Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 4 Identidades algebraicas – Ejercicio 4.3 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra el cubo de cada una de las siguientes expresiones binomiales .

(a) (1/x+y/3)

(b) (3/x-2/ x2 )

c) (2x+3/x)

(d) (4-1/3x)

Solución:

(a) (1/x+y/3)

Dado, (1/x+y/3) 3                                                               [(a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b)]

sabemos que aquí, a = 1/x, b= y/3

Usando fórmula:

(1/x+y/3) 3 = (1/x) 3 + (y/3) 3 + 3(1/x)(y/3)(1/x+y/3)

= 1/x 3 +y 3 /27 + y/x(1/x +y/3)

= 1/x 3 + y 3 /27 + y/x 2 + y 2 /3x

Por lo tanto, (1/x+y/3) 3 = 1/x 3 +y 3 /27 + y/x 2 + y 2 /3x

(b) (3/x-2/ x2 )

Dado, (3/x – 2/x 2 ) 3                                                               [(ab) 3 =a 3 -b 3 -3ab(ab)]

sabemos que aquí, a = 3/x, b= y/3

Usando fórmula:

(3/x – 2/x 2 ) 3 = (3/x) 3 – (2/x 2 ) 3 -3(3/x)(2/x 2 )(3/x -2/x 2 )

= 27/x 3 – 8/x 6 – 3(6/x 3 )(3/x – 2/x 2 )

= 27/x 3 – 8/x 6 – 18/ x 3 (3/x – 2/x 2 )

= 27/x 3 – 8/x 6 – 54/x 4 – 36/x 5

Por lo tanto, (3/x – 2/x 2 ) 3 = 27/x 3 – 8/x 6 – 54/x 4 – 36/x 5

c) (2x+3/x)

Dado, (2x+3/x) 3                                                               [(a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b)]

sabemos que, a = 2x, b = 3/x

Usando la fórmula,

(2x+3/x) 3 = (2x) 3 + (3/x) 3 +3(2x)(3/x)(2x+3/x)

= 8×3 + 27/x3 + 18(2x+3/x)

= 8x 3 + 27/x 3 + 36x + 54/x

Por lo tanto, (2x+3/x) 2 = 8x 3 + 27/x 3 + 36x + 54/x

(d) (4-1/3x)

Dado, (4-1/3x) 3

sabemos que, a = 4, b = 1/3x                                                                [(ab) 3 =a 3 -b 3 -3ab(ab)]

Usando la fórmula,

(4-1/3x) 3 = 4 3 -(1/3x) 3 -3(4)(1/3x)(4-1/3x)

= 64 – (1/27x 3 ) – 4/x(4 – 1/3x)

= 64 – (1/27x 3 ) – 16/x + 4/3x

Por lo tanto, (4-1/3x) = 64 – (1/27x 3 ) – 16/x + 4/3x

Pregunta 2. Simplifica cada uno de los siguientes

(a) (x+3) 3 + (x-3) 3

(b) (x/2+y/3) 3 – (x/2-y/3) 3

(c) (x+2/x) 3 + (x – 2/x) 3

(d) (2x-5y) 3 – (2x+5y) 3

Responder:

(a) (x+3) 3 + (x-3) 3

La ecuación anterior tiene la forma de a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 -ab)

sabemos que, a = (x+3), b= (x-3)

Usando la fórmula (a 3 +b 3 )

= (x+3+x-3)[(x+3) 3 +(x-3) 3 -(x+3)(x-3)]

= 2x[(x 2 +3 2 +2*3*x)+(x 2 +3 2 -2*3*x)-(x 2 -3 2 )]

= 2x[( x2 +9+6x)+(x2 + 9-6x)-x2 +9 ]

= 2x[x2 +27 ]

= 2x 3 +54x

Por lo tanto, el resultado de (x+3) 3 +(x-3) 3 es 2x 3 +54x

(b) (x/2+y/3) 3 – (x/2-y/3) 3

La ecuación anterior tiene la forma de a 3 -b 3 =(ab)(a 2 +b 2 +ab)

sabemos que, a = (x/2+y/3), b= (x/2-y/3)

Usando la fórmula (a 3 -b 3 )

= [(x/2+y/3)-(x/2-y/3)][(x/2+y/3) 2 +(x/2-y/3) 2 +( x / 2 + y/3)(x/2-y/3)]

= [2y/3][((x/2) 2 +(y/3) 2 +2(x/2)(y/3))+((x/2) 2 +(y/3) 2 – 2(x/2)(y/3)+x2 / 4-y2 / 9]

= (2y/3)[3x 2 /4+y 2 /9]

= x 2 y/2 +2y 3 /27

Por lo tanto, (x/2+y/3) 3 – (x/2-y/3) 3 = x 2 y/2 +2y 3 /27

(c) (x+2/x) 3 +(x-2/x) 3

La ecuación anterior tiene la forma de a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 -ab)

sabemos que, a = (x+2/x), b= (x-2/x)

Usando la fórmula (a 3 +b 3 )

= [(x+2/x)+(x-2/x)][ (x+2/x) 2 + (x-2/x) 2 – (x+2/x)(x-2/x )]

= (2x)[((x) 2 +(2/x) 2 +2(x)(2/x))+((x) 2 +(2/x) 2 -2(x)(2/x )) -(x 2 -(2/x) 2 )]

= (2x)[x2 +3 (2/x) 2 ]

= (2x)[x2 + 12/ x2 ]

= 2x 3 + 24/x

Por lo tanto, (x+2/x) 3 +(x-2/x) 3 = 2x 3 + 24/x

(d) (2x-5y) 3 -(2x+5y) 3

La ecuación anterior tiene la forma de a 3 -b 3 =(ab)(a 2 +b 2 +ab)

sabemos que, a = (2x-5y), b= (2x+5y)

Usando la fórmula (a 3 -b 3 )

= [(2x-5y)-(2x+5y)][(2x-5y) 2 +(2x+5y) 2 +(2x-5y)(2x+5y)]

= (-10y)[((2x) 2 +(5y) 2 -2(2x)(5y))+((2x) 2 +(5y) 2 +2(2x)(5y))+4x 2 -25y 2 ]

= (-10y)[3(4x 2 )+25y 2 ]

=(-10y)[12x 2 +25y 2 ]

= -120x 2 y – 250y 3

Por lo tanto, (2x-5y) 3 -(2x+5y) 3 = -120x 2 y – 250y 3

Pregunta 3. Si a+b=10 y ab =21, encuentra el valor de a 3 +b 3 .

Solución:

Dado,

a+b = 10, ab = 21

sabemos que, (a+b) 3 = a 3 +b 3 +3ab(a+b) ———– 1

sustituir a+b = 10, ab = 21 en eq -1

⇒ (10) 3 = a 3 +b 3 +3(21)(10)

⇒ 1000 = a 3 +b 3 +630

⇒ 1000 – 630 = un 3 +b 3

⇒ 370 = un 3 +b 3

Por lo tanto, a 3 +b 3 =370

Pregunta 4. Si ab=4 y ab = 21, encuentra el valor de a 3 -b 3 .

Solución:

Dado,

ab = 4, ab = 21

sabemos que, (ab) 3 =a 3 -b 3 -3ab(ab)

Sustituir ab=4, ab= 21 en eq-1

⇒ (4) 3 = a 3 -b 3 -3(21)(4)

⇒ 64 = a 3 -b 3 -252

⇒ 64+252 = un 3 – segundo 3

⇒ 316 = a 3 -b 3

Por lo tanto, a 3 -b 3 = 316

Pregunta 5. Si (x+1/x) = 5, encuentra el valor de x 3 +1/x 3

Solución:

Dado, (x+1/x) = 5

sabemos que, (a+b) 3 = a 3 +b 3 +3ab(a+b) ————- 1

Sustituir (x+1/x) = 5 en eq–1

(x+1/x) 3 =x 3 +(1/x) 3 +3(x)(1/x)(x+1/x)

(5) 3 = x 3 + (1/x) 3 + 3 (5)

125 -15 = x 3 + (1/x) 3

110 = x 3 + (1/x) 3

Por lo tanto, el resultado es x 3 +1/x 3 = 110

Pregunta 6. Si (x-1/x) = 7, encuentra el valor de x 3 -1/x 3

Solución:

Dado, Si (x-1/x) = 7

sabemos que, (ab) 3 = a 3 -b 3 -3ab(ab) ————- 1

sustituir (x-1/x) = 7 en eq–1

(x-1/x) 3 = x 3 – 1/x 3 -3(x)(1/x)(x-1/x)

(7) 3 = x 3 -1/x 3 -3(7)

343+21 = x 3 – 1/x 3

364 = x 3 – 1/x 3

Por lo tanto, el resultado es x 3 -1/x 3 = 364

Pregunta 7. Si (x-1/x) = 5, encuentra el valor de x 3 -1/x 3

Solución:

Dado, si (x-1/x) = 5

sabemos que, (ab) 3 = a 3 -b 3 -3ab(ab) ————- 1

Sustituye (x-1/x) = 5 en eq–1

(x-1/x) 3 = x 3 – 1/x 3 -3(x)(1/x)(x-1/x)

(5) 3 = x 3 -1/x 3 -3(5)

125+15 = x 3 – 1/x 3

x 3 – 1/x 3 = 140

Por lo tanto, el resultado es x 3 -1/x 3 = 140

Pregunta 8. Si (x 2 +1/x 2 ) = 51, encuentra el valor de x 3 -1/x 3 .

Solución:

Dado, si (x 2 +1/x 2 ) = 51

sabemos que, (ab) 2 = a 2 +b 2 -2ab ————- 1

sustituir (x 2 +1/x 2 ) = 51 en eq–1

(x-1/x) 2 = x2 +1/x2 -2 (x)(1/x)

(x-1/x) 2 = 51 -2

= 49

x-1/x = ±7

necesitamos encontrar x 3 -1/x 3

Entonces, a 3 -b 3 = (ab)(a 2 +b 2 +ab)

x3 -1 / x3 = (x-1/x)(x2 + 1/ x2 +x*1/x)

Sustituya todos los valores conocidos aquí,

= 7(51+1)

=7(52)

x 3 -1/x 3 = 364

Por lo tanto, el resultado es x 3 -1/x 3 = 364

Pregunta 9. Si (x 2 +1/x 2 ) = 98, encuentra el valor de x 3 +1/x 3

Solución:

Dado, (x 2 +1/x 2 ) = 98

sabemos que, (x+y) 2 = x 2 +y 2 +2xy ——– 1

sustituir (x 2 +1/x 2 ) = 98

(x+1/x) 2 =x 2 +1/x 2 +2(x)(1/x)

= 98 + 2

= 100

(x+1/x) = ±10

Necesitamos encontrar x 3 +1/x 3

(x+1/x) = 10 y (x2 + 1/x2 ) = 98

x3 + 1/x3 = 10(98-1)

= 970

Por lo tanto, el valor de x 3 +1/x 3 = 970

Pregunta 10. Si 2x+3y=13 y xy=6, encuentra el valor de 8x 3 +27y 3

Solución:

Dado, 2x+3y=13, xy=6

Lo sabemos,

⇒ (2x+3y) 3 =13 3

⇒ 8x 3 +27y 3 +3(2x)(3y)(2x+3y) = 2197

⇒ 8x 3 +27y 3 +18xy(2x+3y) = 2197

⇒ 8x 3 +27y 3 +18xy(2x+3y)= 2197

Sustituye los valores de 2x+3y=13, xy=6

⇒ 8x 3 +27y 3 +18(6)(13)= 2197

⇒ 8x 3 +27y 3 = 2197 – 1404

⇒ 8x 3 +27y 3 = 793

Por lo tanto, el valor de 8x 3 +27y 3 = 793

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ranshu1601 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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