Pregunta 1. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: x 3 + 6x 2 + 11x + 6
Solución:
Dado que, ecuación polinomial, f(x) = x 3 + 6x 2 + 11x + 6
El término constante en f(x) es 6,
Los factores de 6 son ± 1, ± 2, ± 3, ± 6
Sea, x + 1 = 0
x = -1
Sustituimos el valor de x en f(x) y obtenemos,
f(-1) = (−1) 3 + 6(−1) 2 + 11(−1) + 6
= – 1 + 6 – 11 + 6 = 12 – 12 = 0
Entonces, (x + 1) es el factor de f(x)
De manera similar, (x + 2) y (x + 3) también son los factores de f(x)
Como f(x) es un polinomio de grado 3, no puede tener más de tres factores lineales.
Por lo tanto, f(x) = k(x + 1)(x + 2)(x + 3)
x3 + 6×2 + 11x + 6 = k(x + 1)(x + 2)(x + 3 )
Sustituye x = 0 en ambos lados
0 + 0 + 0 + 6 = k(0 +1)(0 + 2)(0 + 3)
6 = k(1*2*3)
6 = 6k
k = 1
Sustituye el valor de k en f(x) = k(x + 1)(x + 2)(x + 3)
f(x) = (1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
Por lo tanto, x 3 + 6x 2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
Pregunta 2. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: x 3 + 2x 2 – x – 2
Solución:
Dado que, f(x) = x 3 + 2x 2 – x – 2
El término constante en f(x) es -2,
Los factores de (-2) son ±1, ± 2,
Sea, x – 1 = 0
X = 1
Sustituye el valor de x en f(x)
f(1) = (1) 3 + 2(1) 2 – 1 – 2
1 + 2 – 1 – 2 = 0
De manera similar, los otros factores (x + 1) y (x + 2) de f(x)
Como f(x) es un polinomio de grado 3, no puede tener más de tres factores lineales.
por lo tanto, f(x) = k(x – 1)(x + 2)(x + 1 )
x 3 + 2x 2 – x – 2 = k(x – 1)(x + 2)(x + 1 )
Sustituye x = 0 en ambos lados
0 + 0 – 0 – 2 = k(-1)(1)(2)
– 2 = – 2k
k = 1
Sustituye el valor de k en f(x) = k(x – 1)(x + 2)(x + 1)
f(x) = (1)(x – 1)(x + 2)(x + 1)
f(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 1)
por lo tanto, x 3 + 2x 2 – x – 2 = (x – 1)(x + 2)(x + 1)
Pregunta 3. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: x 3 – 6x 2 + 3x + 10
Solución:
Dado que, f(x) = x 3 – 6x 2 + 3x + 10
El término constante en f(x) es 10,
Los factores de 10 son ± 1, ± 2, ± 5, ± 10,
Sea, x + 1 = 0
x = -1
Sustituye el valor de x en f(x)
f(-1) = (−1) 3 – 6(−1) 2 + 3(−1) + 10
-1 – 6 – 3 + 10 = 0
De manera similar, los otros factores (x – 2) y (x – 5) de f(x)
Como f(x) es un polinomio de grado 3, no puede tener más de tres factores lineales.
por lo tanto, f(x) = k(x + 1)(x – 2)(x – 5)
Sustituye x = 0 en ambos lados
x 3 – 6x 2 + 3x + 10 = k(x + 1)(x – 2)(x – 5)
0 – 0 + 0 + 10 = k(1)(-2)(-5)
10 = k(10)
k = 1
Sustituye k = 1 en f(x) = k(x + 1)(x – 2)(x – 5)
f(x) = (1)(x + 1)(x – 2)(x – 5 )
por lo tanto, x 3 – 6x 2 + 3x + 10 = (x + 1)(x – 2)(x – 5)
Pregunta 4. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: x 4 –7x 3 + 9x 2 + 7x –10
Solución:
Dado que, f(x) = x 4 –7x 3 + 9x 2 + 7x – 10
El término constante en f(x) es 10,
Los factores de 10 son ± 1, ± 2, ± 5, ±10,
Sea, x – 1 = 0
X = 1
Sustituye el valor de x en f(x)
f(x) = 14 – 7(1) 3 + 9(1) 2 + 7(1) – 10
1 – 7 + 9 + 7 – 10
10 – 10 = 0
(x – 1) es el factor de f(x)
De manera similar, los otros factores son (x + 1), (x – 2), (x – 5)
Ya que, f(x) es un polinomio de grado 4. Por lo tanto, no puede tener más de cuatro factores lineales.
por lo tanto, f(x) = k(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x – 5)
x 4 –7x 3 + 9x 2 + 7x – 10 = k(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x – 5)
Ponga x = 0 en ambos lados
0 – 0 + 0 – 10 = k(-1)(1)(-2)(-5)
– 10 = k(-10)
k = 1
Sustituye k = 1 en f(x) = k(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x – 5)
f(x) = (1)(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x – 5)
(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x – 5)
por lo tanto, x 4 – 7x 3 + 9x 2 + 7x – 10 = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x – 5)
Pregunta 5. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: x 4 – 2x 3 – 7x 2 + 8x + 12
Solución:
Dado que,
f(x) = x 4 – 2x 3 –7x 2 + 8x + 12
El término constante f(x) es igual a 12,
Los factores de 12 son ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12,
Sea, x + 1 = 0
x = -1
Sustituye el valor de x en f(x)
f(-1) = (−1)4 – 2(−1)3–7(−1)2 + 8(−1)+12
1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0
por lo tanto, x + 1 es factor de f(x)
De manera similar, (x + 2), (x – 2), (x – 3) también son los factores de f(x)
Como f(x) es un polinomio de grado 4, no puede tener más de cuatro factores lineales.
f(x) = k(x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 2)
x 4 – 2x 3 –7x 2 + 8x + 12 = k(x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 2)
Sustituye x = 0 en ambos lados,
0 – 0 – 0 + 12 = k(1)(2)(- 2)(- 3)
12 = 12K
k = 1
Sustituye k = 1 en f(x) = k(x – 2)(x + 1)(x + 2)(x – 3)
f(x) = (x – 2)(x + 1)(x + 2)(x – 3)
Por lo tanto, x 4 – 2x 3 – 7x 2 + 8x + 12 = (x – 2)(x + 1)(x + 2)(x – 3)
Pregunta 6. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: x 4 + 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24
Solución:
Dado que, f(x) = x 4 + 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24
El término constante en f(x) es igual a 24,
Los factores de 24 son ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 24,
Sea, x + 1 = 0
x = -1
Sustituye el valor de x en f(x)
f(-1) = (-1) 4 + 10(-1) 3 + 35(-1) 2 + 50(-1) + 24
1-10 + 35 – 50 + 24 = 0
(x + 1) es el factor de f(x)
De manera similar, (x + 2), (x + 3), (x + 4) también son los factores de f(x)
Como f(x) es un polinomio de grado 4, no puede tener más de cuatro factores lineales.
f(x) = k(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
x 4 + 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = k(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Sustituye x = 0 en ambos lados
0 + 0 + 0 + 0 + 24 = k(1)(2)(3)(4)
24 = k(24)
k = 1
Sustituye k = 1 en f(x) = k(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
f(x) = (1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Por lo tanto, x 4 + 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Pregunta 7. Usando el teorema del factor, factoriza los polinomios: 2x 4 –7x 3 –13x 2 + 63x – 45
Solución:
Dado que, f(x) = 2x 4 –7x 3 –13x 2 + 63x – 45
Los factores de término constante – 45 son ± 1, ± 3, ± 5, ± 9, ± 15, ± 45,
Los factores del coeficiente de x4 es 2.
Por lo tanto, las posibles raíces racionales de f(x) son ± 1, ± 3, ± 5, ± 9, ± 15, ± 45, ± 1/2, ± 3/2, ± 5/2, ± 9/2, ± 15 /2, ± 45/2
Sea, x – 1 = 0
X = 1
f(1) = 2(1) 4 – 7(1) 3 – 13(1) 2 + 63(1) – 45
2 – 7 – 13 + 63 – 45 = 0
Sea, x – 3 = 0
x = 3
f(3) = 2(3) 4 – 7(3) 3 – 13(3) 2 + 63(3) – 45
162 – 189 – 117 + 189 – 45 = 0
por lo tanto, (x – 1) y (x – 3) son las raíces de f(x)
x2 – 4x + 3 es el factor de f(x)
Divide f(x) con x2 – 4x + 3 para obtener otros tres factores,
Al usar la división larga obtenemos,
2x 4 – 7x 3 – 13x 2 + 63x – 45 = (x 2 – 4x + 3) (2x 2 + x – 15)
2x 4 – 7x 3 – 13x 2 + 63x – 45 = (x – 1) (x – 3) (2x 2 + x – 15)
Ahora,
2x 2 + x – 15 = 2x 2 + 6x – 5x –15
2x(x+3) – 5 (x+3)
(2x – 5) (x + 3)
Por lo tanto, 2x 4 – 7x 3 – 13x 2 + 63x – 45 = (x – 1)(x – 3)(x + 3)(2x – 5)
Pregunta 8. Usando el teorema del factor, factoriza los polinomios: 3x 3 – x 2 – 3x + 1
Solución:
Dado que, f(x) = 3x 3 – x 2 – 3x + 1
Los factores del término constante 1 es ± 1,
Los factores del coeficiente de x2 = 3,
Las raíces racionales posibles son ±1, 1/3,
Sea, x – 1 = 0
X = 1
f(1) = 3(1) 3 – (1) 2 – 3(1) + 1
3 – 1 – 3 + 1 = 0
por lo tanto, x – 1 es el factor de f(x)
Ahora, divide f(x) con (x – 1) para obtener otros factores
Usando el método de división larga obtenemos,
3x 3 – x 2 – 3x + 1 = (x – 1)( 3x 2 + 2x – 1)
Ahora,
3x 2 + 2x -1 = 3x 2 + 3x – x – 1
3x(x+1) -1(x+1)
(3x – 1)(x + 1)
Por lo tanto, 3x 3 – x 2 – 3x + 1 = (x – 1) (3x – 1)(x + 1)
Pregunta 9. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: x 3 – 23x 2 + 142x – 120
Solución:
Dado que, f(x) = x 3 – 23x 2 + 142x – 120
El término constante en f(x) es -120,
Los factores de -120 son ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±10, ±12, ±15, ±20, ±24, ±30, ±40, ±60 , ± 120,
Sea, x – 1 = 0
X = 1
f(1) = (1) 3 – 23(1) 2 + 142(1) – 120
1 – 23 + 142 – 120 = 0
por lo tanto, (x – 1) es el factor de f(x)
Ahora, divide f(x) con (x – 1) para obtener otros factores
Al usar la división larga obtenemos,
x 3 – 23x 2 + 142x – 120 = (x – 1) (x 2 – 22x + 120)
Ahora,
x2 – 22x + 120 = x2 – 10x – 12x + 120
x(x-10)-12(x-10)
(x-10) (x-12)
Por lo tanto, x 3 – 23x 2 + 142x – 120 = (x – 1) (x – 10) (x – 12)
Pregunta 10. Usando el teorema del factor, factorice los polinomios: y 3 – 7y + 6
Solución:
Dado que, f(y) = y 3 – 7y + 6
El término constante en f(y) es 6,
Los factores son ± 1, ± 2, ± 3, ± 6,
Sea, y – 1 = 0
y = 1
f(1) = (1)3 – 7(1) + 6
1 – 7 + 6 = 0
por lo tanto, (y – 1) es el factor de f(y)
De manera similar, (y – 2) y (y + 3) también son los factores
Como f(y) es un polinomio de grado 3, no puede tener más de 3 factores lineales
f(y) = k(y – 1)(y – 2)(y + 3)
y 3 – 7y + 6 = k(y – 1)( y – 2)(y + 3) —————–(i)
Sustituya k = 0 en la ecuación. 1
0 – 0 + 6 = k(-1)(-2)(3)
6 = 6k
k = 1
y 3 – 7y + 6 = (1)(y – 1)( y – 2)(y + 3)
y 3 – 7y + 6 = (y – 1)( y – 2)(y + 3)
Por lo tanto, y 3 –7y + 6 = (y – 1)( y – 2)(y + 3)
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA