Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 15 Áreas de paralelogramos y triángulos – Ejercicio 15.3 | conjunto 2

Pregunta 11. Si P es cualquier punto en el interior de un paralelogramo ABCD, entonces demuestre que el área del triángulo APB es menor que la mitad del área del paralelogramo.

Solución: 

Según la pregunta

ABCD es un paralelogramo y P es cualquier punto en el interior del paralelogramo

Demostrar: ar(ΔAPB) < 1/2 ar(|| gm ABCD)

Prueba:

Construcción: Dibuja DN ⊥ AB y PM ⊥ AB

Ahora, encontramos el área de ∥gm ABCD 

= AB × DN, 

Ahora, el área de ΔAPB 

= (1/2) (AB × PM)

Ahora, MP < DN

AB × PM <AB × DN

(1/2)(AB × PM) < (1/2)(AB × DN)

ar(ΔAPB) < 1/2 ar(∥ gm ABCD)

Por lo tanto probado

Pregunta 12. Si AD es una mediana de un triángulo ABC, entonces demuestre que los triángulos ADB y ADC tienen el mismo área. Si G es el punto medio de la mediana AD, demuestre que ar(ΔBGC) = 2ar(ΔAGC).

Solución: 

Según la pregunta

AD es la mediana de un triangulo ABC

Ahora, construye AM ⊥ BC

Se da que AD es la mediana de ΔABC

Entonces, BD = DC

BD = AM = CD × AM

(1/2)(BD × AM) = (1/2)(DC × AM)

ar(ΔABD) = ar(ΔACD) ….(i)

En ΔBGC, 

GD es la mediana

Entonces, ar(ΔBGD) = ar(ΔCGD) …..(ii)

En ΔACD, 

CG es la mediana

Entonces, ar(ΔAGC) = ar(ΔCGD) ……..(iii)

De la ecuación (ii) y (iii), obtenemos

ar(ΔBGD) = ar(ΔAGC)

Pero, ar(ΔBGC) = 2ar(ΔBGD)

Por lo tanto, ar(ΔBGC) = 2ar(ΔAGC)

Por lo tanto probado

Pregunta 13. Se toma un punto D del lado BC de un ΔABC, tal que BD = 2DC. Demostrar que ar(ΔABD) = 2ar(ΔADC).

Solución: 

Según la pregunta

BD = 2DC(En ΔABC)

Demostrar que ar(ΔABD) = 2ar(ΔADC).

Prueba:

Ahora dibuja un punto E en BD tal que BE = ED

Ya que, BE = ED y BD = 2 DC

Entonces, BE = ED = DC

Como sabemos que, en los triángulos, la mediana divide al triángulo en dos triángulos iguales.

En ΔABD, 

AE es la mediana.

Entonces, ar(ΔABD) = 2ar(ΔAED) …..(i)

En ΔAEC, 

AD es la mediana.

Entonces, ar(ΔAED) = 2ar(ΔADC) ….(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

ar(ΔABD) = 2ar(ΔADC)

Por lo tanto probado

Pregunta 14. ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales se cortan en O. Si P es cualquier punto en BO, prueba que:

(i) ar(ΔADO) = ar(ΔCDO).

(ii) ar(ΔABP) = 2ar(ΔCBP).

Solución: 

Según la pregunta

ABCD es el paralelogramo, cuyas diagonales se cortan en O

Entonces, AO = OC y BO = OD

(i) Demuestre que ar(ΔADO) = ar(ΔCDO)

Prueba:

En ΔDAC, 

DO es una mediana.

Entonces, ar(ΔADO) = ar(ΔCDO)

Por lo tanto probado

(ii) Demuestre que ar(ΔABP) = 2ar(ΔCBP)

Prueba:

En ΔBAC, 

BO es una mediana.

Entonces, ar(ΔBAO) = ar(ΔBCO) …..(i)

En ∆PAC, 

PO es una mediana.

Entonces, ar(ΔPAO) = ar(ΔPCO) …..(ii)

Ahora, restando la ecuación (ii) de (i), obtenemos

ar(ΔBAO) − ar(ΔPAO) = ar(ΔBCO) − ar(ΔPCO)

ar(ΔABP) = 2ar(ΔCBP)

Por lo tanto probado

Pregunta 15. ABCD es un paralelogramo en el que BC se produce a E tal que CE = BC. AE se cruza con CD en F.

(i) Demuestre que ar(ΔADF) = ar(ΔECF).

(ii) Si el área de ΔDFB = 3 cm 2 , encuentre el área de ∥ gm ABCD.

Solución: 

Según la pregunta

ABCD es un paralelogramo en el que BC se produce a E 

tal que CE = BC y AE corta a CD en F

(i) Demuestre que ar(ΔADF) = ar(ΔECF)

Prueba:

En ΔADF y ECF,

∠ADF = ∠ECF (ángulos interiores alternos)

AD = EC (Porque, AD = BC = CE)

∠DFA = ∠CFA (ángulo verticalmente opuesto)

Entonces, por congruencia AAS

ΔADF ≅ ΔECF

por cpct

 DF = FC 

Por lo tanto, ar(ΔADF) = ar(ΔECF) 

Por lo tanto probado

(ii) Del área de la pregunta de ΔDFB = 3 cm 2

Encuentra el área de ||gm ABCD

Ahora, DF = CF (Probado arriba)

BF es una mediana en Δ BCD.

ar(ΔBCD) = 2ar(ΔDFB)

ar(ΔBCD) = 2 × 3 cm 2 = 6 cm 2

Ahora encontramos el área de un paralelogramo = 2ar(ΔBCD) 

= 2 × 6 cm2 = 12 cm2

Por lo tanto, el área del paralelogramo es de 12 cm 2

Pregunta 16. ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales AC y BD se cortan en O. Una recta que pasa por O corta a AB en P y DC en Q. Demuestra que ar(ΔPOA) = ar(ΔQOC).

Solución: 

Demostrar: ar(ΔPOA) = ar(ΔQOC)

En ΔPOA y QOC, 

∠AOP = ∠COQ (ángulo verticalmente opuesto)

AO = OC

∠PAC = ∠QCA (ángulo alterno)

Entonces, por el criterio de congruencia ASA, tenemos

ΔPOA ≅ ΔQOC

Por lo tanto ar(ΔPOA) = ar(ΔQOC)

Por lo tanto probado

Pregunta 17. ABCD es un paralelogramo. E es un punto sobre BA tal que BE = 2EA y F es un punto sobre DC tal que DF = 2FC. Demostrar que AECF es un paralelogramo cuya área es un tercio del área del paralelogramo ABCD.

Solución: 

Demostrar: ar(∥gm AECF) = 1/3 ar(||gm ABCD)

Prueba:

Primera construcción FG ⊥ AB

Ahora, de acuerdo con la pregunta

BE = 2 EA y DF = 2FC

AB – AE = 2 AE y DC – FC = 2 FC

AB = 3 AE y DC = 3 FC

AE = (1/3) AB y FC = (1/3)DC …….(i)

Pero AB = DC

Entonces, AE = FC (Lados opuestos del paralelogramo)

AE = FC y AE ∥ FC

Entonces, AECF es un paralelogramo

Ahora, encontramos el área del paralelogramo AECF 

= AE × FG

Ponga el valor de AE ​​de eq(i), obtenemos

ar(||gm AECF) = 1/3 AB × FG      

3ar (||gm AECF) = AB × FG ….(ii)

y ar(||gm ABCD) = AB × FG ….(iii)

De la ecuación (ii) y (iii), obtenemos

3ar(||gm AECF) = ar(||gm ABCD)

Por lo tanto ar(||gm AECF) = 1/3 ar(||gm ABCD)

Por lo tanto probado

Pregunta 18. En un triángulo ABC, P y Q son respectivamente los puntos medios de AB y BC y R es el punto medio de AP. Pruebalo:

(i) ar(ΔPBQ) = ar(ΔARC).

(ii) ar(ΔPRQ) = 1/2 ar(ΔARC).

(iii) ar(ΔRQC) = 3/8 ar(ΔABC).

Solución: 

Según la pregunta

ABC es un triángulo en el que P, Q y R son los puntos medios de AB, BC y AP 

(i) Demuestre que ar(ΔPBQ) = ar(ΔARC)

Prueba:

CR es la mediana de ΔCAP

Entonces, ar(ΔCRA) = (1/2) ar(ΔCAP) ….(i)

CP es la mediana de un ΔCAB

Entonces, ar(ΔCAP) = ar(ΔCPB) ….(ii)

Entonces, de las ecuaciones (i) y (ii), concluimos que

ar(ΔARC) = (1/2) ar(ΔCPB) ….(iii)

Ahora, PQ es la mediana de un ΔPBC

Entonces, ar(ΔCPB) = 2ar(ΔPBQ) ….(iv)

De la ecuación (iii) y (iv), concluimos que

ar(ΔARC) = ar(ΔPBQ )                ….(v)

Por lo tanto probado

(ii) Ahora QP y QR son las medianas de los triángulos QAB y QAP 

Entonces, ar(ΔQAP) = ar(ΔQBP) ….(vi)

Y ar(ΔQAP) = 2ar(ΔQRP) ….(vii)

De la ecuación (vi) y (vii), concluimos que

ar(ΔPRQ) = (1/2) ar(ΔPBQ) ….(viii)

Y de la ecuación (v) y (viii), concluimos que

ar(ΔPRQ) = (1/2) ar(ΔARC)

Por lo tanto probado

(iii) Ahora, LR es una mediana de ΔCAP

Entonces, ar(ΔARC) = (1/2) ar(ΔCAD)

= 1/2 × (1/2) ar(ΔABC)

= (1/4) ar(ΔABC)

y RQ es la mediana de ΔRBC.

Entonces, ar(ΔRQC) = (1/2) ar(ΔRBC)

= (1/2) {ar(ΔABC) − ar(ΔARC)}

= (1/2) {ar(ΔABC) – (1/4) ar(ΔABC)}

= (3/8) ar(ΔABC)

Por lo tanto probado

Pregunta 19. ABCD es un paralelogramo. G es un punto de AB tal que AG = 2GB y E es un punto de DC tal que CE = 2DE y F es el punto de BC tal que BF = 2FC. Pruebalo:

(i) ar(ADEG) = ar(GBCE)

(ii) ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ABCD)

(iii) ar(ΔEFC) = (1/2) ar(ΔEBF)

(iv) ar(ΔEGB) = 3/2 × ar(ΔEFC)

(v) Encuentre qué porción del área del paralelogramo es el área de ΔEFG.

Solución: 

Según la pregunta 

ABCD es un paralelogramo

Entonces, AG = 2 GB, CE = 2 DE y BF = 2 FC

Ahora traza una recta paralela a AB que pase por el punto F y una recta perpendicular a AB desde C.

(i) Demuestre que ar(ADEG) = ar(GBCE)

Dado que ABCD es un paralelogramo

Entonces, AB = CD y AD = BC

Ahora, consideremos los dos trapecios ADEG y GBCE

Como AB = DC, EC = 2DE, AG = 2GB

Entonces, ED = (1/3) CD = (1/3) AB y EC = (2/3) CD = (2/3) AB

AG = (2/3) AB y BG = (1/3) AB

Entonces, DE + AG = (1/3) AB + (2/3) AB = AB y EC+ BG = (2/3) AB + (1/3) AB = AB

Como estos dos trapecios tienen la misma altura, también la suma de sus dos lados paralelos es igual,

Entonces, el área del trapecio = suma de los lados paralelos/2 x altura

Por lo tanto, ar(ADEG) = ar(GBCE)

Por lo tanto probado

(ii) Demuestre que ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ABCD)

De lo anterior sabemos que

GS = (1/2) AB 

Entonces, ar(ΔEGB) = (1/2) × GB × altura

ar(ΔEGB) = (1/2) × (1/3) × AB × altura

ar(ΔEGB) = (1/6) × AB × altura

Entonces, ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ABCD)

Por lo tanto probado

(iii) Demuestre que ar(ΔEFC) = (1/2) ar(ΔEBF)

Como sabemos que las alturas del triángulo EFC y EBF son iguales, 

Entonces, ar(ΔEFC) = (1/2) × FC × altura

ar(ΔEFC) = (1/2) × (1/2) × FB × altura

ar(ΔEFC) = (1/2) ar(EBF)

Entonces, ar(ΔEFC) = (1/2) ar(ΔEBF)

Por lo tanto probado

(iv) Demuestre que ar(ΔEGB) = 3/2 × ar(ΔEFC)

Consideremos el trapecio EGBC

Entonces, ar(EGBC) = ar(ΔEGB) + ar(ΔEBF) + ar(ΔEFC)

Ahora pon todos estos valores, obtenemos

(1/2) ar(ABCD) = (1/6) ar(ABCD) + 2ar(ΔEFC) + ar(ΔEFC)

(1/3) ar(ABCD) = 3 ar(ΔEFC)

ar(ΔEFC) = (1/9) ar(ABCD)

Ahora de la opción (ii), obtenemos,

ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ΔEFC)

ar(ΔEGB) = (3/2) × (1/9) ar(ABCD)

ar(ΔEGB) = (3/2) ar(ΔEFC)

Por lo tanto, ar(ΔEGB) = (3/2) ar(ΔEFC)

Por lo tanto probado

(v) De la figura, tenemos FB = 2CF,

Entonces, consideremos CF = x y FB = 2x.

Ahora, tomamos el triángulo CFI y CBH que son triángulos semejantes.

Entonces, por la propiedad del triángulo semejante, obtenemos

CI = ky IH = 2k

Ahora, tomamos ΔEGF en el que,

ar(ΔEFG) = ar(ΔESF) + ar(ΔSGF)

ar(ΔEFG) = (1/2) SF × k + (1/2) SF × 2k

ar(ΔEFG) = (3/2) SF × k …….(i)

Ahora,

ar(ΔEGBC) = ar(SGBF) + ar(ESFC)

ar(ΔEGBC) = (1/2)(SF + GB) × 2k + (1/2)(SF + EC) × k

ar(ΔEGBC) = (3/2) k × SF + (GB + (1/2)EC) × k

ar(ΔEGBC) = (3/2) k × SF + (1/3 AB + (1/2) × (2/3) AB) × k

(1/2) ar(ΔABCD) = (3/2) k × SF + (2/3) AB × k

ar(ΔABCD) = 3k × SF + (4/3) AB × k                       

ar(ΔABCD) = 3k × SF + 4/9 ar(ABCD)

k × SF = (5/27)ar(ABCD) …….(ii)

De la ecuación (i) y (ii), concluimos que

ar(ΔEFG) = (3/2) × (5/27) ar(ABCD)

ar(ΔEFG) = (5/18) ar(ABCD)

Por lo tanto probado

Pregunta 20. En figura, CD || AE y CY || LICENCIADO EN LETRAS.

(i) Nombre un triángulo de igual área de ΔCBX

(ii) Demuestre que ar(ΔZDE) = ar(ΔCZA)

(iii) Demuestre que ar(BCZY) = ar(ΔEDZ)

Solución : 

Según la pregunta 

disco compacto || AE y CY || licenciado en Letras

(i) Aquí, el triángulo BCA y el triángulo BYA están en la misma base BA y 

entre las mismas paralelas BA y CY.

Entonces, ar(ΔBCA) = ar(ΔBYA) ….(i)

Ahora que sabemos que ar(ΔBCA) = ar(ΔCBX) + ar(ΔBXA)

ar(ΔBYA) = ar(ΔBXA) + ar(ΔAXY)

Entonces, colocando todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

ar(ΔCBX) + ar(ΔBXA) = ar(ΔBXA) + ar(ΔAXY)

Entonces, ar(ΔCBX) = ar(ΔAXY)               

(ii) Aquí, los triángulos ACE y ADE están en la misma base AE y 

entre los mismos paralelos CD y AE

Entonces, ar(ΔACE) = ar(ΔADE) …..(ii)

Ahora que sabemos que ar(ΔACE) = ar(ΔCZA) + ar(ΔAZE)

y ar(ΔADE) = ar(ΔAZE) + ar(ΔDZE)

Entonces, ponga todos estos valores en la ecuación (ii), obtenemos

ar(ΔCZA) + ar(ΔAZE) = ar(ΔAZE) + ar(ΔDZE)

ar(ΔCZA) = ar(ΔDZE) ……(iii)

Por lo tanto probado

(iii) Como sabemos que ar(ΔCBX) = ar(ΔAXY)        

Ahora, sumamos ar(ΔCYG) en ambos lados, obtenemos

ar(ΔCBX) + ar(ΔCYZ) = ar(ΔCAY) + ar(ΔCYZ)

ar(BCZY) = ar(ΔCZA) ….(iv)

De la ecuación (iii) y (iv), concluimos que

ar(BCZY) = ar(ΔDZE)

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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