Clase 9 RD Sharma Solutions – Capítulo 14 Cuadriláteros – Ejercicio 14.4 | conjunto 2

Pregunta 11. En la figura, AB = AC y CP ∥ BA y AP es la bisectriz de ∠CAD exterior de ∆ABC. Pruebalo

(i) ∠PAC = ∠BCA.

(ii) ABCP es un paralelogramo.

Solución:

AB = AC, CD ∥ BA y AP es la bisectriz del exterior ∠CAD de ΔABC

(i) Entonces, tenemos

AB = AC [Dado]

∠ACB = ∠ABC [Porque los ángulos opuestos de los lados iguales del triángulo son iguales]

Ahora, ∠CAD = ∠ABC+ ∠ACB

= ∠PAC+ ∠PAD = 2∠ACB [∠PAC = ∠PAD]

= 2∠PAC = 2∠ACB

=∠PAC = ∠ACB

Por lo tanto probado

(ii) Ahora, tenemos

∠PAC = ∠BCA [Probado arriba]

AP ∥ BC y CP ∥ BA [Dado]

Por lo tanto, ABCP es un paralelogramo.

Pregunta 12. ABCD es una cometa que tiene AB = AD y BC = CD. Demuestra que la figura que se obtiene uniendo los puntos medios de los lados, en orden, es un rectángulo.

Solución:

Una cometa ABCD que tiene AB = AD y BC = CD. 

Únete a PQ, QR, RS y SP 

Entonces, P, Q, R, S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA.

Ahora tenemos que demostrar que PQRS es un rectángulo.

Prueba:

En ∆ABC, 

Se sabe que P y Q son los puntos medios de AB y BC

Así que del teorema del punto medio

PQ ∥ CA y PQ = (1/2) CA…. (i)

En ∆CAD, 

Se sabe que R y S son los puntos medios de CD y AD

Así que del teorema del punto medio

RS ∥ CA y RS = (1/2) CA…. (ii)

De la ecuación (i) y (ii) tenemos

PQ ∥ RS y PQ = RS

Entonces, PQRS es un paralelogramo. 

Ahora, demostramos que en el paralelogramo PQRS el ángulo es un ángulo recto.

Como AB = AD

= 12AB = 12AD

= AP = AS … (iii)         

= ∠1 = ∠2 …. (iv)

Ahora, en ΔPBQ y ΔSDR, tenemos

PB = SD [AD = AB ⇒ (1/2) AD = (1/2) AB]

BQ = DR [Ya que PB = SD]

Y PQ = SR [Ya que, PQRS es un paralelogramo]

Entonces, por el criterio de congruencia SSS, tenemos

ΔPBQ ≅ ΔSDR

por cpct

= ∠3 = ∠4 

Ahora, ∠3 + ∠SPQ + ∠2 = 180°

Y ∠1 + ∠PSR + ∠4 = 180°

 ∠3 + ∠SPQ + ∠2 = ∠1 + ∠PSR + ∠4

= ∠SPQ = ∠PSR [∠1 = ∠2 y ∠3 = ∠4]

De la figura sabemos que la transversal PS corta a las paralelas SR y PQ en S y P

Entonces, ∠SPQ + ∠PSR = 180°

= 2∠SPQ = 180°

= ∠SPQ = 90° [∠PSR = ∠SPQ]

Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo y∠SPQ = 90°.

Pregunta 13. Sea ABC un triángulo isósceles en el que AB = AC. Si D, E, F son los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente, demuestre que el segmento AD y EF se bisecan entre sí en ángulos rectos.

Solución:

Para probar: el segmento AD y EF se bisecan en ángulo recto.

Prueba: 

En ΔABC,

Se sabe que D, E y F son puntos medios de los lados BC, CA y AB 

Así que del teorema del punto medio

AB ∥ DE y AC ∥ DF

AF ∥ DE y AE ∥ DF

ABDE es un paralelogramo.

AF = DE y AE = DF [Porque los lados opuestos del paralelogramo son congruentes]

Así que del teorema del punto medio

(1/2) AB = DE y (1/2) AC = DF            

DE = DF                                                   

AE = AF = DE = DF

ABDF es un rombo.

AD y FE se bisecan en ángulo recto.

Por lo tanto probado

Pregunta 14. ABC es un triángulo. D es un punto sobre AB tal que AD = (1/4) AB y E es un punto sobre AC tal que AE = (1/4) AC. Demostrar que DE = (1/4) BC.

Solución:

Para probar: DE = (1/4) BC.

Prueba:

En ΔABC,

D es un punto en AB entonces,

DA = (1/4) 

AB y E es un punto en AC entonces,

AE = (1/4) CA.

Supongamos que P y Q son los puntos medios de AB y AC 

Entonces PQ ∥ BC

Así que del teorema del punto medio

PQ = (1/2) BC …. (i)                   

En ΔAPQ, 

D y E son los puntos medios de AP y AQ

Así que del teorema del punto medio

(1/2) DE ∥ PQ, y DE = (1/2) PQ…. (ii)    

De la ecuación (i) y (ii) sabemos que,

 DE = (1/2) PQ = (1/2) ((1/2) BC)

DE = (1/2) BC

Por lo tanto probado.

Pregunta 15. En la figura, ABCD es un paralelogramo en el que P es el punto medio de DC y Q es un punto en AC tal que CQ = (1/2) AC. Si PQ producido se encuentra con BC en R, demuestre que R es un punto medio de BC.

Solución:

Ahora únete a B y D.

Suponga que AC y BD se intersecan en O.

Así que del teorema del punto medio

Entonces OC = (1/2) AC             

Ahora,

CC = (1/4) CA

⇒ CC = 1/2((1/2) CA)

= (1/2) CO

En ΔDCO,

PQ ∥ DO [Porque P y Q son puntos medios de DC y OC]

De manera similar en ΔCOB, 

QR ∥ OB [Porque Q es el punto medio de OC]

R es el punto medio de BC.

Por lo tanto probado

Pregunta 16. En la figura, ABCD y PQRC son rectángulos y Q es el punto medio de AC. Pruebalo

(i) PD = PC

(ii) PR = (1/2) CA

Solución:

(i) En ΔADC, 

Se da que Q es el punto medio de AC tal que PQ ∥ AD

Entonces, P es el punto medio de DC.

Del teorema del punto medio

DP = CC              

Por lo tanto probado    

(ii) Del mismo modo, 

PR = (1/2) BD [R es el punto medio de BC]

PR = (1/2) AC [Las diagonales del rectángulo son iguales, BD = AC]

Por lo tanto probado

Pregunta 17. ABCD es un paralelogramo; E y f son los puntos medios de AB y CD respectivamente. GH es cualquier línea que corta AD, EF y BC en G, P y H respectivamente. Demuestre que GP = PH.

Solución:

E y F son puntos medios de AB y CD 

AE = BE = (1/2) AB

Y CF = DF = (1/2) CD

Pero, AB = CD

(1/2) AB = (1/2) CD

SER = FC

Además, BE ∥ CF [∴ AB ∥ CD]

Por lo tanto, BEFC es un paralelogramo

BC ∥ EF y BE = PH …. (i)

Ahora, BC ∥ EF

AD ∥ EF [BC ∥ AD]

Por lo tanto, AEFD es un paralelogramo.

AE = médico de cabecera

Entonces, AE = BF [E es el punto medio de AB]

GP = PH.

Por lo tanto Probado.

Pregunta 18. BM y CN son perpendiculares a una recta que pasa por el vértice A del triángulo ABC. Si L es el punto medio de BC, demuestre que LM = LN.

Solución:

Para probar: LM = LN

Dibuja LS perpendicular a la línea MN.

Las líneas BM, LS y CN son perpendiculares a la línea MN y paralelas entre sí.

Según el teorema de la intersección,

De la figura anterior sabemos que MB, LS y NC son tres paralelos 

líneas y las dos líneas transversales son MN y BC.

 BL = LC [L es el punto medio de BC]

Lo sabemos,

MS = SN ….. (i) [Por el teorema de la intersección]

Ahora, en ΔMLS y ΔLSN

MS = SN [De la ecuación (i)]

∠LSM = ∠LSN = 90° LS ⊥ MN]

Y SL = LS [lado común]

Por regla de congruencia SAS

ΔMLS ≅ ΔLSN       

Por lo tanto, por cpct

LM = LN                         

Por lo tanto probado

Pregunta 19. Demuestre que los segmentos de línea que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sí.

Solución:

Consideremos que ABCD es un cuadrilátero en el que 

P, Q, R y S son puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA 

Ahora, únase a PQ, QR, RS, SP y BD

 En ΔABD,

Se sabe que P y S son puntos medios de los lados AB y DA

Así que del teorema del punto medio

SP ∥ BD y SP = (1/2) BD …. (i)      

en ΔBCD

Se sabe que Q y R son puntos medios de los lados BC y CD

Así que del teorema del punto medio

QR ∥ BD y QR = (1/2) BD …. (ii)        

Ahora,

De la ecuación (i) y (ii)

SP ∥ QR y SP = QR                                         

Entonces, SPQR es un paralelogramo [Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí]

Por lo tanto, probado, PR y QS se bisecan entre sí.

Pregunta 20. Complete los espacios en blanco para que las siguientes afirmaciones sean correctas:

(i) El triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de un triángulo isósceles es ____________.

(ii) El triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de un triángulo rectángulo es ____________.

(iii) La figura formada al unir los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero es ____________.

Solución:

(i) isósceles

(ii) Triángulo rectángulo

(iii) paralelogramo

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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