En cada uno de los siguientes, use el teorema del factor para encontrar si el polinomio g(x) es un factor del polinomio f(x) o no (Pregunta 1-7):
Pregunta 1. f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6, g(x) = x – 3
Solución:
Dado: f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6, g(x) = x – 3
Aquí,
x-3 = 0
x = 3
Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(3) = 0
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(3) = 3 3 – 6 × 3 2 + 11 × 3 – 6
= 27 – (6 × 9) + 33 – 6
= 27 – 54 + 33 – 6
= 60 – 60
= 0
Como el resultado es 0,
Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).
Pregunta 2. f(x) = 3x 4 + 17x 3 + 9x 2 – 7x – 10, g(x) = x + 5
Solución:
Dado: f(x) = 3x 4 + 17x 3 + 9x 2 – 7x – 10, g(x) = x + 5
Aquí,
x + 5 = 0
x = -5
Para demostrar : g(x) es un factor de f(x), es decir, f(-5) = 0
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(-5) = 3(-5) 4 + 17(-5) 3 + 9(-5) 2 – 7(-5) – 10
= 3 × 625 + 17 × (-125) + 9 × 25 + 35 – 10
= 1875 – 2125 + 225 + 35 – 10
= 2135 – 2135
= 0
Como el resultado es 0,
Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).
Pregunta 3. f(x) = x 5 + 3x 4 – x 3 – 3x 2 + 5x + 15, g(x) = x + 3
Solución:
Dado: f(x) = x 5 + 3x 4 – x 3 – 3x 2 + 5x + 15, g(x) = x + 3
Aquí,
x + 3 = 0
X = -3
Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(-3) = 0
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(-3) = (-3) 5 + 3(-3) 4 – (-3) 3 – 3(-3) 2 + 5(-3) + 15
= -243 + 243 + 27 – 27 – 15 + 15
= 0
Como el resultado es 0,
Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).
Pregunta 4. f(x) = x 3 – 6x 2 – 19x + 84, g(x) = x – 7
Solución:
Dado: f(x) = x 3 – 6x 2 – 19x + 84, g(x) = x – 7
Aquí,
x-7 = 0
x = 7
Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(7) = 0
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(7) = 7 3 – 6 × 7 2 – 19 × 7 + 84
= 343 – (6 × 49) – (19 × 7) + 84
= 343 – 294 – 133 + 84
= 427 – 427
= 0
Como el resultado es 0,
Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).
Pregunta 5. f(x) = 3x 3 + x 2 – 20x + 12, g(x) = 3x – 2
Solución:
Dado: f(x) = 3x 3 + x 2 – 20x + 12, g(x) = 3x – 2
Aquí,
3x – 2 = 0
X = 2/3
Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(2/3) = 0
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
Tomando MCM
=
= 0
Como el resultado es 0,
Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).
Pregunta 6. f(x) = 2x 3 – 9x 2 + x + 13, g(x) = 3 – 2x
Solución:
Dado: f(x) = 2x 3 – 9x 2 + x + 13, g(x) = 3 – 2x
Aquí,
3 – 2x = 0
X = 3/2
Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir f(3/2) = 0
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
= 0
Como el resultado es 0,
Por lo tanto, demostró que g(x) es un factor de f(x).
Pregunta 7. f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6, g(x) = x 2 – 3x + 2
Solución:
Dado: f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6, g(x) = x 2 – 3x + 2
Aquí,
x 2 – 3x + 2 = 0
Al factorizar lo anterior, obtenemos
⇒ x2 – 3x + 2 = 0
⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0
⇒ x(x – 2) – 1(x – 2)
⇒ (x – 1)(x – 2) son los factores
Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir, f(1) y f(2) deben ser 0
Sea x = 1
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(1) = 1 3 – 6 × 1 2 + 11 × 1 – 6
= 1 – 6 + 11 – 6
= 12 – 12
= 0
Sea x = 2
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(x) = 2 3 – 6 × 2 2 + 11 × 2 – 6
= 8 – (6 × 4) + 22 – 6
= 8 – 24 +22 – 6
= 30 – 30
= 0
Como los resultados son 0 g(x) es el factor de f(x)
Pregunta 8. Demuestra que (x – 2), (x + 3) y (x – 4) son los factores de x 3 – 3x 2 – 10x + 24
Solución:
Dado:
f(x) = x 3 – 3x 2 – 10x + 24
Los factores dados son (x – 2), (x + 3) y (x – 4)
Para demostrar: g(x) es un factor de f(x), es decir, f(2), f(-3), f(4) debe ser 0
Aquí, x – 2 = 0
Sea, x = 2
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(2) = 2 3 – 3 × 2 2 – 10 × 2 + 24
= 8 – (3 × 4) – 20 + 24
= 8 – 12 – 20 + 24
= 32 – 32
= 0
Aquí, x + 3 = 0
Sea, x = -3
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(-3) = (-3) 3 – 3 × (-3) 2 – 10 × (-3) + 24
= -27 -3(9) + 30 + 24
= -27- 27 + 30 + 24
= 54 – 54
= 0
Aquí, x – 4 = 0
Sea, x = 4
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(4) = (4) 3 – 3 × (4) 2 – 10 × (4) + 24
= 64 – 3(16) – 40 + 24
= 64 – 48 – 40 + 24
= 84 – 84
= 0
Como los resultados son 0, g(x) es el factor de f(x)
Pregunta 9. Demuestra que (x + 4), (x – 3) y (x – 7) son los factores de x 3 – 6x 2 – 19x + 84
Solución:
Dado:
f(x) = x 3 – 6x 2 – 19x + 84
Los factores dados son (x + 4), (x – 3) y (x – 7)
Para probar: g(x) es un factor de f(x), es decir, f(4), f(3), f(-7) debe ser 0
Aquí, x + 4 = 0
Sea, x = -4
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(-4) = (-4) 3 – 6(-4) 2 – 19(-4) + 84
= -64 – (6 × 16) – 19 × (-4) + 84
= -64 – 96 + 76 + 84
= 160 – 160
= 0
Aquí, x – 3 = 0
Sea, x = 3
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(3) = (3) 3 – 6(3) 2 – 19(3) + 84
= 27 – 6(9) – 19 × 3 + 84
= 27 – 54 – 57 + 84
= 111 – 111
= 0
Aquí, x – 7 = 0
Sea, x = 7
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(7) = (7) 3 – 6(7) 2 – 19(7) + 84
= 343 – 6(49) – 19 × 7 + 84
= 343 – 294 – 133 + 84
= 427 – 427
= 0
Como los resultados son 0, g(x) es el factor de f(x)
Pregunta 10. Para qué valor de a es (x – 5) un factor de x 3 – 3x 2 + ax – 10
Solución:
Aquí, f(x) = x 3 – 3x 2 + ax – 10
Por el teorema del factor
Si (x – 5) es el factor de f(x), entonces, f(5) = 0
⇒ x – 5 = 0
⇒ x = 5
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(5) = 5 3 – 3 × 5 2 + a × 5 – 10
= 125 – (3 × 25) + 5a -10
= 125 – 75 + 5a – 10
= 5a + 40
Igualar f(5) a cero
f(5) = 0
⇒ 5a + 40 = 0
⇒ 5a = -40
⇒ a = -40/5
⇒ a = -8
Cuando a = -8, entonces (x – 5) será factor de f(x)
Pregunta 11. Encuentra el valor de tal que (x – 4) es un factor de 5x 3 – 7x 2 – ax – 28
Solución:
Dado: f(x) = 5x 3 – 7x 2 – ax – 28
Usando el teorema del factor
(x – 4) es el factor de f(x), entonces f(4) = 0
⇒ x – 4 = 0
⇒ x = 4
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(4) = 5(4) 3 – 7(4) 2 – a × 4 – 28
= 5(64) – 7(16) – 4a – 28
= 320 – 112 – 4a – 28
= 180 – 4a
Igualar f(4) a cero, para encontrar un
f(4) = 0
⇒ 180 – 4a = 0
⇒ a = 180/4
⇒ un = 45
Cuando a = 45, entonces (x – 4) será factor de f(x)
Pregunta 12. Encuentra el valor de a, si (x + 2) es un factor de 4x 4 + 2x 3 – 3x 2 + 8x + 5a
Solución:
Dado: f(x) = 4x 4 + 2x 3 – 3x 2 + 8x + 5a
Usando el teorema del factor
Si (x + 2) es el factor de f(x), entonces f(-2) debe ser cero
⇒x + 2 =0
⇒ x = -2
Al sustituir el valor de x en f(x), obtenemos
f(-2) = 4(-2) 4 + 2(-2) 3 – 3(-2) 2 + 8(-2) + 5a
= 4(16) + 2 (-8) – 3(4) – 16 + 5a
= 64 – 16 – 12 -16 + 5a
= 5a + 20
Igualar f(-2) a 0
f(-2) = 4(-2) 2 + 2(-2) 3 – 3(-2) 2 + 8(-2) + 5a
= 4(16) + 2(-8) – 3(4) – 16 + 5a
= 64 – 16 – 12 – 16 + 5a
= 5a + 20
Igualar f(-2) a 0
f(-2) = 0
⇒ 5a + 20 = 0
⇒ 5a = – 20
⇒ un = -4
Cuando a = -4, entonces (x + 2) es el factor de f(x)
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Artículo escrito por ranshu1601 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA