Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 2 Exponentes de números reales – Ejercicio 2.2 | conjunto 2

Pregunta 12. Determinar (8x) x , si 9 x+2 = 240 + 9 x .

Solución:

Tenemos,

=> 9x+2 = 240 + 9x

=> 9x+29x = 240

=> 9 x (9 2 − 1) = 240

=> 9 x = 240/80

=> 3 2x = 3

=> 2x = 1

=> x = 1/2

Por lo tanto, (8x) x = [8 × (1/2)] 1/2

= 4 1/2

= 2

Pregunta 13. Si 3 x+1 = 9 x−2 , encuentra el valor de 2 1+x .

Solución:

Tenemos,

=> 3x+1 = 9x−2

=> 3 x+1 = (3 2 ) x−2

=> 3x+1 = 3 2x−4

=> x + 1 = 2x − 4

=> x = 5

Por lo tanto, 2 1+x = 2 1+5

= 2 6 

= 64

Pregunta 14. Si 3 4x = (81) −1 y (10) 1/y = 0.0001, encuentre el valor de 2 −x+4y .

Solución:

Se nos da,

=> 3 4x = (81) −1

=> 3 4x = (3 4 ) −1

=> 3 4x = (3) −4

=> 4x = −4

=> x = −1

Y también, (10) 1/y = 0.0001

=> (10) 1/año = (10) −4

=> 1/año = −4

=> y = −1/4

Por lo tanto, 2 −x+4y = 2 1+4(−1/4) 

= 2 1−1 

= 1

Pregunta 15. Si 5 3x = 125 y 10 y = 0.001. Encuentre x e y.

Solución:

Se nos da,

=> 5 3x = 125

=> 5 3x = 5 3

 => 3x = 3

=>x=1

Además, (10) y = 0.001

=> 10 y = 10 −3

=> y = −3

Por lo tanto, el valor de x es 1 y el valor de y es -3.

Pregunta 16. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(yo) 3x+1 = 27 × 3 4

Solución:

Tenemos,

=> 3x+1 = 27 × 3 4

=> 3x+1 = 3 3 × 3 4

=> 3x+1 = 3 7

=> x + 1 = 7

=> x = 6

(ii) 4^{2x}=\left(\sqrt[3]{16}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{8})^2   

Solución:

Tenemos,

=> 4^{2x}=\left(\sqrt[3]{16}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{8})^2

=> (2^2)^{2x}=\left(\sqrt[3]{2^4}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{2^3})^2

=> (2)^{4x}=\left(2^\frac{4}{3}\right)^{\frac{-6}{y}}=(2^\frac{3}{2})^2

=> (2)^{4x}=(2)^{\frac{-8}{y}}=2^3

=> 4x = −8/y = 3

=> x = 3/4 y y = −8/3

(iii) 3 x−1 × 5 2y−3 = 225

Solución:

Tenemos,

=> 3 x−1 × 5 2y−3 = 225

=> 3 x−1 × 5 2y−3 = 3 2 × 5 2

=> x − 1 = 2 y 2y − 3 = 2 

=> x = 3 y 2y = 5

=> x = 3 y y = 5/2

(iv) 8 x+1 = 16 y+2 y (1/2) 3+x = (1/4) 3y

Solución:

Tenemos,

=> 8x+1 = 16y+2

=> (2 3 ) x+1 = (2 4 ) y+2

=> 2 3x+3 = 2 4y+8

=> 3x + 3 = 4y + 8 . . . . (1)

Además, (1/2) 3+x = (1/4) 3y

=> (1/2) 3+x = [(1/2) 2 ] 3y

=> (1/2) 3+x = (1/2) 6y

=> 3 + x = 6y

=> x = 6y – 3 . . . . (2)

Poniendo (2) en (1), obtenemos,

=> 3(6y − 3) + 3 = 4y + 8

=> 18y − 9 + 3 = 4y + 8

=> 14 años = 14

=> y = 1

Poniendo y = 1 en (2), obtenemos,

x = 6(1) − 3 = 6 − 3 = 3

Por lo tanto, el valor de x es 1 y el valor de y es -3.

(v) 4 x−1 × (0,5) 3−2x = (1/8) x

Solución:

Tenemos,

=> 4x −1 × (0.5) 3−2x = (1/8) x

=> (2 2 ) x−1 × (1/2) 3−2x = [(1/2) 3 ] x

=> 2 2x−2 × 2 2x−3 = 2 −3x

=> 2 2x−2+2x−3 = 2 −3x

=> 2 4x−5 = 2 −3x

=> 4x − 5 = −3x

=> 7x = 5

=> x = 5/7

(vi) \sqrt{\frac{a}{b}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{1-2x}   

Solución:

Tenemos,

=> \sqrt{\frac{a}{b}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{1-2x}

=> \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2x-1}

=> 1/2 = 2x − 1

=> 2x = 3/2

=> x = 3/4

Pregunta: 17. Si ayb son primos positivos distintos tales que,  \sqrt[3]{a^6b^{-4}}=a^xb^{2y} encuentre x e y.

Solución:

Tenemos,

=> \sqrt[3]{a^6b^{-4}}=a^xb^{2y}

=> (un 6 segundo −4 ) 1/3 = un x segundo 2y

=> un 6/3 segundo −4/3 = un x segundo 2y

=> un 2 segundo −4/3 = un x segundo 2y

=> x = 2 y 2y = −4/3

=> x = 2 y y = −2/3

Pregunta 18. Si a y b son primos positivos diferentes tales que,

(i)  \left(\frac{a^{-1}b^{2}}{a^2b^{-4}}\right)^7÷\frac{a^{3}b^{-5}}{a^{-2}b^{3}}=a^xb^y  , encuentre x e y.

Solución:

Tenemos,

=> \left(\frac{a^{-1}b^{2}}{a^2b^{-4}}\right)^7÷\frac{a^{3}b^{-5}}{a^{-2}b^{3}}=a^xb^y   

=> (a −1−2 b 2+4 ) 7 ÷ (a 3+2 b −5−3 ) = a x b y

=> (un −3 segundo 6 ) 7 ÷ (un 5 segundo −8 ) = un X segundo y

=> (un −21 segundo 42 ) ÷ (un 5 segundo −8 ) = un X segundo y

=> (un −21−5 segundo 42 +8 ) = un x segundo y

=> (un −26 segundo 50 ) = un x segundo y

=> x = −26, y = 50

(ii) (a + b) −1 (a −1 + b −1 ) = a x b y , encuentre x+y+2.

Solución:

Tenemos,

=> (a + b) −1 (a −1 + b −1 ) = a x b y

=>  (\frac{1}{a+b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})   = un x segundo y 

=>  (\frac{1}{a+b})(\frac{b+a}{ab})   = un x segundo y 

=> 1/ab = a x b y

=> un −1 segundo −1 = un X segundo y

=> x = −1 y y = −1

Entonces, x+y+2 = −1−1+2 = 0.

Pregunta 19. Si 2 x × 3 y × 5 z = 2160, encuentra x, y y z. Por lo tanto, calcule el valor de 3 x × 2 −y × 5 −z .

Solución:

Se nos da,

=> 2 x × 3 y × 5 z = 2160

=> 2 x × 3 y × 5 z = 2 4 × 3 3 × 5 1

=> x = 4, y = 3, z = 1

Por lo tanto, 3 x × 2 −y × 5 −z = 3 4 × 2 −3 × 5 −1

= (81) (1/8) (1/5)

= 81/40

Pregunta 20. Si 1176 = 2 a × 3 b × 7 c , encuentra los valores de a, b y c. Por lo tanto, calcule el valor de 2 a × 3 b × 7 -c como una fracción.

Solución:

Se nos da,

=> 1176 = 2 un × 3 segundo × 7 c

=> 2 3 × 3 1 × 7 2 = 2a × 3b × 7c

=> a = 3, b = 1, c = 2 

Por lo tanto, 2 a × 3 b × 7 −c = 2 3 × 3 1 × 7 −2

= (8) (3) (1/49)

= 24/49

Pregunta 21. Simplifica

(i) \left(\frac{x^{a+b}}{x^c}\right)^{a-b}\left(\frac{x^{b+c}}{x^a}\right)^{b-c}\left(\frac{x^{c+a}}{x^b}\right)^{c-a}

Solución:

Tenemos,

\left(\frac{x^{a+b}}{x^c}\right)^{a-b}\left(\frac{x^{b+c}}{x^a}\right)^{b-c}\left(\frac{x^{c+a}}{x^b}\right)^{c-a}

= (x a+b−c ) a−b (x b+c−a ) b−c (x c+a−b ) c−a

(x^{a^2-b^2-ca+cb})(x^{b^2-c^2-ab+ac})(x^{c^2-a^2-bc+ab})

(x^{a^2-b^2-ca+cb+b^2-c^2-ab+ac+c^2-a^2-bc+ab})

= x 0

= 1

(ii) \sqrt[lm]{\frac{x^l}{x^m}}×\sqrt[mn]{\frac{x^m}{x^n}}×\sqrt[nl]{\frac{x^n}{x^l}}

Solución:

Tenemos,

=> \sqrt[lm]{\frac{x^l}{x^m}}×\sqrt[mn]{\frac{x^m}{x^n}}×\sqrt[nl]{\frac{x^n}{x^l}}   

=> (x^{l-m})^{\frac{1}{lm}}×(x^{m-n})^{\frac{1}{mn}}×(x^{n-l})^{\frac{1}{nl}}

=> x^{\frac{l-m}{lm}}×x^{\frac{m-n}{mn}}×x^{\frac{n-l}{nl}}

=> x^{\frac{l-m}{lm}+\frac{m-n}{mn}+\frac{n-l}{nl}}

=> x^{\frac{nl-mn+ml-nl+mn-ml}{mnl}}

=> x^{\frac{0}{mnl}}

=> x0

= 1

Pregunta 22. Demuestre que  \frac{(a+\frac{1}{b})^m×(a-\frac{1}{b})^n}{(b+\frac{1}{a})^m×(b-\frac{1}{a})^n}=(\frac{a}{b})^{m+n}  .

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{(a+\frac{1}{b})^m×(a-\frac{1}{b})^n}{(b+\frac{1}{a})^m×(b-\frac{1}{a})^n}

\frac{(\frac{ab+1}{b})^m×(\frac{ab-1}{b})^n}{(\frac{ab+1}{a})^m×(\frac{ab-1}{a})^n}

(\frac{a}{b})^m×(\frac{a}{b})^n

(\frac{a}{b})^{m+n}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 23. (i) Si a = x m+n y l , b = x n+l y m y c = x l+m y n , demuestre que a m−n b n−l c l−m = 1 .

Solución:

Dado, a = x m+n y l , b = x n+l y m y c = x l+m y n

Tenemos,

LHS = a m−n b n−l c l−m

= (x metro+n y l ) metro−n (x norte+l y metro ) norte−l (x l+m y norte ) l−m

(x^{m^2-n^2}y^{lm-ln})(x^{n^2-l^2}y^{mn-ml})(x^{l^2-m^2}y^{nl-mn})

x^{m^2-n^2+n^2-l^2+l^2-m^2}y^{lm-ln+mn-ml+nl-mn}

= x 0 y 0

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) Si x = a m+n , y = a n+l y z = a l+m , demuestre que x m y n z l = x n y l z m .

Solución:

Dado, x = a m+n , y = a n+l y z = a l+m .

Tenemos,

LHS = x metro y norte z l

= (un metro+n ) metro (un norte+l ) norte (un l+m ) l

a^{m^2+mn+n^2+ln+l^2+ml}

a^{mn+n^2}×a^{nl+l^2}×a^{lm+m^2}

= (un metro+n ) norte ( un norte+l ) l (un l+m ) metro

= x norte y l z metro

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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