Pregunta 11. En la figura, AB = AC y CP ∥ BA y AP es la bisectriz de ∠CAD exterior de ∆ABC. Pruebalo
(i) ∠PAC = ∠BCA.
(ii) ABCP es un paralelogramo.
Solución:
AB = AC, CD ∥ BA y AP es la bisectriz del exterior ∠CAD de ΔABC
(i) Entonces, tenemos
AB = AC [Dado]
∠ACB = ∠ABC [Porque los ángulos opuestos de los lados iguales del triángulo son iguales]
Ahora, ∠CAD = ∠ABC+ ∠ACB
= ∠PAC+ ∠PAD = 2∠ACB [∠PAC = ∠PAD]
= 2∠PAC = 2∠ACB
=∠PAC = ∠ACB
Por lo tanto probado
(ii) Ahora, tenemos
∠PAC = ∠BCA [Probado arriba]
AP ∥ BC y CP ∥ BA [Dado]
Por lo tanto, ABCP es un paralelogramo.
Pregunta 12. ABCD es una cometa que tiene AB = AD y BC = CD. Demuestra que la figura que se obtiene uniendo los puntos medios de los lados, en orden, es un rectángulo.
Solución:
Una cometa ABCD que tiene AB = AD y BC = CD.
Únete a PQ, QR, RS y SP
Entonces, P, Q, R, S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA.
Ahora tenemos que demostrar que PQRS es un rectángulo.
Prueba:
En ∆ABC,
Se sabe que P y Q son los puntos medios de AB y BC
Así que del teorema del punto medio
PQ ∥ CA y PQ = (1/2) CA…. (i)
En ∆CAD,
Se sabe que R y S son los puntos medios de CD y AD
Así que del teorema del punto medio
RS ∥ CA y RS = (1/2) CA…. (ii)
De la ecuación (i) y (ii) tenemos
PQ ∥ RS y PQ = RS
Entonces, PQRS es un paralelogramo.
Ahora, demostramos que en el paralelogramo PQRS el ángulo es un ángulo recto.
Como AB = AD
= 12AB = 12AD
= AP = AS … (iii)
= ∠1 = ∠2 …. (iv)
Ahora, en ΔPBQ y ΔSDR, tenemos
PB = SD [AD = AB ⇒ (1/2) AD = (1/2) AB]
BQ = DR [Ya que PB = SD]
Y PQ = SR [Ya que, PQRS es un paralelogramo]
Entonces, por el criterio de congruencia SSS, tenemos
ΔPBQ ≅ ΔSDR
por cpct
= ∠3 = ∠4
Ahora, ∠3 + ∠SPQ + ∠2 = 180°
Y ∠1 + ∠PSR + ∠4 = 180°
∠3 + ∠SPQ + ∠2 = ∠1 + ∠PSR + ∠4
= ∠SPQ = ∠PSR [∠1 = ∠2 y ∠3 = ∠4]
De la figura sabemos que la transversal PS corta a las paralelas SR y PQ en S y P
Entonces, ∠SPQ + ∠PSR = 180°
= 2∠SPQ = 180°
= ∠SPQ = 90° [∠PSR = ∠SPQ]
Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo y∠SPQ = 90°.
Pregunta 13. Sea ABC un triángulo isósceles en el que AB = AC. Si D, E, F son los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente, demuestre que el segmento AD y EF se bisecan entre sí en ángulos rectos.
Solución:
Para probar: el segmento AD y EF se bisecan en ángulo recto.
Prueba:
En ΔABC,
Se sabe que D, E y F son puntos medios de los lados BC, CA y AB
Así que del teorema del punto medio
AB ∥ DE y AC ∥ DF
AF ∥ DE y AE ∥ DF
ABDE es un paralelogramo.
AF = DE y AE = DF [Porque los lados opuestos del paralelogramo son congruentes]
Así que del teorema del punto medio
(1/2) AB = DE y (1/2) AC = DF
DE = DF
AE = AF = DE = DF
ABDF es un rombo.
AD y FE se bisecan en ángulo recto.
Por lo tanto probado
Pregunta 14. ABC es un triángulo. D es un punto sobre AB tal que AD = (1/4) AB y E es un punto sobre AC tal que AE = (1/4) AC. Demostrar que DE = (1/4) BC.
Solución:
Para probar: DE = (1/4) BC.
Prueba:
En ΔABC,
D es un punto en AB entonces,
DA = (1/4)
AB y E es un punto en AC entonces,
AE = (1/4) CA.
Supongamos que P y Q son los puntos medios de AB y AC
Entonces PQ ∥ BC
Así que del teorema del punto medio
PQ = (1/2) BC …. (i)
En ΔAPQ,
D y E son los puntos medios de AP y AQ
Así que del teorema del punto medio
(1/2) DE ∥ PQ, y DE = (1/2) PQ…. (ii)
De la ecuación (i) y (ii) sabemos que,
DE = (1/2) PQ = (1/2) ((1/2) BC)
DE = (1/2) BC
Por lo tanto probado.
Pregunta 15. En la figura, ABCD es un paralelogramo en el que P es el punto medio de DC y Q es un punto en AC tal que CQ = (1/2) AC. Si PQ producido se encuentra con BC en R, demuestre que R es un punto medio de BC.
Solución:
Ahora únete a B y D.
Suponga que AC y BD se intersecan en O.
Así que del teorema del punto medio
Entonces OC = (1/2) AC
Ahora,
CC = (1/4) CA
⇒ CC = 1/2((1/2) CA)
= (1/2) CO
En ΔDCO,
PQ ∥ DO [Porque P y Q son puntos medios de DC y OC]
De manera similar en ΔCOB,
QR ∥ OB [Porque Q es el punto medio de OC]
R es el punto medio de BC.
Por lo tanto probado
Pregunta 16. En la figura, ABCD y PQRC son rectángulos y Q es el punto medio de AC. Pruebalo
(i) PD = PC
(ii) PR = (1/2) CA
Solución:
(i) En ΔADC,
Se da que Q es el punto medio de AC tal que PQ ∥ AD
Entonces, P es el punto medio de DC.
Del teorema del punto medio
DP = CC
Por lo tanto probado
(ii) Del mismo modo,
PR = (1/2) BD [R es el punto medio de BC]
PR = (1/2) AC [Las diagonales del rectángulo son iguales, BD = AC]
Por lo tanto probado
Pregunta 17. ABCD es un paralelogramo; E y f son los puntos medios de AB y CD respectivamente. GH es cualquier línea que corta AD, EF y BC en G, P y H respectivamente. Demuestre que GP = PH.
Solución:
E y F son puntos medios de AB y CD
AE = BE = (1/2) AB
Y CF = DF = (1/2) CD
Pero, AB = CD
(1/2) AB = (1/2) CD
SER = FC
Además, BE ∥ CF [∴ AB ∥ CD]
Por lo tanto, BEFC es un paralelogramo
BC ∥ EF y BE = PH …. (i)
Ahora, BC ∥ EF
AD ∥ EF [BC ∥ AD]
Por lo tanto, AEFD es un paralelogramo.
AE = médico de cabecera
Entonces, AE = BF [E es el punto medio de AB]
GP = PH.
Por lo tanto Probado.
Pregunta 18. BM y CN son perpendiculares a una recta que pasa por el vértice A del triángulo ABC. Si L es el punto medio de BC, demuestre que LM = LN.
Solución:
Para probar: LM = LN
Dibuja LS perpendicular a la línea MN.
Las líneas BM, LS y CN son perpendiculares a la línea MN y paralelas entre sí.
Según el teorema de la intersección,
De la figura anterior sabemos que MB, LS y NC son tres paralelos
líneas y las dos líneas transversales son MN y BC.
BL = LC [L es el punto medio de BC]
Lo sabemos,
MS = SN ….. (i) [Por el teorema de la intersección]
Ahora, en ΔMLS y ΔLSN
MS = SN [De la ecuación (i)]
∠LSM = ∠LSN = 90° LS ⊥ MN]
Y SL = LS [lado común]
Por regla de congruencia SAS
ΔMLS ≅ ΔLSN
Por lo tanto, por cpct
LM = LN
Por lo tanto probado
Pregunta 19. Demuestre que los segmentos de línea que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sí.
Solución:
Consideremos que ABCD es un cuadrilátero en el que
P, Q, R y S son puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA
Ahora, únase a PQ, QR, RS, SP y BD
En ΔABD,
Se sabe que P y S son puntos medios de los lados AB y DA
Así que del teorema del punto medio
SP ∥ BD y SP = (1/2) BD …. (i)
en ΔBCD
Se sabe que Q y R son puntos medios de los lados BC y CD
Así que del teorema del punto medio
QR ∥ BD y QR = (1/2) BD …. (ii)
Ahora,
De la ecuación (i) y (ii)
SP ∥ QR y SP = QR
Entonces, SPQR es un paralelogramo [Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí]
Por lo tanto, probado, PR y QS se bisecan entre sí.
Pregunta 20. Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean correctas:
(i) El triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de un triángulo isósceles es ____________.
(ii) El triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de un triángulo rectángulo es ____________.
(iii) La figura formada al unir los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero es ____________.
Solución:
(i) isósceles
(ii) Triángulo rectángulo
(iii) paralelogramo
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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA