Pregunta 1. Encuentra el cubo de cada una de las siguientes expresiones binomiales .
(a) (1/x+y/3)
(b) (3/x-2/ x2 )
c) (2x+3/x)
(d) (4-1/3x)
Solución:
(a) (1/x+y/3)
Dado, (1/x+y/3) 3 [(a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b)]
sabemos que aquí, a = 1/x, b= y/3
Usando fórmula:
(1/x+y/3) 3 = (1/x) 3 + (y/3) 3 + 3(1/x)(y/3)(1/x+y/3)
= 1/x 3 +y 3 /27 + y/x(1/x +y/3)
= 1/x 3 + y 3 /27 + y/x 2 + y 2 /3x
Por lo tanto, (1/x+y/3) 3 = 1/x 3 +y 3 /27 + y/x 2 + y 2 /3x
(b) (3/x-2/ x2 )
Dado, (3/x – 2/x 2 ) 3 [(ab) 3 =a 3 -b 3 -3ab(ab)]
sabemos que aquí, a = 3/x, b= y/3
Usando fórmula:
(3/x – 2/x 2 ) 3 = (3/x) 3 – (2/x 2 ) 3 -3(3/x)(2/x 2 )(3/x -2/x 2 )
= 27/x 3 – 8/x 6 – 3(6/x 3 )(3/x – 2/x 2 )
= 27/x 3 – 8/x 6 – 18/ x 3 (3/x – 2/x 2 )
= 27/x 3 – 8/x 6 – 54/x 4 – 36/x 5
Por lo tanto, (3/x – 2/x 2 ) 3 = 27/x 3 – 8/x 6 – 54/x 4 – 36/x 5
c) (2x+3/x)
Dado, (2x+3/x) 3 [(a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b)]
sabemos que, a = 2x, b = 3/x
Usando la fórmula,
(2x+3/x) 3 = (2x) 3 + (3/x) 3 +3(2x)(3/x)(2x+3/x)
= 8×3 + 27/x3 + 18(2x+3/x)
= 8x 3 + 27/x 3 + 36x + 54/x
Por lo tanto, (2x+3/x) 2 = 8x 3 + 27/x 3 + 36x + 54/x
(d) (4-1/3x)
Dado, (4-1/3x) 3
sabemos que, a = 4, b = 1/3x [(ab) 3 =a 3 -b 3 -3ab(ab)]
Usando la fórmula,
(4-1/3x) 3 = 4 3 -(1/3x) 3 -3(4)(1/3x)(4-1/3x)
= 64 – (1/27x 3 ) – 4/x(4 – 1/3x)
= 64 – (1/27x 3 ) – 16/x + 4/3x
Por lo tanto, (4-1/3x) = 64 – (1/27x 3 ) – 16/x + 4/3x
Pregunta 2. Simplifica cada uno de los siguientes
(a) (x+3) 3 + (x-3) 3
(b) (x/2+y/3) 3 – (x/2-y/3) 3
(c) (x+2/x) 3 + (x – 2/x) 3
(d) (2x-5y) 3 – (2x+5y) 3
Responder:
(a) (x+3) 3 + (x-3) 3
La ecuación anterior tiene la forma de a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 -ab)
sabemos que, a = (x+3), b= (x-3)
Usando la fórmula (a 3 +b 3 )
= (x+3+x-3)[(x+3) 3 +(x-3) 3 -(x+3)(x-3)]
= 2x[(x 2 +3 2 +2*3*x)+(x 2 +3 2 -2*3*x)-(x 2 -3 2 )]
= 2x[( x2 +9+6x)+(x2 + 9-6x)-x2 +9 ]
= 2x[x2 +27 ]
= 2x 3 +54x
Por lo tanto, el resultado de (x+3) 3 +(x-3) 3 es 2x 3 +54x
(b) (x/2+y/3) 3 – (x/2-y/3) 3
La ecuación anterior tiene la forma de a 3 -b 3 =(ab)(a 2 +b 2 +ab)
sabemos que, a = (x/2+y/3), b= (x/2-y/3)
Usando la fórmula (a 3 -b 3 )
= [(x/2+y/3)-(x/2-y/3)][(x/2+y/3) 2 +(x/2-y/3) 2 +( x / 2 + y/3)(x/2-y/3)]
= [2y/3][((x/2) 2 +(y/3) 2 +2(x/2)(y/3))+((x/2) 2 +(y/3) 2 – 2(x/2)(y/3)+x2 / 4-y2 / 9]
= (2y/3)[3x 2 /4+y 2 /9]
= x 2 y/2 +2y 3 /27
Por lo tanto, (x/2+y/3) 3 – (x/2-y/3) 3 = x 2 y/2 +2y 3 /27
(c) (x+2/x) 3 +(x-2/x) 3
La ecuación anterior tiene la forma de a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 -ab)
sabemos que, a = (x+2/x), b= (x-2/x)
Usando la fórmula (a 3 +b 3 )
= [(x+2/x)+(x-2/x)][ (x+2/x) 2 + (x-2/x) 2 – (x+2/x)(x-2/x )]
= (2x)[((x) 2 +(2/x) 2 +2(x)(2/x))+((x) 2 +(2/x) 2 -2(x)(2/x )) -(x 2 -(2/x) 2 )]
= (2x)[x2 +3 (2/x) 2 ]
= (2x)[x2 + 12/ x2 ]
= 2x 3 + 24/x
Por lo tanto, (x+2/x) 3 +(x-2/x) 3 = 2x 3 + 24/x
(d) (2x-5y) 3 -(2x+5y) 3
La ecuación anterior tiene la forma de a 3 -b 3 =(ab)(a 2 +b 2 +ab)
sabemos que, a = (2x-5y), b= (2x+5y)
Usando la fórmula (a 3 -b 3 )
= [(2x-5y)-(2x+5y)][(2x-5y) 2 +(2x+5y) 2 +(2x-5y)(2x+5y)]
= (-10y)[((2x) 2 +(5y) 2 -2(2x)(5y))+((2x) 2 +(5y) 2 +2(2x)(5y))+4x 2 -25y 2 ]
= (-10y)[3(4x 2 )+25y 2 ]
=(-10y)[12x 2 +25y 2 ]
= -120x 2 y – 250y 3
Por lo tanto, (2x-5y) 3 -(2x+5y) 3 = -120x 2 y – 250y 3
Pregunta 3. Si a+b=10 y ab =21, encuentra el valor de a 3 +b 3 .
Solución:
Dado,
a+b = 10, ab = 21
sabemos que, (a+b) 3 = a 3 +b 3 +3ab(a+b) ———– 1
sustituir a+b = 10, ab = 21 en eq -1
⇒ (10) 3 = a 3 +b 3 +3(21)(10)
⇒ 1000 = a 3 +b 3 +630
⇒ 1000 – 630 = un 3 +b 3
⇒ 370 = un 3 +b 3
Por lo tanto, a 3 +b 3 =370
Pregunta 4. Si ab=4 y ab = 21, encuentra el valor de a 3 -b 3 .
Solución:
Dado,
ab = 4, ab = 21
sabemos que, (ab) 3 =a 3 -b 3 -3ab(ab)
Sustituir ab=4, ab= 21 en eq-1
⇒ (4) 3 = a 3 -b 3 -3(21)(4)
⇒ 64 = a 3 -b 3 -252
⇒ 64+252 = un 3 – segundo 3
⇒ 316 = a 3 -b 3
Por lo tanto, a 3 -b 3 = 316
Pregunta 5. Si (x+1/x) = 5, encuentra el valor de x 3 +1/x 3
Solución:
Dado, (x+1/x) = 5
sabemos que, (a+b) 3 = a 3 +b 3 +3ab(a+b) ————- 1
Sustituir (x+1/x) = 5 en eq–1
(x+1/x) 3 =x 3 +(1/x) 3 +3(x)(1/x)(x+1/x)
(5) 3 = x 3 + (1/x) 3 + 3 (5)
125 -15 = x 3 + (1/x) 3
110 = x 3 + (1/x) 3
Por lo tanto, el resultado es x 3 +1/x 3 = 110
Pregunta 6. Si (x-1/x) = 7, encuentra el valor de x 3 -1/x 3
Solución:
Dado, Si (x-1/x) = 7
sabemos que, (ab) 3 = a 3 -b 3 -3ab(ab) ————- 1
sustituir (x-1/x) = 7 en eq–1
(x-1/x) 3 = x 3 – 1/x 3 -3(x)(1/x)(x-1/x)
(7) 3 = x 3 -1/x 3 -3(7)
343+21 = x 3 – 1/x 3
364 = x 3 – 1/x 3
Por lo tanto, el resultado es x 3 -1/x 3 = 364
Pregunta 7. Si (x-1/x) = 5, encuentra el valor de x 3 -1/x 3
Solución:
Dado, si (x-1/x) = 5
sabemos que, (ab) 3 = a 3 -b 3 -3ab(ab) ————- 1
Sustituye (x-1/x) = 5 en eq–1
(x-1/x) 3 = x 3 – 1/x 3 -3(x)(1/x)(x-1/x)
(5) 3 = x 3 -1/x 3 -3(5)
125+15 = x 3 – 1/x 3
x 3 – 1/x 3 = 140
Por lo tanto, el resultado es x 3 -1/x 3 = 140
Pregunta 8. Si (x 2 +1/x 2 ) = 51, encuentra el valor de x 3 -1/x 3 .
Solución:
Dado, si (x 2 +1/x 2 ) = 51
sabemos que, (ab) 2 = a 2 +b 2 -2ab ————- 1
sustituir (x 2 +1/x 2 ) = 51 en eq–1
(x-1/x) 2 = x2 +1/x2 -2 (x)(1/x)
(x-1/x) 2 = 51 -2
= 49
x-1/x = ±7
necesitamos encontrar x 3 -1/x 3
Entonces, a 3 -b 3 = (ab)(a 2 +b 2 +ab)
x3 -1 / x3 = (x-1/x)(x2 + 1/ x2 +x*1/x)
Sustituya todos los valores conocidos aquí,
= 7(51+1)
=7(52)
x 3 -1/x 3 = 364
Por lo tanto, el resultado es x 3 -1/x 3 = 364
Pregunta 9. Si (x 2 +1/x 2 ) = 98, encuentra el valor de x 3 +1/x 3
Solución:
Dado, (x 2 +1/x 2 ) = 98
sabemos que, (x+y) 2 = x 2 +y 2 +2xy ——– 1
sustituir (x 2 +1/x 2 ) = 98
(x+1/x) 2 =x 2 +1/x 2 +2(x)(1/x)
= 98 + 2
= 100
(x+1/x) = ±10
Necesitamos encontrar x 3 +1/x 3
(x+1/x) = 10 y (x2 + 1/x2 ) = 98
x3 + 1/x3 = 10(98-1)
= 970
Por lo tanto, el valor de x 3 +1/x 3 = 970
Pregunta 10. Si 2x+3y=13 y xy=6, encuentra el valor de 8x 3 +27y 3
Solución:
Dado, 2x+3y=13, xy=6
Lo sabemos,
⇒ (2x+3y) 3 =13 3
⇒ 8x 3 +27y 3 +3(2x)(3y)(2x+3y) = 2197
⇒ 8x 3 +27y 3 +18xy(2x+3y) = 2197
⇒ 8x 3 +27y 3 +18xy(2x+3y)= 2197
Sustituye los valores de 2x+3y=13, xy=6
⇒ 8x 3 +27y 3 +18(6)(13)= 2197
⇒ 8x 3 +27y 3 = 2197 – 1404
⇒ 8x 3 +27y 3 = 793
Por lo tanto, el valor de 8x 3 +27y 3 = 793
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Artículo escrito por ranshu1601 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA