Clase 9 RD Sharma Solutions – Capítulo 14 Cuadriláteros – Ejercicio 14.1

Pregunta 1. Tres ángulos de un cuadrilátero son respectivamente iguales a 110°, 50° y 40°. Encuentra su cuarto ángulo.

Solución:

Dado,
Los tres ángulos son 110°, 50° y 40°
Sea el cuarto ángulo ‘x’
Suma de todos los ángulos de un cuadrilátero = 360°
110° + 50° + 40° + x = 360°
200° + x = 360°
x = 360° − 200°
x = 160°
Por lo tanto, el cuarto ángulo requerido es 160°.

Pregunta 2. En un cuadrilátero ABCD, los ángulos A, B, C y D están en la proporción de 1:2:4:5. Encuentra la medida de cada ángulo del cuadrilátero.

Solución: 

Sean los ángulos del cuadrilátero
A = x, B = 2x, C = 4x, D = 5x
Entonces,
A + B + C+ D = 360° {Suma del ángulo interior del cuadrilátero 360°}
x + 2x + 4x + 5x = 360°
12x = 360°
x = 360°
       12
x = 30°
Por lo tanto, sustituyendo el valor de x,
A = x = 30°
B = 2x = 2 × 30° = 60°
C = 4x = 4 × 30° = 120 ° 
D = 5x = 5 × 30° = 150° 

Pregunta 3. En un cuadrilátero ABCD, CO y Do son las bisectrices de ∠C y ∠D respectivamente. Demuestra que ∠COD = 1/2 ( ∠A y ∠B)

Solución:

En ΔDOC,
∠CDO + ∠COD + ∠DCO = 1800 [Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo]
o 
 1 ∠CDA + ∠COD +  1 ∠DCB = 1800
 2 2
∠COD = 1800 –  1 (∠CDA + ∠DCB) — ->(ecuación 1)
                           2
También
sabemos, suma de todos los ángulos de un cuadrilátero = 360° 
∠CDA + ∠DCB = 3600 – (∠DAB + ∠CBA) —->(ecuación 2)
Sustituyendo la ecuación 1 y la ecuación 2
∠ COD = 1800 –  1 {3600 – (∠DAB + ∠CBA)}
                           2
También podemos escribir,
∠DAB = ∠A y ∠CBA = ∠B
∠COD = 1800 − 1800 + 1/2(∠A + ∠B) )
∠COD = 1/2(∠A + ∠B)
Por lo tanto, Probado.

Pregunta 4. Los ángulos de un cuadrilátero están en la proporción 3:5:9:13. Encuentra todos los ángulos del cuadrilátero.

Solución:

Sean los ángulos del cuadrilátero
A = 3x, B = 5x, C = 9x, D = 13x
Entonces,
A + B + C+ D = 360° {{Suma del ángulo interior del cuadrilátero 360°}
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
30x = 360°
x =  360 °
        30 
x = 12°
Por lo tanto, sustituyendo el valor de x,
A = 3x = 3×12 = 36°
B = 5x = 5×12° = 60°
C = 9x = 9 ×12° = 108° 
D = 13x = 13×12° = 156°