Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Fórmula de Heron – Ejercicio 12.2

Pregunta 1. Encuentra el área del cuadrilátero ABCD en el que AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm y AC = 5 cm.

Solución:

En el triángulo ABC del cuadrilátero ABCD

CA 2 = BC 2 + AB 2

25 = 9 + 16

Por lo tanto, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo que forma un ángulo recto en el punto R

Como sabemos que, Área del triángulo ABC = 12 × AB × BC

= 1/2 × 3 × 4 = 6 cm2

Del triángulo CAD,

Perímetro = 2s = AC+ CD + DA

2s = 5cm+ 4cm+ 5cm

2 s = 14 cm

m = 7 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √7 x (7 – 5) x (7 – 4) x (7 – 5) = 9,16 cm2

Área de ABCD = Área de ABC+ Área de CAD

= (6 + 9,16) cm2 = 15,16 cm2

Pregunta 2. Los lados de un campo cuadrilátero, tomados en orden, son 26 m, 27 m, 7 m, 24 m respectivamente. El ángulo contenido por los dos últimos lados es un ángulo recto. Encuentra su área.

Solución:

Dado que,

AB = 26 m, BC = 27 m, CD = 7 m, DA = 24 m

Se une la diagonal AC.

Ahora, en el triángulo ADC

Aplicando el teorema de Pitágoras,

CA 2 = AD 2 + CD 2

CA 2 = 14 2  + 7 2

CA = 25 m

Ahora Área del triángulo ABC,

Perímetro = 2s = AB + BC+ CA

2s = 26m + 27m + 25m

s = 39 metros

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo ABC = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 39 x (39 – 26) x (39 – 27) x (39 – 25) = 291,84 m2

Por lo tanto, el área de un triángulo es 291,84 m 2

Ahora para el área del triángulo ADC,

Perímetro = 2S = AD + CD + AC

= 25 metros + 24 metros + 7 metros

S = 28 metros

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo ADC = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 28 x (28 – 24) x (28 – 7) x (28 – 25) = 84 m 2

Por lo tanto, el área de un triángulo es 84m 2

Por lo tanto, Área del campo rectangular ABCD

= Área del triángulo ABC+ Área del triángulo ADC

= 291,84 + 84 = 375,8 m 2

Pregunta 3. Los lados de un cuadrilátero, tomados en orden de 5 m, 12 m, 14 m, 15 m respectivamente, y el ángulo contenido por los dos primeros lados es un ángulo recto. Encuentra su área.

Solución:

Dado que,

AB = 5 m, BC = 12 m, CD = 14 m y DA = 15 m

Únase a CA

Ahora el área del triángulo ABC = ½ × AB × BC

= 1/2 × 5 × 12 = 30 m 2

En el triángulo ABC, 

Aplicando el teorema de Pitágoras

CA 2 = AB 2 + BC 2

CA = √52 + 122 = 13 m

Ahora en el triángulo ADC,

Perímetro = 2s = AD + DC+ AC

2s = 15m + 14m + 13m

s = 21 metros

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 21 x (21 – 15) x (21 – 14) x (21 – 13) = 84 m 2

Área del cuadrilátero ABCD = Área del triángulo ABC+ Área del triángulo ADC

= (30 + 84) m2 = 114 m2

Pregunta 4. Un parque en forma de cuadrilátero ABCD, tiene ángulo C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m, AD = 8 m. ¿Cuánta área ocupa?

Solución:

Dado que,

Los lados de un cuadrilátero son AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m, DA = 8 m.

En el triángulo BCD, aplicar el teorema de Pitágoras

BD 2 = BC 2 + CD 2

DB 2 = 12 2 + 5 2

BD = 13 m.

Área del triángulo BCD = 1/2 × BC × CD

= 1/2 × 12 × 5 = 30 m 2

Ahora, en el triángulo ABD

Perímetro = 2s = 9 m + 8 m + 13 m

s = 15 metros

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 15 x (15 – 9) x (15 – 8) x (15 – 13) = 35,49 m2

Área del cuadrilátero ABCD = Área del triángulo ABD + Área del triángulo BCD

= (35,496 + 30) m 2 = 65,5 m 2 .

Pregunta 5. Dos lados paralelos de un trapecio miden 60 my 77 my los otros lados miden 25 my 26 m. ¿Encontrar el área del trapecio?

Solución:

Dado que,

Dos lados paralelos del trapecio son AB = 77 m y CD = 60 m

Los otros dos lados paralelos del trapecio son BC = 26 m, AD = 25 m

DE es perpendicular a AB y también CF es perpendicular a AB

Por lo tanto, DC = EF = 60 m

Sea AE = x

por lo tanto, BF = 77 – 60 – x

BF = 17 – x

En el triángulo ADE,

Usando el teorema de Pitágoras,

DE 2 = DA 2 − AE 2

ED 2 = 25 2 − x 2

En el triángulo BCF,

Usando el teorema de Pitágoras,

CF 2 = BC 2 − BF 2

CF 2 = 26 2 − (17 − x) 2

Aquí, DE = CF

por lo tanto, DE 2 = CF 2

25 2 − x 2 = 26 2 − (17 − x) 2

25 2 − x 2 = 26 2 − (17 2 − 34x + x 2 )

25 2 − x 2 = 26 2 − 17 2 + 34x + x 2

25 2 = 26 2 − 17 2 + 34x

x = 7

ED 2 = 25 2 − x 2

DE = √625 – 49

DE = 24m

Área del trapecio = 1/2 × (60 + 77) × 24

Por lo tanto, Área del trapecio = 1644 m 2

Pregunta 6. Halla el área de un rombo cuyo perímetro es de 80 m y una de cuyas diagonales es de 24 m.

Solución:

Dado que,

Perímetro de un rombo = 80 m y AC = 24 m

Como sabemos que, Perímetro de un rombo = 4 × lado = 4 × a

4 × a = 80 m

a = 20 metros

OA = 1/2 × CA

AO = 12 m

En el triángulo AOB,

OB 2 = AB 2 − OA 2

OB 2 = 20 2 − 12 2

OB = 16 m

Además, OB = OD porque la diagonal del rombo se biseca a 90°

Por lo tanto, BD = 2 OB = 2 × 16 = 32 m

Área del rombo = 1/2 × BD × AC

Área del rombo = 1/2 × 32 × 24

Área del rombo = 384 m 2

Pregunta 7. Una hoja de rombo, cuyo perímetro es de 32 m y cuya diagonal es de 10 m de largo, se pinta en ambos lados a razón de Rs 5 por metro cuadrado. Encuentre el costo de la pintura.

Solución:

Dado que,

Perímetro de un rombo = 32 m

Como sabemos que, Perímetro de un rombo = 4 × lado

4 × lado = 32 m

4 × a = 32 m

a = 8 metros

AC = 10 m (Dado)

OA = 12 × CA

OA = 12 × 10 = 5 m

Usando el teorema de Pitágoras,

OB 2 = AB 2 − OA 2

OB 2 = 8 2 − 5 2

OB = √39 m

BD = 2 × OB

BD = 2√39 m

Área de la hoja = 1/2 × BD × AC

Área de la hoja = 1/2 ×2√39 × 10

Por lo tanto, el costo de impresión en ambos lados a razón de Rs. 5 por m 2

= Rs 2 × 10√39 × 5 = Rs. 625

Pregunta 8. Halla el área del cuadrilátero ABCD en el que AD = 24 cm, el ángulo BAD = 90° y BCD forman un triángulo equilátero cuyos lados miden 26 cm. [Tome √3 = 1.73]

Solución:

Dado que, en un cuadrilátero ABCD en el que AD = 24 cm,

Ángulo MALO = 90°,

BCD es un triángulo equilátero y los lados BC = CD = BD = 26 cm.

En el triángulo BAD, aplicando el teorema de Pitágoras,

BA 2 = BD 2 − DA 2

BA 2 = 26 2 + 24 2

AB = √100 = 10 cm

Área del triángulo BAD = 1/2 × BA × AD

= 1/2 × 10 × 24 = 120 cm2

Área del triángulo equilátero = √3/4 × lado

Área del triángulo equilátero QRS = √3/4 × 26

Área del triángulo equilátero BCD = 292,37 cm 2

Por tanto, el área del cuadrilátero ABCD = Área del triángulo BAD + Área del triángulo BCD

El área del cuadrilátero ABCD = 120 + 292,37 = 412,37 cm 2

Pregunta 9. Encuentra el área del cuadrilátero ABCD en el que AB = 42 cm, BC = 21 cm, CD = 29 cm, DA = 34 cm y la diagonal BD = 20 cm.

Solución:

Dado que,

AB = 42 cm, BC = 21 cm, CD = 29 cm, DA = 34 cm y la diagonal BD = 20 cm.

Ahora, para el área del triángulo ABD,

Perímetro del triángulo ABD 2s = AB + BD + DA

2s = 34 cm + 42 cm + 20 cm

m = 48 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo ABD = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 48 x (48 – 42) x (48 – 20) x (48 – 34) = 33 6cm 2

Ahora, para el área del triángulo BCD,

Perímetro del triángulo BCD 2s = BC+ CD + BD

2s = 29cm + 21cm + 20cm

m = 35 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo BCD = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 35 x (14) x (6) x (15) = 210 cm2

Por tanto, Área del cuadrilátero ABCD = Área del triángulo ABD + Área del triángulo BCD

Área del cuadrilátero ABCD = 336 + 210

Área del cuadrilátero ABCD = 546 cm 2

Pregunta 10. Halla el perímetro y el área del cuadrilátero ABCD en el que AB = 17 cm, AD = 9 cm, CD = 12 cm, AC = 15 cm y ángulo ACB = 90°.

Solución:

Dado que,

Los lados del cuadrilátero ABCD en el que AB = 17 cm, AD = 9 cm, CD = 12 cm, AC = 15 cm y un ángulo ACB = 90°

Usando el teorema de Pitágoras,

BC 2 = AB 2 − AC 2

BC 2 = 17 2 − 15 2

BC = 8 cm

Ahora, el área del triángulo ABC = ½ × AC × BC

= 1/2 × 8 × 15 = 60 cm2

Ahora, para el área del triángulo ACD

Perímetro del triángulo ACD 2s = AC+ CD + AD

2s = 15 + 12 + 9

m = 18 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo ACD = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 18 x (3) x (6) x (9) = 54 cm2

Área del cuadrilátero ABCD = Área del triángulo ABC+ Área del triángulo ACD

= 60 cm2 + 54 cm2

Por lo tanto, Área del cuadrilátero ABCD = 114 cm 2

Pregunta 11. Los lados adyacentes de un paralelogramo ABCD miden 34 cm y 20 cm, y la diagonal AC mide 42 cm. Encuentra el área del paralelogramo.

Solución:

Dado que,

Los lados adyacentes de un paralelogramo ABCD miden 34 cm y 20 cm, y la diagonal AC mide 42 cm.

Área del paralelogramo = Área del triángulo ADC+ Área del triángulo ABC

Como sabemos que, la Diagonal de un paralelogramo se divide en dos triángulos congruentes

Por lo tanto, Área del paralelogramo = 2 × (Área del triángulo ABC)

Ahora, para el área del triángulo ABC

Perímetro = 2s = AB + BC+ CA

2s = 34 cm + 20 cm + 42 cm

m = 48 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo ABC = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 48 x (14) x (28) x (6) = 336 cm2

Por lo tanto, área del paralelogramo ABCD = 2 × (Área del triángulo ABC)

Área del paralelogramo = 2 × 336 cm 2

Por lo tanto, Área del paralelogramo ABCD = 672 cm 2

Pregunta 12. Encuentra el área de las hojas de la brújula magnética que se muestra en la figura que se muestra a continuación:

Solución:

De la figura concluimos que, Área de las hojas de la brújula magnética = Área del triángulo ADB + Área del triángulo CDB

Ahora, para el área del triángulo ADB,

Perímetro = 2s = AD + DB + BA

2s = 5 cm + 1 cm + 5 cm

m = 5,5 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo DEF = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 5,5 x (0,5) x (4,5) x (0,5) = 2,49 cm2

Además, área del triángulo ADB = Área del triángulo CDB

Por lo tanto, área de las hojas de la brújula magnética = 2 × área del triángulo ADB

Área de las hojas de la brújula magnética = 2 × 2,49

Por lo tanto, Área de las hojas de la brújula magnética = 4,98 cm 2

Pregunta 13. Un abanico de mano se hace pegando 10 tiras triangulares del mismo tamaño de dos tipos diferentes de papel como se muestra en la figura. Las dimensiones de tiras iguales son 25 cm, 25 cm y 14 cm. Encuentra el área de cada tipo de papel que se necesita para hacer el abanico.

Solución:

Dado que,

Los lados de AOB,

AO = 25 cm,

OB = 25 cm,

AB = 14 cm.

Área de cada tira = Área del triángulo AOB

Ahora, para el área del triángulo AOB

Perímetro = AO + OB + BA

2s = 25cm +25cm + 14cm

m = 32 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo AOB = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 32 x (7) x (4) x (18) = 168 cm2

Además, el área de cada tipo de papel necesaria para hacer un abanico = 5 × Área del triángulo AOB

Área de cada tipo de papel necesaria para hacer un abanico = 5 × 168 cm 2

Área de cada tipo de papel necesaria para hacer un abanico = 840 cm 2

Pregunta 14. Un triángulo y un paralelogramo tienen la misma base y la misma área. Si los lados del triángulo miden 13 cm, 14 cm y 15 cm y el paralelogramo se encuentra sobre la base 14 cm, encuentre la altura de un paralelogramo.

Solución:

Dado que,

CC = 15 cm,

CE = 13 cm,

DE = 14 cm.

Supongamos que h es la altura del paralelogramo ABCD,

Ahora, para el área del triángulo DCE.

Perímetro = DC+ CE + ED

2s = 15 cm + 13 cm + 14 cm

m = 21 cm

Usando la fórmula de Heron,

Área del triángulo AOB = √sx (s – a) x (s – b) x (s – c)

= √ 21 x (7) x (8) x (6) = 84 cm2

Además, el área del triángulo DCE = Área del paralelogramo ABCD = 84 cm 2

24 × h = 84 cm 2

altura = 6 cm.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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