Pregunta 1. En un paralelogramo ABCD, determina la suma de los ángulos C y D.
Solución:
En el dado ||gm ABCD,
∠C+ ∠D = 180°
Como ∠C y ∠D son ángulos interiores consecutivos en el mismo lado del recorrido de CD, entonces su suma es igual a 180°.
Pregunta 2. En un paralelogramo ABCD, si ∠B = 135°, determina las medidas de sus otros ángulos.
Solución:
En el dado ||gm ABCD,
∠B = 135°
Entonces ∠D = ∠B = 135° (Porque los ángulos opuestos de un ABCD ||gm)
Pero ∠A + ∠B = 180° (Suma de ángulos consecutivos) ….(i)
Ahora pon el valor de ∠B en eq(i)
∠B + 135° = 180°
∠A = 180° – 135° = 45°
Pero ∠C = ∠B = 45° (Ángulos opuestos de a ||gm)
Aquí, los otros ángulos son ∠A = 45°, ∠C = 45° y ∠D = 135°.
Pregunta 3. ABCD es un cuadrado, AC y BD se intersecan en O. Indique la medida de ∠AOB.
Solución:
En el cuadrado dado ABCD,
Dado que las diagonales AC y BD se cortan en O
Por lo tanto, ∠AOB = 90°, porque las diagonales cuadradas se bisecan entre sí en ángulo recto.
Pregunta 4. ABCD es un rectángulo con ∠ABD = 40°. Determinar ∠DBC.
Solución:
En el rectángulo ABCD,
Dado que ∠ABD = 40°, ∠B = 90°, BD es su diagonal
∠ABD + ∠DBC = 90° ……….(i)
Ponga el valor de∠ABD = 40° en eq(i)
⇒ 40° + ∠DBC = 90°
⇒ ∠DBC = 90° – 40° = 50°
Por lo tanto, el valor del ángulo ∠DBC = 50°
Pregunta 5. Los lados AB y CD de un paralelogramo ABCD se bisecan en E y F. Demuestra que EBFD es un paralelogramo.
Solución:
En el dado ||gm ABCD,
Dado que E y F son los puntos medios de la recta AB y CD
y DE y BF se unen
Para probar: EBFD es un ||gm
Construcción: Únete a EF
Prueba: ABCD es un ||gm
Entonces, AB = CD y AB || CD (Los lados opuestos de un ||gm son iguales y paralelos entre sí)
EB || DF y EB = DF (dado que E y F son puntos medios de AB y CD)
Por lo tanto, EBFD probado es un ||gm.
Pregunta 6. P y Q son los puntos de trisección de la diagonal BD del paralelogramo ABCD. Demostrar que CQ es paralelo a AP. Demuestre también que AC biseca a PQ.
Solución:
En el dado ||gm ABCD
Se da que P y Q son los puntos de trisección de la diagonal BD
Para probar: (i) CQ || punto de acceso
(ii) AC biseca a PQ
Prueba: Como sabemos que las diagonales de un paralelogramo se bisecan
Entonces, AO = OC y BO = OD
Según la figura P y Q son punto de trisección de BD
Entonces BP = PQ = QD …(i)
BO = OD y BP = QD …(ii)
Ahora restamos, eq(ii) de eq(i) obtenemos
OB – BP = OD – QD
⇒ OP = OQ
En el cuadrilátero APCQ,
OA = OC y OP = OQ (probado arriba)
Las diagonales AC y PQ se bisecan en O
Entonces, APCQ es un paralelogramo
Por lo tanto, AP || CQ
Pregunta 7. ABCD es un cuadrado. E, F, G y H son puntos en AB, BC, CD y DA respectivamente, tales que AE = BF = CG = DH. Demostrar que EFGH es un cuadrado.
Solución:
En el cuadrado dado ABCD
Se da que E, F, G y H son los puntos sobre AB, BC, CD y DA respectivamente
Tal que AE = BF = CG = DH
Demostrar: EFGH es un cuadrado
Prueba : Se da que E, F, G y H son puntos de los lados AB, BC, CA y DA respectivamente tales que
AE = BF = CG = DH = x (supongamos)
Entonces BE = CF = DG = AH = y (supongamos)
Ahora en ∆AEH y ∆BFE
AE = BF (dado)
∠A = ∠B (cada 90°)
AH = BE (probado)
Por lo tanto, por criterio SAS
∆AEH ≅ ∆BFE
∴ ∠1 = ∠2 y ∠3 = ∠4 (CPCT)
Pero ∠1 + ∠3 = 90° y ∠2 + ∠4 = 90° (∠A = ∠B = 90°)
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 90° + 90° = 180°
⇒ ∠1 + ∠4 + ∠1 + ∠4 = 180°
⇒ 2(∠1 + ∠4) = 180°
⇒ ∠1 + ∠4 = 180°/2 = 90°
∴ ∠HEF = 180° – 90° = 90°
Del mismo modo, podemos demostrar que
∠F = ∠G = ∠H = 90°
Como los lados de la EFGH son iguales y cada ángulo es de 90°
Por lo tanto, EFGH es un cuadrado.
Pregunta 8. ABCD es un rombo, EABF es una recta tal que EA = AB = BF. Demuestre que ED y FC cuando se producen se encuentran en ángulo recto.
Solución:
Dado que ABCD es un rombo
EABF es una línea recta tal que
EA = AB = BF
Ahora únete a ED y FC
que se encuentran en el punto G
Para probar: ∠EGF = 90°
Prueba: Como sabemos que las diagonales de un rombo se bisecan
entre sí en ángulo recto
AO = OC, BO = OD
Entonces, ∠AOD = ∠COD = 90°
y ∠AOB = ∠BOC = 90°
En ∆BDE,
A y O son los puntos medios de BE y BD respectivamente.
OA || disfunción eréctil
Del mismo modo, OC || director general
En ∆ CFA, B y O son los puntos medios de AF y AC respectivamente
OB || CF y OD || CG
Ahora en DOCG
CO || DG y OD || C.G.
Por lo tanto, DOCG es un paralelogramo.
∠DGC = ∠DOC (Los ángulos opuestos de ||gm son iguales)
∠DGC = 90° (porque ∠DOC = 90°)
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 9. ABCD es un paralelogramo, AD se produce a E de modo que DE = DC = AD y EC producido se encuentra con AB producido en F. Demuestra que BF = BC.
Solución:
En el dado ||gm ABCD,
AB se produce a E entonces
DE = DC = AD
También EC producido cumple AB producido en F.
Para probar: BF = BC
Prueba: En ∆ACE,
O y D son los puntos medios de los lados AC y AE
HACER || CE y DB || FC
⇒ BD || FE
AB = BF
Pero AB = DC (Los lados opuestos de ||gm son iguales)
CC = FB
Ahora en ∆EDC y ∆CBF,
DC = BF (probado)
∠EDC = ∠CBF
(porque ∠EDC = ∠DAB ángulos correspondientes)
∠DAB = ∠CBF (ángulos correspondientes)
∠ECD = ∠CFB (ángulos correspondientes)
Entonces, por criterio de ASA,
∆EDC ≅ ∆CBF
DE = BC (Por CPCT)
⇒ CD = BC
⇒ AB = BC
⇒ BF = BC (∵ AB = BF demostrado)
Por lo tanto, demostrado
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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA