cuyos lados miden 18 cm y 10 cm y el perímetro es 42 cm.

Pregunta 4. En un triángulo ABC, AB = 15cm, BC = 13cm y AC = 14cm. Encuentre el área del triángulo ABC y, por lo tanto, su altura en AC.

Pregunta 5. El perímetro de un terreno triangular es de 540 my sus lados están en la razón 25:17:12. Encuentra el área del triángulo.

Pregunta 6. El perímetro de un campo triangular es de 300 my sus lados están en la proporción 3:5:7. Encuentra el área del triángulo.

Pregunta 7. El perímetro del campo triangular es 240dm. Si dos de sus lados miden 78 dm y 50 dm, encuentra la longitud de la perpendicular del lado 50 dm desde el vértice opuesto.

Pregunta 8. Un triángulo tiene lados de 35 cm, 54 cm y 61 cm. Encuentra su área. Encuentra la altitud más pequeña.

Pregunta 9. El perímetro de un campo triangular es de 144 cm y sus lados están en la razón 3:4:5. Encuentra el área del triángulo y la altura correspondiente al lado más largo.

Pregunta 10. El perímetro del triángulo isósceles es de 42 cm, y su base (3/2) por cada uno de sus lados iguales. Encuentra la longitud de cada lado.

Pregunta 11. Encuentra el área de la región sombreada

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