Clase 9 RD Sharma Solutions – Capítulo 14 Cuadriláteros – Ejercicio 14.3

Pregunta 1. En un paralelogramo ABCD, determina la suma de los ángulos C y D.

Solución:

En el dado ||gm ABCD,

∠C+ ∠D = 180°

Como ∠C y ∠D son ángulos interiores consecutivos en el mismo lado del recorrido de CD, entonces su suma es igual a 180°.

Pregunta 2. En un paralelogramo ABCD, si ∠B = 135°, determina las medidas de sus otros ángulos.

Solución:

En el dado ||gm ABCD, 

∠B = 135°

Entonces ∠D = ∠B = 135° (Porque los ángulos opuestos de un ABCD ||gm)

Pero ∠A + ∠B = 180° (Suma de ángulos consecutivos) ….(i)

Ahora pon el valor de ∠B en eq(i)

∠B + 135° = 180°

∠A = 180° – 135° = 45°

Pero ∠C = ∠B = 45° (Ángulos opuestos de a ||gm)

Aquí, los otros ángulos son ∠A = 45°, ∠C = 45° y ∠D = 135°.

Pregunta 3. ABCD es un cuadrado, AC y BD se intersecan en O. Indique la medida de ∠AOB.

Solución:

En el cuadrado dado ABCD,

Dado que las diagonales AC y BD se cortan en O

Por lo tanto, ∠AOB = 90°, porque las diagonales cuadradas se bisecan entre sí en ángulo recto.

Pregunta 4. ABCD es un rectángulo con ∠ABD = 40°. Determinar ∠DBC.

Solución:

En el rectángulo ABCD,

Dado que ∠ABD = 40°, ∠B = 90°, BD es su diagonal

∠ABD + ∠DBC = 90° ……….(i)

Ponga el valor de∠ABD = 40° en eq(i)

⇒ 40° + ∠DBC = 90°

⇒ ∠DBC = 90° – 40° = 50°

Por lo tanto, el valor del ángulo ∠DBC = 50°

Pregunta 5. Los lados AB y CD de un paralelogramo ABCD se bisecan en E y F. Demuestra que EBFD es un paralelogramo.

Solución:

En el dado ||gm ABCD,

Dado que E y F son los puntos medios de la recta AB y CD 

y DE y BF se unen

Para probar: EBFD es un ||gm

Construcción: Únete a EF

Prueba: ABCD es un ||gm

Entonces, AB = CD y AB || CD (Los lados opuestos de un ||gm son iguales y paralelos entre sí)

EB || DF y EB = DF (dado que E y F son puntos medios de AB y CD)

Por lo tanto, EBFD probado es un ||gm.

Pregunta 6. P y Q son los puntos de trisección de la diagonal BD del paralelogramo ABCD. Demostrar que CQ es paralelo a AP. Demuestre también que AC biseca a PQ.

Solución:

En el dado ||gm ABCD

Se da que P y Q son los puntos de trisección de la diagonal BD

Para probar: (i) CQ || punto de acceso

(ii) AC biseca a PQ

Prueba: Como sabemos que las diagonales de un paralelogramo se bisecan

Entonces, AO = OC y BO = OD

Según la figura P y Q son punto de trisección de BD

Entonces BP = PQ = QD …(i)

BO = OD y BP = QD …(ii)

Ahora restamos, eq(ii) de eq(i) obtenemos

OB – BP = OD – QD

⇒ OP = OQ

En el cuadrilátero APCQ,

OA = OC y OP = OQ (probado arriba)

Las diagonales AC y PQ se bisecan en O

Entonces, APCQ es un paralelogramo

Por lo tanto, AP || CQ

Pregunta 7. ABCD es un cuadrado. E, F, G y H son puntos en AB, BC, CD y DA respectivamente, tales que AE = BF = CG = DH. Demostrar que EFGH es un cuadrado.

Solución:

En el cuadrado dado ABCD

Se da que E, F, G y H son los puntos sobre AB, BC, CD y DA respectivamente 

Tal que AE = BF = CG = DH

Demostrar: EFGH es un cuadrado

Prueba : Se da que E, F, G y H son puntos de los lados AB, BC, CA y DA respectivamente tales que

AE = BF = CG = DH = x (supongamos)

Entonces BE = CF = DG = AH = y (supongamos)

Ahora en ∆AEH y ∆BFE

AE = BF (dado)

∠A = ∠B (cada 90°)

AH = BE (probado)

Por lo tanto, por criterio SAS

∆AEH ≅ ∆BFE 

∴ ∠1 = ∠2 y ∠3 = ∠4 (CPCT)

Pero ∠1 + ∠3 = 90° y ∠2 + ∠4 = 90° (∠A = ∠B = 90°)

⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 90° + 90° = 180°

⇒ ∠1 + ∠4 + ∠1 + ∠4 = 180°

⇒ 2(∠1 + ∠4) = 180°

⇒ ∠1 + ∠4 = 180°/2 = 90°

∴ ∠HEF = 180° – 90° = 90°

Del mismo modo, podemos demostrar que

∠F = ∠G = ∠H = 90°

Como los lados de la EFGH son iguales y cada ángulo es de 90°

Por lo tanto, EFGH es un cuadrado.

Pregunta 8. ABCD es un rombo, EABF es una recta tal que EA = AB = BF. Demuestre que ED y FC cuando se producen se encuentran en ángulo recto.

Solución:

Dado que ABCD es un rombo

EABF es una línea recta tal que

EA = AB = BF

Ahora únete a ED y FC 

que se encuentran en el punto G

Para probar: ∠EGF = 90°

Prueba: Como sabemos que las diagonales de un rombo se bisecan

entre sí en ángulo recto

AO = OC, BO = OD

Entonces, ∠AOD = ∠COD = 90°

y ∠AOB = ∠BOC = 90°

En ∆BDE,

A y O son los puntos medios de BE y BD respectivamente.

OA || disfunción eréctil

Del mismo modo, OC || director general

En ∆ CFA, B y O son los puntos medios de AF y AC respectivamente

OB || CF y OD || CG

Ahora en DOCG

CO || DG y OD || C.G.

Por lo tanto, DOCG es un paralelogramo.

∠DGC = ∠DOC (Los ángulos opuestos de ||gm son iguales)

∠DGC = 90° (porque ∠DOC = 90°)

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 9. ABCD es un paralelogramo, AD se produce a E de modo que DE = DC = AD y EC producido se encuentra con AB producido en F. Demuestra que BF = BC.

Solución:

En el dado ||gm ABCD,

AB se produce a E entonces

DE = DC = AD

También EC producido cumple AB producido en F.

Para probar: BF = BC

Prueba: En ∆ACE,

O y D son los puntos medios de los lados AC y AE

HACER || CE y DB || FC

⇒ BD || FE

AB = BF

Pero AB = DC (Los lados opuestos de ||gm son iguales)

CC = FB

Ahora en ∆EDC y ∆CBF,

DC = BF (probado)

∠EDC = ∠CBF

(porque ∠EDC = ∠DAB ángulos correspondientes)

∠DAB = ∠CBF (ángulos correspondientes)

∠ECD = ∠CFB (ángulos correspondientes)

Entonces, por criterio de ASA,

∆EDC ≅ ∆CBF

 DE = BC (Por CPCT)

⇒ CD = BC

⇒ AB = BC

⇒ BF = BC (∵ AB = BF demostrado)

Por lo tanto, demostrado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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