Pregunta 11. Si P es cualquier punto en el interior de un paralelogramo ABCD, entonces demuestre que el área del triángulo APB es menor que la mitad del área del paralelogramo.
Solución:
Según la pregunta
ABCD es un paralelogramo y P es cualquier punto en el interior del paralelogramo
Demostrar: ar(ΔAPB) < 1/2 ar(|| gm ABCD)
Prueba:
Construcción: Dibuja DN ⊥ AB y PM ⊥ AB
Ahora, encontramos el área de ∥gm ABCD
= AB × DN,
Ahora, el área de ΔAPB
= (1/2) (AB × PM)
Ahora, MP < DN
AB × PM <AB × DN
(1/2)(AB × PM) < (1/2)(AB × DN)
ar(ΔAPB) < 1/2 ar(∥ gm ABCD)
Por lo tanto probado
Pregunta 12. Si AD es una mediana de un triángulo ABC, entonces demuestre que los triángulos ADB y ADC tienen el mismo área. Si G es el punto medio de la mediana AD, demuestre que ar(ΔBGC) = 2ar(ΔAGC).
Solución:
Según la pregunta
AD es la mediana de un triangulo ABC
Ahora, construye AM ⊥ BC
Se da que AD es la mediana de ΔABC
Entonces, BD = DC
BD = AM = CD × AM
(1/2)(BD × AM) = (1/2)(DC × AM)
ar(ΔABD) = ar(ΔACD) ….(i)
En ΔBGC,
GD es la mediana
Entonces, ar(ΔBGD) = ar(ΔCGD) …..(ii)
En ΔACD,
CG es la mediana
Entonces, ar(ΔAGC) = ar(ΔCGD) ……..(iii)
De la ecuación (ii) y (iii), obtenemos
ar(ΔBGD) = ar(ΔAGC)
Pero, ar(ΔBGC) = 2ar(ΔBGD)
Por lo tanto, ar(ΔBGC) = 2ar(ΔAGC)
Por lo tanto probado
Pregunta 13. Se toma un punto D del lado BC de un ΔABC, tal que BD = 2DC. Demostrar que ar(ΔABD) = 2ar(ΔADC).
Solución:
Según la pregunta
BD = 2DC(En ΔABC)
Demostrar que ar(ΔABD) = 2ar(ΔADC).
Prueba:
Ahora dibuja un punto E en BD tal que BE = ED
Ya que, BE = ED y BD = 2 DC
Entonces, BE = ED = DC
Como sabemos que, en los triángulos, la mediana divide al triángulo en dos triángulos iguales.
En ΔABD,
AE es la mediana.
Entonces, ar(ΔABD) = 2ar(ΔAED) …..(i)
En ΔAEC,
AD es la mediana.
Entonces, ar(ΔAED) = 2ar(ΔADC) ….(ii)
De la ecuación (i) y (ii), obtenemos
ar(ΔABD) = 2ar(ΔADC)
Por lo tanto probado
Pregunta 14. ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales se cortan en O. Si P es cualquier punto en BO, prueba que:
(i) ar(ΔADO) = ar(ΔCDO).
(ii) ar(ΔABP) = 2ar(ΔCBP).
Solución:
Según la pregunta
ABCD es el paralelogramo, cuyas diagonales se cortan en O
Entonces, AO = OC y BO = OD
(i) Demuestre que ar(ΔADO) = ar(ΔCDO)
Prueba:
En ΔDAC,
DO es una mediana.
Entonces, ar(ΔADO) = ar(ΔCDO)
Por lo tanto probado
(ii) Demuestre que ar(ΔABP) = 2ar(ΔCBP)
Prueba:
En ΔBAC,
BO es una mediana.
Entonces, ar(ΔBAO) = ar(ΔBCO) …..(i)
En ∆PAC,
PO es una mediana.
Entonces, ar(ΔPAO) = ar(ΔPCO) …..(ii)
Ahora, restando la ecuación (ii) de (i), obtenemos
ar(ΔBAO) − ar(ΔPAO) = ar(ΔBCO) − ar(ΔPCO)
ar(ΔABP) = 2ar(ΔCBP)
Por lo tanto probado
Pregunta 15. ABCD es un paralelogramo en el que BC se produce a E tal que CE = BC. AE se cruza con CD en F.
(i) Demuestre que ar(ΔADF) = ar(ΔECF).
(ii) Si el área de ΔDFB = 3 cm 2 , encuentre el área de ∥ gm ABCD.
Solución:
Según la pregunta
ABCD es un paralelogramo en el que BC se produce a E
tal que CE = BC y AE corta a CD en F
(i) Demuestre que ar(ΔADF) = ar(ΔECF)
Prueba:
En ΔADF y ECF,
∠ADF = ∠ECF (ángulos interiores alternos)
AD = EC (Porque, AD = BC = CE)
∠DFA = ∠CFA (ángulo verticalmente opuesto)
Entonces, por congruencia AAS
ΔADF ≅ ΔECF
por cpct
DF = FC
Por lo tanto, ar(ΔADF) = ar(ΔECF)
Por lo tanto probado
(ii) Del área de la pregunta de ΔDFB = 3 cm 2 ,
Encuentra el área de ||gm ABCD
Ahora, DF = CF (Probado arriba)
BF es una mediana en Δ BCD.
ar(ΔBCD) = 2ar(ΔDFB)
ar(ΔBCD) = 2 × 3 cm 2 = 6 cm 2
Ahora encontramos el área de un paralelogramo = 2ar(ΔBCD)
= 2 × 6 cm2 = 12 cm2
Por lo tanto, el área del paralelogramo es de 12 cm 2
Pregunta 16. ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales AC y BD se cortan en O. Una recta que pasa por O corta a AB en P y DC en Q. Demuestra que ar(ΔPOA) = ar(ΔQOC).
Solución:
Demostrar: ar(ΔPOA) = ar(ΔQOC)
En ΔPOA y QOC,
∠AOP = ∠COQ (ángulo verticalmente opuesto)
AO = OC
∠PAC = ∠QCA (ángulo alterno)
Entonces, por el criterio de congruencia ASA, tenemos
ΔPOA ≅ ΔQOC
Por lo tanto ar(ΔPOA) = ar(ΔQOC)
Por lo tanto probado
Pregunta 17. ABCD es un paralelogramo. E es un punto sobre BA tal que BE = 2EA y F es un punto sobre DC tal que DF = 2FC. Demostrar que AECF es un paralelogramo cuya área es un tercio del área del paralelogramo ABCD.
Solución:
Demostrar: ar(∥gm AECF) = 1/3 ar(||gm ABCD)
Prueba:
Primera construcción FG ⊥ AB
Ahora, de acuerdo con la pregunta
BE = 2 EA y DF = 2FC
AB – AE = 2 AE y DC – FC = 2 FC
AB = 3 AE y DC = 3 FC
AE = (1/3) AB y FC = (1/3)DC …….(i)
Pero AB = DC
Entonces, AE = FC (Lados opuestos del paralelogramo)
AE = FC y AE ∥ FC
Entonces, AECF es un paralelogramo
Ahora, encontramos el área del paralelogramo AECF
= AE × FG
Ponga el valor de AE de eq(i), obtenemos
ar(||gm AECF) = 1/3 AB × FG
3ar (||gm AECF) = AB × FG ….(ii)
y ar(||gm ABCD) = AB × FG ….(iii)
De la ecuación (ii) y (iii), obtenemos
3ar(||gm AECF) = ar(||gm ABCD)
Por lo tanto ar(||gm AECF) = 1/3 ar(||gm ABCD)
Por lo tanto probado
Pregunta 18. En un triángulo ABC, P y Q son respectivamente los puntos medios de AB y BC y R es el punto medio de AP. Pruebalo:
(i) ar(ΔPBQ) = ar(ΔARC).
(ii) ar(ΔPRQ) = 1/2 ar(ΔARC).
(iii) ar(ΔRQC) = 3/8 ar(ΔABC).
Solución:
Según la pregunta
ABC es un triángulo en el que P, Q y R son los puntos medios de AB, BC y AP
(i) Demuestre que ar(ΔPBQ) = ar(ΔARC)
Prueba:
CR es la mediana de ΔCAP
Entonces, ar(ΔCRA) = (1/2) ar(ΔCAP) ….(i)
CP es la mediana de un ΔCAB
Entonces, ar(ΔCAP) = ar(ΔCPB) ….(ii)
Entonces, de las ecuaciones (i) y (ii), concluimos que
ar(ΔARC) = (1/2) ar(ΔCPB) ….(iii)
Ahora, PQ es la mediana de un ΔPBC
Entonces, ar(ΔCPB) = 2ar(ΔPBQ) ….(iv)
De la ecuación (iii) y (iv), concluimos que
ar(ΔARC) = ar(ΔPBQ ) ….(v)
Por lo tanto probado
(ii) Ahora QP y QR son las medianas de los triángulos QAB y QAP
Entonces, ar(ΔQAP) = ar(ΔQBP) ….(vi)
Y ar(ΔQAP) = 2ar(ΔQRP) ….(vii)
De la ecuación (vi) y (vii), concluimos que
ar(ΔPRQ) = (1/2) ar(ΔPBQ) ….(viii)
Y de la ecuación (v) y (viii), concluimos que
ar(ΔPRQ) = (1/2) ar(ΔARC)
Por lo tanto probado
(iii) Ahora, LR es una mediana de ΔCAP
Entonces, ar(ΔARC) = (1/2) ar(ΔCAD)
= 1/2 × (1/2) ar(ΔABC)
= (1/4) ar(ΔABC)
y RQ es la mediana de ΔRBC.
Entonces, ar(ΔRQC) = (1/2) ar(ΔRBC)
= (1/2) {ar(ΔABC) − ar(ΔARC)}
= (1/2) {ar(ΔABC) – (1/4) ar(ΔABC)}
= (3/8) ar(ΔABC)
Por lo tanto probado
Pregunta 19. ABCD es un paralelogramo. G es un punto de AB tal que AG = 2GB y E es un punto de DC tal que CE = 2DE y F es el punto de BC tal que BF = 2FC. Pruebalo:
(i) ar(ADEG) = ar(GBCE)
(ii) ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ABCD)
(iii) ar(ΔEFC) = (1/2) ar(ΔEBF)
(iv) ar(ΔEGB) = 3/2 × ar(ΔEFC)
(v) Encuentre qué porción del área del paralelogramo es el área de ΔEFG.
Solución:
Según la pregunta
ABCD es un paralelogramo
Entonces, AG = 2 GB, CE = 2 DE y BF = 2 FC
Ahora traza una recta paralela a AB que pase por el punto F y una recta perpendicular a AB desde C.
(i) Demuestre que ar(ADEG) = ar(GBCE)
Dado que ABCD es un paralelogramo
Entonces, AB = CD y AD = BC
Ahora, consideremos los dos trapecios ADEG y GBCE
Como AB = DC, EC = 2DE, AG = 2GB
Entonces, ED = (1/3) CD = (1/3) AB y EC = (2/3) CD = (2/3) AB
AG = (2/3) AB y BG = (1/3) AB
Entonces, DE + AG = (1/3) AB + (2/3) AB = AB y EC+ BG = (2/3) AB + (1/3) AB = AB
Como estos dos trapecios tienen la misma altura, también la suma de sus dos lados paralelos es igual,
Entonces, el área del trapecio = suma de los lados paralelos/2 x altura
Por lo tanto, ar(ADEG) = ar(GBCE)
Por lo tanto probado
(ii) Demuestre que ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ABCD)
De lo anterior sabemos que
GS = (1/2) AB
Entonces, ar(ΔEGB) = (1/2) × GB × altura
ar(ΔEGB) = (1/2) × (1/3) × AB × altura
ar(ΔEGB) = (1/6) × AB × altura
Entonces, ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ABCD)
Por lo tanto probado
(iii) Demuestre que ar(ΔEFC) = (1/2) ar(ΔEBF)
Como sabemos que las alturas del triángulo EFC y EBF son iguales,
Entonces, ar(ΔEFC) = (1/2) × FC × altura
ar(ΔEFC) = (1/2) × (1/2) × FB × altura
ar(ΔEFC) = (1/2) ar(EBF)
Entonces, ar(ΔEFC) = (1/2) ar(ΔEBF)
Por lo tanto probado
(iv) Demuestre que ar(ΔEGB) = 3/2 × ar(ΔEFC)
Consideremos el trapecio EGBC
Entonces, ar(EGBC) = ar(ΔEGB) + ar(ΔEBF) + ar(ΔEFC)
Ahora pon todos estos valores, obtenemos
(1/2) ar(ABCD) = (1/6) ar(ABCD) + 2ar(ΔEFC) + ar(ΔEFC)
(1/3) ar(ABCD) = 3 ar(ΔEFC)
ar(ΔEFC) = (1/9) ar(ABCD)
Ahora de la opción (ii), obtenemos,
ar(ΔEGB) = (1/6) ar(ΔEFC)
ar(ΔEGB) = (3/2) × (1/9) ar(ABCD)
ar(ΔEGB) = (3/2) ar(ΔEFC)
Por lo tanto, ar(ΔEGB) = (3/2) ar(ΔEFC)
Por lo tanto probado
(v) De la figura, tenemos FB = 2CF,
Entonces, consideremos CF = x y FB = 2x.
Ahora, tomamos el triángulo CFI y CBH que son triángulos semejantes.
Entonces, por la propiedad del triángulo semejante, obtenemos
CI = ky IH = 2k
Ahora, tomamos ΔEGF en el que,
ar(ΔEFG) = ar(ΔESF) + ar(ΔSGF)
ar(ΔEFG) = (1/2) SF × k + (1/2) SF × 2k
ar(ΔEFG) = (3/2) SF × k …….(i)
Ahora,
ar(ΔEGBC) = ar(SGBF) + ar(ESFC)
ar(ΔEGBC) = (1/2)(SF + GB) × 2k + (1/2)(SF + EC) × k
ar(ΔEGBC) = (3/2) k × SF + (GB + (1/2)EC) × k
ar(ΔEGBC) = (3/2) k × SF + (1/3 AB + (1/2) × (2/3) AB) × k
(1/2) ar(ΔABCD) = (3/2) k × SF + (2/3) AB × k
ar(ΔABCD) = 3k × SF + (4/3) AB × k
ar(ΔABCD) = 3k × SF + 4/9 ar(ABCD)
k × SF = (5/27)ar(ABCD) …….(ii)
De la ecuación (i) y (ii), concluimos que
ar(ΔEFG) = (3/2) × (5/27) ar(ABCD)
ar(ΔEFG) = (5/18) ar(ABCD)
Por lo tanto probado
Pregunta 20. En figura, CD || AE y CY || LICENCIADO EN LETRAS.
(i) Nombre un triángulo de igual área de ΔCBX
(ii) Demuestre que ar(ΔZDE) = ar(ΔCZA)
(iii) Demuestre que ar(BCZY) = ar(ΔEDZ)
Solución :
Según la pregunta
disco compacto || AE y CY || licenciado en Letras
(i) Aquí, el triángulo BCA y el triángulo BYA están en la misma base BA y
entre las mismas paralelas BA y CY.
Entonces, ar(ΔBCA) = ar(ΔBYA) ….(i)
Ahora que sabemos que ar(ΔBCA) = ar(ΔCBX) + ar(ΔBXA)
ar(ΔBYA) = ar(ΔBXA) + ar(ΔAXY)
Entonces, colocando todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos
ar(ΔCBX) + ar(ΔBXA) = ar(ΔBXA) + ar(ΔAXY)
Entonces, ar(ΔCBX) = ar(ΔAXY)
(ii) Aquí, los triángulos ACE y ADE están en la misma base AE y
entre los mismos paralelos CD y AE
Entonces, ar(ΔACE) = ar(ΔADE) …..(ii)
Ahora que sabemos que ar(ΔACE) = ar(ΔCZA) + ar(ΔAZE)
y ar(ΔADE) = ar(ΔAZE) + ar(ΔDZE)
Entonces, ponga todos estos valores en la ecuación (ii), obtenemos
ar(ΔCZA) + ar(ΔAZE) = ar(ΔAZE) + ar(ΔDZE)
ar(ΔCZA) = ar(ΔDZE) ……(iii)
Por lo tanto probado
(iii) Como sabemos que ar(ΔCBX) = ar(ΔAXY)
Ahora, sumamos ar(ΔCYG) en ambos lados, obtenemos
ar(ΔCBX) + ar(ΔCYZ) = ar(ΔCAY) + ar(ΔCYZ)
ar(BCZY) = ar(ΔCZA) ….(iv)
De la ecuación (iii) y (iv), concluimos que
ar(BCZY) = ar(ΔDZE)
Por lo tanto probado
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA