Pregunta 1. En la figura, calcula el área del cuadrilátero ABCD.
Solución:
Según la pregunta
DC = 17 cm, AD = 9 cm y BC = 8 cm
Hallar: el área del cuadrilátero ABCD
En ΔBCD,
Usando el teorema de Pitágoras
CD 2 = BD 2 + BC 2
17 2 = BD 2 + 8 2
BD 2 = 289 − 64
DB = 15
Entonces, el área de ΔBCD = 1/2(8 × 17) = 68
en ΔABD
Usando el teorema de Pitágoras
AB 2 + AD 2 = BD 2
15 2 = AB 2 + 9 2
AB2 = 225 − 81 = 144
AB = 12
Entonces, el área de ΔABD = 1/2(12 × 9) = 54
Ahora encontramos el ar(quad ABCD) = ar(ΔABD) + ar(ΔBCD)
ar(cuadrado ABCD) = 54 + 68 = 122 cm 2
Por lo tanto, el área del cuadrilátero ABCD es 122 cm 2
Pregunta 2. En la figura, PQRS es un cuadrado y T y U son, respectivamente, los puntos medios de PS y QR. Encuentra el área de ΔOTS si PQ = 8 cm.
Solución:
Según la pregunta
T y U son puntos medios de PS y QR
Por lo tanto, TU ∥ PQ
PQ = 8 cm
Encuentre: el área de ΔOTS
En ΔPQS,
Se da que T es el punto medio de PS y TO ∥ PQ
por lo tanto, TO = (1/2) PQ = 4 cm
y TS = (1/2) PS = 4 cm
Entonces, el área de ar(ΔOTS) = (1/2)(TO × TS)
= (1/2)(4 × 4) = 8 cm2
Por lo tanto, el área de ΔOTS es de 8 cm 2
Pregunta 3. Calcula el área del trapecio PQRS en la figura
Solución:
Según la figura
PQ = 16 cm
Aquí T es el punto medio del lado PQ entonces
PT = QT = 8 cm
RS = 8 cm
RQ = 17 cm
Encuentra: el área del trapecio PQRS
Entonces, el ar(trap. PQRS) = ar(rect. PSRT) + ar(ΔQRT) ….(1)
Entonces, en ΔQRT
Usando el teorema de Pitágoras
QR 2 = QT 2 + RT 2
RT 2 = QR 2 − QT 2
RT 2 = 17 2 − 8 2 = 225
RT = 15
Entonces, el área de ΔQRT
= 1/2(QT × RT) = 8 × 15 = 180/2 = 60
Ahora encontramos el área del rectángulo PSRT
= PT × RT = 8 × 15 = 120
Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos
ar(trampa. PQRS) = 120 + 60 = 180
Por lo tanto, el área del trapecio es 180 cm 2
Pregunta 4. En la figura, ∠AOB = 90°, AC = BC, OA = 12 cm y OC = 6,5 cm. Encuentre el área de ΔAOB.
Solución:
Según la pregunta
∠AOB = 90°, AC = BC, OA = 12 cm y OC = 6,5 cm
Encuentre: el área de ΔAOB
De la figura, C es el punto medio de la hipotenusa AB, por lo que en el triángulo rectángulo
el punto medio es equidistante de los vértices
por lo tanto, CA = CB = OC
CA = CB = 6,5 cm
AB = 13cm
En ΔOAB,
Usando el teorema de Pitágoras
AB 2 = OB 2 + OA 2
13 2 = OB 2 + 12 2
OB 2 = 13 2 − 12 2 = 169 − 144 = 25
BO = 5
Ahora encontramos el área de ΔAOB = (1/2)(12 × 5) = 30 cm 2
Por lo tanto, el área de ΔAOB es 30 cm 2
Pregunta 5. En la figura, ABCD es un trapecio en el que AB = 7 cm, AD = BC = 5 cm, DC = x cm y la distancia entre AB y DC es de 4 cm. Encuentra el valor de x y el área del trapecio ABCD.
Solución:
Según la pregunta
AB = 7 cm, AD = BC = 5 cm
Construcción: Dibuje AL ⊥ DC, BM ⊥ DC,
AL = BM = 4 cm y LM = 7 cm
Encuentra: el valor de x y el área del trapecio ABCD.
En Δ AVD,
Usando el teorema de Pitágoras
AD 2 = AL 2 + DL 2
25 = 16 + DL 2
DL = 3 cm
Similarmente,
MC = √BC 2 – BM 2 = √25 – 16 = 3 cm
Entonces, x = CD = CM + ML + LD = (3 + 7 + 3) cm = 13 cm
Ahora encontramos el área del trapecio ABCD = 1/2(AB + CD) × AL
= 1/2(7 + 13) × 4 cm2 = 40 cm2
Por lo tanto, el valor de x es 3 cm y el área del trapecio es 40 cm 2
Pregunta 6. En la figura, OCDE es un rectángulo inscrito en un cuadrante de un círculo de radio 10 cm. Si OE = 2√5 cm, encuentra el área del rectángulo.
Solución:
Según la pregunta
DE = 10 cm y OE = 2√5cm
Encuentra: el área del rectángulo OCDE
Entonces, en ΔDEO
Usando el teorema de Pitágoras
DO 2 = OE 2 + DE 2
DE = √OD 2 – OE 2
= √10 2 – (2√5) 2 = 4√5 cm
Ahora encontramos el área del rectángulo OCDE = OE × DE
= 2√5 x 4√5 cm2 = 40 cm2
Por lo tanto, el área del rectángulo es de 40 cm 2
Pregunta 7. En la figura, ABCD es un trapecio en el que AB ∥ DC. Demostrar que ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC)
Solución:
Según la pregunta
ABCD es un trapecio en el que AB ∥ DC
Para probar: ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC)
Prueba :
De acuerdo con la figura, concluimos que ΔADC y ΔBDC están en el
misma base DC y entre los mismos paralelos AB y DC
Entonces, ar(ΔADC) = ar(ΔBDC) ….(1)
Aquí, ar(ΔADC) = ar(ΔAOD) + ar(ΔDOC)
De manera similar, ar(ΔBDC) = ar(ΔBOC) + ar(ΔDOC)
Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos
ar(ΔAOD) + ar(ΔDOC) = ar(ΔBOC) + ar(ΔDOC)
ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC)
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 8. En la figura, ABCD, ABFE y CDEF son paralelogramos. Demuestre que ar(ΔADE) = ar(ΔBCF).
Solución:
Según la pregunta
ABCD es un paralelogramo, entonces, AD = BC
CDEF es paralelogramo, entonces, DE = CF
ABFE es paralelogramo, entonces, AE = BF
Demostrar: ar(ΔADE) = ar(ΔBCF)
Prueba:
En ΔADF y BCF,
AD = BC,
DE = FC
AE = BF
Entonces, por congruencia SSS,
ΔADE ≅ ΔBCF
Entonces, ar(ΔADE) = ar(ΔBCF)
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 9. Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero ABCD se cortan en P. Demuestra que: ar(ΔAPB) × ar(ΔCPD) = ar(ΔAPD) × ar(ΔBPC).
Solución:
Construcción: Dibuja BQ ⊥ AC y DR ⊥ AC
Demostrar: ar(ΔAPB) × ar(ΔCPD) = ar(ΔAPD) × ar(ΔBPC)
Prueba:
Tomemos LHS
= ar(ΔAPB) × ar(ΔCDP)
= (1/2) [(AP × BQ)] × (1/2 × PC × DR)
= (1/2 × PC × BQ) × (1/2 × AP × DR)
= ar(ΔAPD) × ar(ΔBPC)
LHS = RHS
Por lo tanto probado
Pregunta 10. En la figura, ABC y ABD son dos triángulos sobre la base AB. Si el segmento de línea CD es bisecado por AB en O, demuestre que ar(ΔABC) = ar(ΔABD).
Solución:
Según la pregunta
ABC y ABD son dos triángulos de base AB
y CD es bisecado por AB en O,
Para probar: ar(ΔABC) = ar(ΔABD).
Construcción: CP ⊥ AB y DQ ⊥ AB.
Prueba:
Primero encontramos el área de ΔABC = 1/2 × AB × CP …..(i)
Ahora encontramos el área de ΔABD = 1/2 × AB × DQ …..(i)
Entonces, en ΔCPO y ΔDQO,
∠CPO = ∠DQO (Cada 90°)
CO = OD (Dado)
∠COP = ∠DOQ (los ángulos verticalmente opuestos son iguales)
Entonces, por congruencia AAS
ΔCPO ≅ ΔDQO
Entonces, por CPCT
CP = DQ …..(iii)
Entonces, de la ecuación (i), (ii) y (iii)
ar(ΔABC) = ar(ΔABD)
Por lo tanto probado
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Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA