Pregunta 1. El radio de un círculo es de 8 cm y la longitud de una de sus cuerdas es de 12 cm. Encuentre la distancia de la cuerda desde el centro.
Solución:
Según la pregunta, dado que
Radio (OA) = 8 cm
Cuerda (AB) = 12cm
Encuentre: la distancia de la cuerda desde el centro, es decir, OC
Entonces, dibuja un OC perpendicular en AB.
Como sabemos que, la perpendicular del centro a la cuerda biseca la cuerda
Entonces AC = BC = 12/2 = 6 cm
Ahora en ΔOCA,
Usando el teorema de Pitágoras,
OA 2 = AC 2 + OC 2
64 = 36 + CO 2
CO 2 = 64 – 36 = 28
CO = √28
CO = 5.291 (aprox.)
Por tanto, la distancia de la cuerda al centro es 5,291 cm.
Pregunta 2. Encuentra la longitud de una cuerda que está a una distancia de 5 cm del centro de un círculo de 10 cm de radio.
Solución:
Según la pregunta, dado que
Distancia de la cuerda al centro (OC) = 5 cm
Radio (OA) = 10 cm
Hallar: la longitud de una cuerda AB
Entonces, en ΔOCA,
Usando el teorema de Pitágoras,
OA 2 = AC 2 + OC 2
100 = CA 2 + 25
CA 2 = 100 – 25 = 75
CA = √75 = 8,66
Como sabemos que, la perpendicular del centro a la cuerda biseca la cuerda
Entonces, CA = BC = 8,66 cm
=> AB = AC+ BC = 8,66 + 8,66 = 17,32
Por lo tanto, la longitud de la cuerda AB es de 17,32 cm.
Pregunta 3. Encuentra la longitud de una cuerda que está a una distancia de 4 cm del centro de un círculo de 6 cm de radio.
Solución:
Según la pregunta, dado que
Distancia de la cuerda al centro (OC) = 4 cm
Radio (AO) = 6 cm
Encuentra: la longitud de una cuerda, es decir, AB
Entonces, en ΔOCA,
Usando el teorema de Pitágoras,
OA 2 = AC 2 + OC 2
36 = CA 2 + 16
CA 2 = 36 – 16 = 20
CA = √20 = 4,47
CA = 4,47 cm
Como sabemos que, la perpendicular del centro a la cuerda biseca la cuerda
Entonces, AC = BC = 4.47 cm
=> AB = AC+ BC = 4,47 + 4,47 = 8,94
Por lo tanto, la longitud de la cuerda AB es de 8,94 cm.
Pregunta 4. Dos cuerdas AB, CD de longitudes 5 cm, 11 cm respectivamente de un círculo son paralelas. Si la distancia entre AB y CD es de 3 cm, encuentra el radio del círculo.
Solución:
Según la pregunta, dado que
La longitud de la cuerda AB = 5 cm
La longitud del acorde CD = 11 cm
PQ = 3 cm
Encuentre: el radio del círculo, es decir, r
Entonces, dibuja las perpendiculares OP en CD y OQ en AB
Supongamos OP = x cm y OC = OA = r cm
Como sabemos que, la perpendicular del centro a la cuerda biseca la cuerda
OP⊥CD,
Entonces, CP = PD = 11/2 cm
Y OQ⊥AB
Entonces, AQ = BQ = 5/2 cm
Ahora, en ΔOCP,
Usando el teorema de Pitágoras,
OC 2 = OP 2 + CP 2
r 2 = x 2 + (11/2) 2 …..(1)
En ΔOQA,
Usando el teorema de Pitágoras,
OA 2 = OQ 2 + AQ 2
r 2 = (x + 3) 2 + (5/2) 2 …..(2)
De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos
(x + 3) 2 + (5/2) 2 = x 2 + (11/2) 2
x2 + 6x + 9 + 25/4 = x2 + 121/4
Usando la identidad, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
6x = 121/4 – 25/4 − 9
6x = 15
o x = 15/6 = 5/2
Ahora, sustituimos el valor de x en la ecuación (1), obtenemos
r 2 = (5/2) 2 + (11/2) 2
r2 = 25/4 + 121/4
r2 = 146/4
r = √146/4cm
Por lo tanto, el radio del círculo es √146/4 cm
Pregunta 5. Da un método para encontrar el centro de un círculo dado.
Solución:
Pasos de construcción:
Paso 1: Supongamos tres puntos, es decir, A, B y C en un círculo.
Paso 2: Únase a AB y BC.
Paso 3: Ahora dibuja bisectrices perpendiculares de la cuerda AB y BC que se intersecan entre sí en un punto O.
Paso 4: Como sabemos que las mediatrices de la cuerda siempre pasan por el centro, entonces el centro del círculo es el punto O.
Pregunta 6. Demostrar que la línea que une el punto medio de una cuerda con el centro del círculo pasa por el punto medio del arco menor correspondiente.
Solución:
Según la pregunta,
Demostrar: D es el punto medio del arco AB.
Prueba:
De la figura dada,
Supongamos que C es el punto medio de la cuerda AB.
Ahora, en ΔOAC y ΔOBC
OA = OB [Radio del círculo]
OC = OC [Común]
AC = BC [C es el punto medio de la cuerda AB]
Por condición SSS
ΔOAC ≅ ΔOBC
Por lo tanto, POR CPCT
∠AOC = ∠BOC
m(AD) ≅ m(BD)
DA ≅ BD
Por lo tanto Probado.
Pregunta 7. Demostrar que el diámetro de un círculo que biseca una cuerda del círculo también biseca el ángulo subtendido por la cuerda en el centro del círculo.
Solución:
Según la pregunta,
Demostrar: PQ biseca ∠AOB
Prueba:
Formando la figura dada, obtenemos
PQ es un diámetro de círculo que biseca la cuerda AB en C.
En ΔBOC y ΔAOC
OA = OB [Radio]
OC = OC [Lado común]
AC = BC [Dado]
Por condición SSS
ΔAOC ≅ ΔBOC
Por lo tanto, POR CPCT
∠AOC = ∠BOC
Entonces, PQ biseca ∠AOB
Por lo tanto probado.
Pregunta 8. Demuestra que dos círculos diferentes no pueden intersecarse en más de dos puntos.
Solución:
Demostrar: dos círculos diferentes no pueden intersecarse en más de dos puntos.
Prueba:
Consideremos que las dos circunferencias se cortan en tres puntos, es decir, A, B y C.
Ahora que sabemos que los puntos A, B y C no son colineales.
Entonces, un círculo único pasa por estos tres puntos (es decir, A, B, C).
Ahora bien, esto es una contradicción con el hecho de que los dos círculos dados pasan por A, B, C.
Por lo tanto, dos círculos no pueden intersecarse en más de dos puntos.
Por lo tanto, probado.
Pregunta 9. Un segmento de línea AB tiene una longitud de 5 cm. Dibuja un círculo de 4 cm de radio que pase por A y B. ¿Puedes dibujar un círculo de 2 cm de radio que pase por A y B? Justifique su respuesta.
Solución:
Según la pregunta, dado que
Un segmento de recta AB = 5 cm,
Un círculo de radio r1 = 4 cm que pasa por los puntos A y B
y otra circunferencia de radio r2 = 2 cm.
Como sabemos que la cuerda más grande de cualquier círculo es igual al diámetro de ese círculo.
Entonces, 2 × r2 < AB
Por tanto, no hay posibilidad de dibujar un círculo cuyo diámetro sea menor que la longitud de la cuerda.
Pregunta 10. Un triángulo equilátero de lado 9 cm está inscrito en un círculo. Encuentra el radio del circulo.
Solución:
Según la pregunta,
Consideremos que ABD es el triángulo equilátero y el lado del triángulo mide 9 cm.
y AD es una de sus medianas.
Encuentra el radio del circulo
Asi que,
Supongamos que G es el centroide de ΔABC
Entonces AG:GD = 2:1
Como sabemos que en un triángulo equilátero, el baricentro coincide con el circuncentro,
Entonces, G es el centro de la circunferencia con circunradio GA.
Además, G es el centro y GD ⊥ BC,
Entonces, en ΔADB
AB 2 = AD 2 + DB 2
9 = AD 2 + (9/2) 2
DA = 9√3/2 cm
Ahora encontramos el radio (AG) del círculo
AG = (2/3) × AD
= 3√3 centímetros
Por lo tanto, el radio del círculo es 3√3 cm
Pregunta 11. Dado un arco de círculo, completa el círculo.
Solución:
Pasos de construcción:
Paso 1: Consideremos tres puntos, es decir, A, B y C en el arco dado
Paso 2: Únase a AB y BC
Paso 3: Ahora dibuja las mediatrices de las cuerdas AB y BC que se cortan en el punto O.
Entonces, el centro del círculo es O.
Paso 4: ahora únete a OA
Paso 5: Por lo tanto, el centro del círculo es O, por lo que el radio del círculo es OA.
Por lo tanto, el completo el círculo.
Pregunta 12. Dibuja diferentes pares de círculos. ¿Cuántos puntos tiene cada par en común? ¿Cuál es el número máximo de puntos comunes?
Solución:
Aquí, el primer conjunto de círculos contiene 2 puntos comunes, el segundo conjunto de círculos contiene 1 punto común y
tercer conjunto de círculos contiene 0 puntos comunes.
Por lo tanto, el número máximo de puntos comunes son 2.
Pregunta 13. Supón que te dan un círculo. Dar una construcción para encontrar su centro.
Solución:
Pasos de construcción:
Paso 1: Consideremos tres puntos, es decir, A, B y C en el círculo dado.
Paso 2: Únase a AB y BC.
Paso 3: Ahora dibuja las bisectrices perpendiculares de la cuerda AB y BC que se cortan entre sí en el punto O.
Paso 4: Como sabemos que las mediatrices de la cuerda siempre pasan por el centro, entonces el centro del círculo es el punto O.
Pregunta 14. Dos cuerdas AB y CD de 5 cm y 11 cm de longitud respectivamente de un círculo son paralelas entre sí y están en el lado opuesto de su centro. Si la distancia entre AB y CD es de 6 cm, encuentra el radio del círculo.
Solución:
Según la pregunta, dado que
La longitud de chod AB = 5 cm
La longitud de chod CD = 11 cm
La distancia entre AB y CD (es decir, MN) = 6 cm
Encuentra el radio del circulo
Entonces, dibuja OM ⊥ AB y ON ⊥ CD
Ahora, únase a OB y OD
Como sabemos que, la perpendicular del centro a la cuerda biseca la cuerda
Entonces, BM = AB/2 = 5/2
ND = CD/2 = 11/2
Supongamos que ON sea x, por lo que OM será 6 – x.
En ΔMOB,
OM 2 + MB 2 = OB 2
(6 – x) 2 + (5/2) 2 = OB 2
36 + x 2 – 12x + 25/4 = OB 2 ………(i)
En ΔNOD,
EN 2 + ND 2 = OD 2
x 2 + (11/2) 2 = DE 2
x 2 + 121/4 = DO 2 ………(ii)
Tenemos OB = OD (radios del mismo círculo)
Entonces de la ecuación (i) y (ii), obtenemos
36 + x2 – 12x +25/4 = x2 +121/4
12x = 36 + 25/4 – 121/4
12x = 48/4
X = 1
Ahora pon el valor de x en la ecuación (i), obtenemos
DO 2 = 1 + 121/4
DE = 5√5/2
Por lo tanto, el radio del círculo es 5√5/2
Pregunta 15. Las longitudes de dos cuerdas paralelas de un círculo son 6 cm y 8 cm. Si la cuerda más pequeña está a una distancia de 4 cm del centro, ¿cuál es la distancia de la otra cuerda al centro?
Solución:
Según la pregunta, dado que
La longitud de chod AB = 6 cm
La longitud de chod CD = 8 cm
La distancia entre la cuerda AB y el centro (OM) = 4 cm
Encuentra: La distancia entre el acorde CD y el centro (ON)
Entonces MB = AB/2 = 6/2 = 3cm
En ΔOMB,
OM 2 + MB 2 = OB 2
4 2 + 9 2 = OB 2
OB = 5cm
En ΔOND,
OD = OB = 5 cm [radios del mismo círculo]
DN = CD/2 = 8/2 = 4 cm
EN 2 + ND 2 = OD 2
EN 2 + 4 2 = 5 2
EN 2 = 25 – 16
ENCENDIDO = 3 cm
Por lo tanto, la distancia entre la cuerda CD y el centro (ON) es de 3 cm.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por karnalrohit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA