Pregunta 11. En la figura, ACB es una línea tal que ∠DCA = 5x y ∠DCB = 4x. Encuentra el valor de x.
Solución:
Se da que ACB es una línea en la figura que se muestra a continuación.
Por lo tanto, ∠ACD y ∠BCD forman un par lineal.
Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.
O podemos decir que
∠ACD + ∠BCD = 180°
Además, ∠ACD = 4x y ∠BCD = 5x.
Esto se simplifica aún más a:
4x + 5x = 180
9x = 180
x =
x = 20°
Pregunta 12. En la figura dada, ∠POR = 3x y ∠QOR = 2x + 10, encuentre el valor de x para el cual POQ será una línea.
Solución:
Aquí tenemos POQ como una línea
Entonces, ∠POR y ∠QOR forman un par lineal.
Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°
O
∠POR + ∠QOR = 180°
Se da que ∠POR = (3x)° y ∠QOR = (2x + 10)°. Al sustituir estos valores anteriores obtenemos,
3x + (2x + 10) = 180°
3x + 2x + 10 = 180°
5x + 10 = 180°
5x = 180 – 10
5x = 170
x =
x = 34°
Pregunta 13. En la figura dada, a es mayor que b en un tercio de un ángulo recto. Encuentre los valores de a y b.
Solución:
Se da que en la figura dada a continuación; a es mayor que b en un tercio de un ángulo recto.
O podemos decir que la diferencia entre a y b es
es decir
un-b =
a – b = 30° ……..(yo)
También a y b forman un par lineal. Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.
Podemos decir eso:
a + b = 180° ……….(ii)
Al sumar (i) y (ii), obtenemos:
2a = 180 + 30
2a = 210
un =
a = 105°
Al poner a = 105 en (i)
105 – b = 30
-b = 30 – 105
-b = -75
b = 75°
Por lo tanto, a = 105° y b = 75°
Pregunta 14. ¿Qué valor de y haría de AOB una línea en la figura dada, si ∠AOC = 4y y ∠BOC = (6y + 30)
Solución:
Supongamos, AOB como una línea recta.
Esto hace que ∠AOC y ∠BOC formen un par lineal. Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.
Podemos decir eso:
∠AOC+ ∠BOC = 180°
Además, ∠AOC = 4y y ∠BOC = 6y + 30. Esto se simplifica aún más a:
4 años + (6 años + 30) = 180
10 años + 30 = 180
10 años = 180 – 30
10 años = 150
y =
y = 15°
Por lo tanto, el valor de y = 15° hace que AOB sea una línea.
Pregunta 15. Si la figura dada, ∠AOF y ∠FOG forman un par lineal.
∠EOB = ∠FOC = 90° y ∠DOC = ∠FOG = ∠AOB = 30°
(i) Encuentra la medida de ∠FOE, ∠COB y ∠DOE.
(ii) Nombre todos los ángulos rectos.
(iii) Nombre tres pares de ángulos complementarios adyacentes.
(iv) Nombre tres pares de ángulos suplementarios adyacentes.
(v) Nombre tres pares de ángulos adyacentes.
Solución:
La cifra dada es la siguiente:
(i) Se da que ∠AOB, ∠FOE, ∠EOB y ∠FOG forman un par lineal.
Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°
es decir
∠AOB + ∠FOE + ∠EOB + ∠FOG = 180°
Se da que:
∠NIEBLA = 30°
∠AOB = 30°
∠EOB = 90° en la ecuación anterior, obtenemos:
∠AOB + ∠FOE + ∠EOB + ∠FOG = 180°
30° + ∠FOE + 90° + 30° = 180°
∠FOE + 150° = 180°
∠FOE = 180° – 150°
∠FOE = 30°
se da que
∠FOC = 90°
De la figura anterior:
∠FOE + ∠DOE + ∠COD = 90°
30° + ∠DOE + 30° = 90°
∠DOE + 60° = 90°
∠DOE = 90° – 60°
∠DOE = 30°
Del mismo modo, tenemos:
∠EOB = 90°
De la figura anterior:
∠DOE + ∠DOC+ ∠COB = 90°
30° + 30° + ∠COB = 90°
∠COB + 60° = 90°
∠COB = 90° – 60°
∠COB = 30°
(ii) Tenemos:
∠NIEBLA = 30°
∠FOE = 30°
∠EOD = 30°
∠DQO = 30°
∠COB = 30°
∠AOB = 30°
De la figura anterior y las medidas de los ángulos calculados obtenemos dos ángulos rectos como ∠DOG y ∠AOD.
Dos ángulos rectos ya se dan como ∠FOC y ∠EOB
(iii) Tenemos que encontrar los tres pares de ángulos complementarios adyacentes.
Sabemos que ∠EOB es un ángulo recto.
Por lo tanto,
∠EOC y ∠COB son ángulos complementarios.
De manera similar, ∠AOD es un ángulo recto.
Por lo tanto,
∠AOC y ∠COD son ángulos complementarios.
(iv) Tenemos que encontrar los tres pares de ángulos suplementarios adyacentes.
Ya que, ∠AOG es una línea recta.
Por lo tanto, los siguientes son los tres pares lineales, que son complementarios:
∠AOB y ∠BOG
∠AOC y ∠COG
∠AOD y ∠DOG
(v) Tenemos que encontrar un par de ángulos adyacentes, que son los siguientes:
∠AOB y ∠BOC
∠COD y ∠DOE
∠EOF y ∠FOG
Pregunta 16. En la figura dada, OP, OQ, OR y OS son cuatro rayos. Pruebalo:
∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°.
Solución:
Dibujemos TOP como una línea recta.
Dado que TOP es una línea, ∠POQ, ∠QOR y ∠ROT forman un par lineal.
Además, ∠POS y ∠SOT forman un par lineal.
Así, tenemos:
∠POQ + ∠QOR + ∠ROT = 180° ……(i)
y
∠POS + ∠SOT = 180° …….(ii)
Al sumar (i) y (ii), obtenemos;
(∠POQ + ∠QOR + ∠ROT) + (∠POS + ∠SOT) = 180° + 180°
∠POQ + ∠QOR + (∠ROT + ∠SOT) + ∠POS = 360°
∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°
Por lo tanto probado.
Pregunta 17. En la figura dada, el rayo OS se encuentra en una línea POQ, el rayo OR y el rayo OT son bisectrices de ∠POS y ∠SOQ respectivamente. Si ∠POS = x, encuentra ∠ROT.
Solución:
En la figura que se presenta a continuación, tenemos
Ray OR como la bisectriz de ∠POS
Por lo tanto,
∠POR = ∠ROS
o,
∠POS = 2∠ROS ………..(i)
De manera similar, el rayo OT como la bisectriz de ∠SOQ
Por lo tanto,
∠TOQ = ∠TOS
o,
∠QOS = 2∠TOS ……….(ii)
Además, Ray OS se encuentra en una línea POQ. Por lo tanto, ∠POS y ∠QOS forman un par lineal.
De este modo,
∠POS + ∠QOS = 180°
De (i) y (ii)
2∠ROS + 2∠TOS = 180°
2(∠ROS + ∠TOS) = 180°
∠ROS + ∠TOS =
∠ROT = 90°
Pregunta 18. En la figura dada, las rectas PQ y RS se cortan en el punto O. Si ∠POR: ∠ROQ = 5:7, encuentra todos los ángulos.
Solución:
Sean ∠POR y ∠ROQ 5x y 7x respectivamente.
Desde entonces, Ray OR se encuentra en la línea POQ. Por lo tanto, ∠POR y ∠ROQ forman un par lineal.
Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.
O,
∠POR + ∠ROQ = 180°
5x + 7x = 180°
12x = 180°
x =
x = 15° …….(i)
De este modo,
∠POR = 5x
= 5(15)
= 75
∠POR = 75°
De este modo,
∠ROQ = 7x
= 7(15)
=105
∠ROQ = 105°
Es evidente a partir de la figura que ∠QOS y ∠POR son ángulos verticalmente opuestos.
Y sabemos que los ángulos verticalmente opuestos son iguales.
Por lo tanto,
∠QOS = ∠POR
∠QOS = 75°
De manera similar, ∠POS y ∠ROQ son ángulos verticalmente opuestos.
Y sabemos que los ángulos verticalmente opuestos son iguales.
Por lo tanto,
∠POS = ∠ROQ
∠POS = 105°
Pregunta 19. En la figura dada, POQ es una línea. El rayo OR es perpendicular a la línea PQ. OS es otro rayo que se encuentra entre los rayos OP y OR. Pruebalo
∠ROS = 1212 (∠QOS − POS).
Solución:
La figura dada muestra:
Tenemos POQ como una línea. El rayo OR es perpendicular a la línea PQ. Por lo tanto,
∠ROQ = 90°
∠POR = 90°
De la figura anterior, obtenemos
∠ROS + ∠POS = 90° ………(i)
∠POS y ∠QOS forman un par lineal.
Por lo tanto,
∠QOS + ∠POS = 180° ……(ii)
De la ecuación (i) y (ii) obtenemos:
∠QOS + ∠POS = 2 × 90 ∠QOS + ∠POS = 2 × 90
∠QOS + ∠POS = 2(∠ROS + ∠POS)
2∠ROS = ∠QOS – ∠POS
∠ROS = (∠QOS – ∠POS)
Por lo tanto, probado.
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Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA