Clase 9 RD Sharma Solutions – Capítulo 14 Cuadriláteros – Ejercicio 14.2

Pregunta 1. Dos ángulos opuestos de un paralelogramo son (3x – 2)° y (50 – x) ° . Encuentra la medida de cada ángulo del paralelogramo.

Solución:

Dado: Dos ángulos opuestos de un paralelogramo son (3x – 2)° y (50 – x)°.

(3x – 2)°= (50 – x)° [Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]

3x + x = 50 + 2

4x = 52

x = 13

El ángulo x es 13°

(3x – 2) = (3*13 – 2) = 37°

(50 – x)° = (50 – 13)°= 37°

x + 37°= 180° [Los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios]

x = 180°− 37°= 143°

Por lo tanto, los ángulos requeridos son: 37°, 143°, 37°, 143°.

Pregunta 2. Si un ángulo de un paralelogramo es dos tercios de su ángulo adyacente, encuentra los ángulos del paralelogramo.

Solución:

Sea x la medida del ángulo.

Por lo tanto, la medida del ángulo adyacente es 2x/3

Por lo tanto, x + 2x/3 = 180° [Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios]

2x + 3x = 540°

5x = 540°

x = 108°

Ahora,

⟹ x + 108°= 180° [Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios]

⟹ x + 108°= 180°

⟹ x = 180°- 108°= 72°

⟹ x = 72°

los ángulos requeridos son 180°, 72°, 180°, 72°

Pregunta 3. Encuentra la medida de todos los ángulos de un paralelogramo, si un ángulo es 24 ° menos que el doble del ángulo más pequeño.

Solución:

x + 2x – 24°= 180° [Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios]

3x – 24°= 180°

3x = 108° + 24°

3x = 204°

x = 204/3 = 68°

x = 68°

Otro ángulo del paralelogramo= 2x – 24°= 2*68°- 24°= 112°

los ángulos requeridos son 68°,112°,68°,112°

Pregunta 4. El perímetro de un paralelogramo es de 22 cm. Si el lado mayor mide 6,5 cm ¿cual es la medida del lado menor?

Solución:

Dado: el perímetro de un paralelogramo es de 22 cm

Consideremos que el lado más corto es ‘y’.

perímetro = y + 6,5 + 6,5 + x [suma de todos los lados]

22 = 2 (y + 6,5)

11 = y + 6,5

y = 11 – 6,5 = 4,5 cm

Por lo tanto, la medida del lado más corto = 4,5 cm

Pregunta 5. En un paralelogramo ABCD, ∠D = 135 ° . Determina las medidas de ∠A y ∠B.

Solución:

En un paralelogramo ABCD

Dado: ∠D=135°

Entonces, ∠D + ∠C = 180° [Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios]

∠C = 180°− 135°

∠C = 45°

En un paralelogramo los lados opuestos son iguales.

∠A = ∠C = 45° [los lados opuestos del paralelogramo son iguales]

∠B = ∠D = 135°

por lo tanto, las medidas de ∠A y ∠B son 45°,135°respectivamente.

Pregunta 6. ABCD es un paralelogramo en el que ∠A = 70 ° . Calcule ∠B, ∠C y ∠D.

Solución:

En un paralelogramo ABCD

Dado: ∠A = 70°

∠A + ∠B = 180° [Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios]

70°+ ∠B = 180° [dado ∠A = 70°]

∠B = 180°− 70°

∠B = 110°

Ahora,

∠A = ∠C = 70° [los lados opuestos del paralelogramo son iguales]

∠B = ∠D = 110°

por lo tanto, las medidas de ∠A y ∠B son 70°,110°respectivamente.

Pregunta 7. En la figura, ABCD es un paralelogramo en el que ∠A = 60 ° . Si las bisectrices de ∠A y ∠B se encuentran en P, demuestre que AD = DP, PC = BC y DC = 2AD.

Solución:

Dado: ∠A = 60°

Para probar: AD = DP, PC = BC y DC = 2AD

AP biseca ∠A

entonces, ∠DAP = ∠PAB = 30°

Ahora,

∠A + ∠B = 180° [Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios]

∠B + 60°= 180°

∠B = 180°− 60°

∠B = 120°

BP biseca ∠B

entonces, ∠PBA = ∠PBC = 60°

∠PAB = ∠APD = 30°[Ángulos interiores alternos]

Por lo tanto, AD = DP [Los lados opuestos a ángulos iguales tienen la misma longitud]

Similarmente

∠PBA = ∠BPC = 60° [Ángulos interiores alternos]

Por lo tanto, PC = BC

CC = PD + PC

DC = AD + BC [ DP = AD y PC = BC ]

DC = 2AD [Ya que, AD = BC, los lados opuestos del paralelogramo son paralelos y congruentes]

por lo tanto probado.

Pregunta 8. En la figura, ABCD es un paralelogramo en el que ∠DAB = 75 ° y ∠DBC = 60 ° . Calcule ∠CDB y ∠ADB.

Solución:

Dado: ∠DAB = 75° y ∠DBC = 60°

Para encontrar ∠CDB y ∠ADB

∠CBD = ∠ADB = 60° [Ángulo interior alterno. AD∥ BC y BD es la transversal]

En BDA

∠DAB + ∠ADB + ∠ABD = 180° [Propiedad de la suma de ángulos]

75°+ 60°+ ∠CDB = 180°

∠ABD = 180°− (135°)

∠ABD = 45°

∠ABD = ∠CDB = 45° [Ángulo interior alterno. AD∥ BC y BD es la transversal]

Por lo tanto, ∠CDB = 45°, ∠ADB = 60°

Pregunta 9. En la figura, ABCD es un paralelogramo y E es el punto medio del lado BC. Si DE y AB cuando se producen se encuentran en F, demuestre que AF = 2AB.

Solución:

Dado: ABCD es un paralelogramo y E es el punto medio del lado BC.

Para probar: AF = 2AB.

Ahora,

En ΔBEF y ΔCED

∠BEF = ∠CED [Ángulo opuesto verificado]

BE = CE [Puesto que E es el punto medio de BC]

∠EBF = ∠ECD [Puesto que los ángulos alternos interiores son iguales]

ΔBEF ≅ ΔCED [congruencia ASA]

BF = CD [Partes correspondientes de un triángulo congruente]

AF = AB + AF

AF = AB + CD [BF = CD por partes correspondientes del triángulo congruente]

AF = AB + AB [CD=AB, Los lados opuestos del paralelogramo son paralelos y congruentes]

FA = 2AB.

Por lo tanto probado.

Pregunta 10. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F)?

(i) En un paralelogramo, las diagonales son iguales.

(ii) En un paralelogramo, las diagonales se bisecan entre sí.

(iii) En un paralelogramo, las diagonales se cortan entre sí en ángulo recto.

(iv) En cualquier cuadrilátero, si un par de lados opuestos es igual, es un paralelogramo.

(v) Si todos los ángulos de un cuadrilátero son iguales, es un paralelogramo.

(vi) Si los tres lados de un cuadrilátero son iguales, es un paralelogramo.

(vii) Si los tres ángulos de un cuadrilátero son iguales, es un paralelogramo.

(viii) Si todos los lados de un cuadrilátero son iguales, es un paralelogramo.

Solución:

(i) Falso

(ii) Verdadero

(iii) Falso

(iv) Falso

(v) Cierto

(vi) Falso

(vii) Falso

(viii) Cierto