Pregunta 1. En la siguiente figura, las líneas l 1 y l 2 se intersecan en O, formando ángulos como se muestra en la figura. Si x = 45°. Encuentre los valores de x, y, z y u.
Solución:
Dado que X = 45°
Encuentre: el valor de Y, Z y u
z = x = 45° [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]
z + u = 180° [z y u son ángulos que son un par lineal]
z = 180° – tu
tu = 180° – x
tu = 180° – 45°
tu = 135°
x + y = 180° [los ángulos x e y son un par lineal]
y = 180° – x
y =180° – 45°
y = 135°
Por lo tanto, x = 45°, y = 135°, z = 135° y u = 45°
Pregunta 2. En la siguiente fig. tres líneas coplanares se cortan en un punto O, formando ángulos como se muestra en la figura. Encuentra los valores de x, y, z y u.
Solución:
De la figura dada
∠SOD = z = 90° [Los ángulos opuestos verticalmente son iguales]
∠DOF = y = 50°
Ahora, x + y + z = 180° [Par de ángulos lineales]
Ahora pon el valor de z e y
90° + 50° + x = 180°
x = 180° – 140°
x = 40°
Entonces, x = 40°, y = 50°, z = 90°, u = 40°
Pregunta 3. En la figura dada, encuentre los valores de x, y y z.
Solución:
De la figura dada
y = 25° [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]
Ahora ∠x +∠y = 180° [Par de ángulos lineales]
x = 180° – 25°
x = 155°
También,
z = x = 155° [Ángulos verticalmente opuestos]
y = 25°
z = 155°
Entonces, x = 155°, y = 25°, z = 155°
Pregunta 4. En la siguiente fig. ¿Encuentra el valor de x?
Solución:
de la figura
AOE = BOF = 5x [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]
∠COA + ∠AOE + ∠EOD = 180° [Ángulos de pares lineales]
3x + 5x + 2x = 180°
10x = 180°
x = 180°/10
x = 18°
Entonces, el valor de x = 18°
Pregunta 5. Demuestra que las bisectrices de un par de ángulos verticalmente opuestos están en la misma línea recta.
Solución:
de la figura
Las líneas AB y CD se cortan en el punto O, tal que
∠AOC = ∠BOD [los ángulos verticalmente opuestos son iguales] …(1)
Además, OP es la bisectriz de AOC y OQ es la bisectriz de BOD
Para probar: POQ es una línea recta.
∠AOP = ∠COP [OP es la bisectriz de ∠AOC]…(2)
∠BOQ = ∠QOD [OQ es la bisectriz de ∠BOD]…(3)
Ahora,
∠AOC+ ∠BOD + ∠AOP + ∠COP + ∠BOQ + ∠QOD = 360° [la suma de todos los ángulos alrededor de un punto es 360°]
∠BOQ + ∠QOD + ∠DOA + ∠AOP + ∠POC+ ∠COB = 360°
2∠QOD + 2∠DOA + 2∠AOP = 360° (de la ecuación (1), (2) y (3))
∠QOD + ∠DOA + ∠AOP = 180°
POQ = 180°
Por lo tanto probado
Cuestión 6. Si dos rectas se intersecan, demostrar que el rayo opuesto a la bisectriz de uno de los ángulos así formados biseca al ángulo verticalmente opuesto.
Solución:
Consideremos que AB y CD se cortan en un punto O
Ahora dibuja la bisectriz OP de AOC
OP = POC… (i)
Extienda OP a Q.
Demuestra que OQ biseca a BOD
Consideremos que OQ biseca a BOD,
Demostrar que POQ es una línea.
Como sabemos que,
COA = fecha de nacimiento …. (ii) [ángulos verticalmente opuestos.]
AOP = BOQ [ángulos verticalmente opuestos.]
Del mismo modo, POC = DOQ
AOP + AOD + DOQ + POC+ BOC+ BOQ = 360° [la suma de todos los ángulos alrededor de un punto es 360 grados]
2AOP + AOD + 2D0Q + BOC = 360°
2AOP + 2AOD + 2DOQ = 360°
2(AOP + AOD + DOQ) = 360°
AOP + AOD +DOQ = 360°/2
AOP + AOD + DOQ = I80°
Por lo tanto, POQ es una línea recta.
Por lo tanto probado
Pregunta 7. Si uno de los cuatro ángulos formados por dos líneas que se cortan es un ángulo recto. Luego demuestra que cada uno de los cuatro ángulos es un ángulo recto.
Solución:
segun pregunta
AB y CD intersecándose en O, tal que ∠BOC = 90°, ∠AOC = 90 °∠AOD = 90° y ∠BOD = 90°
Dado:∠BOC = 90°
∠BOC = ∠AOD = 90° [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]
∠AOC+ ∠BOC = 180° [Ángulos en par lineal]
∠AOC+ 90° = 180° [Ángulos en par lineal]
∠COA = 90°
∠AOC = ∠BOD = 90° [Ángulos verticalmente opuestos]
Por lo tanto, ∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = ∠AOD = 90°
Pregunta 8. En la siguiente fig. los rayos AB y CD se cortan en O.
(i) Determine y cuando x = 60 °
(ii) Determine x cuando y = 40 °
Solución:
(i) Dado que x = 60°
∠AOC+ ∠BOC = 180° [par de ángulos lineales]
⟹ 2x + y = 180°
⟹ 2(60°) + y = 180° [ya que x = 60°]
⟹ y = 60°
Por lo tanto, el valor de y = 60° cuando x = 60°
(ii) Dado y = 40°
∠AOC+ ∠BOC = 180° [par de ángulos lineales]
⟹ 2x + y = 180°
⟹ 2x + 40° = 180° [ya que x = 40°]
⟹ 2x =180° – 140°
⟹ 2x = 140°
⟹ x = 70°
Por lo tanto, el valor de x = 70° cuando x = 40°
Pregunta 9. En la siguiente fig. líneas AB. CD y EF se intersecan en O. Halla las medidas de ∠AOC, ∠COF, ∠DOE y ∠BOF.
Solución:
de la figura
∠AOE + ∠EOB = 180° [par de ángulos lineales]
∠AOE + ∠DOE + ∠BOD = 180° [par de ángulos lineales]
⟹ ∠DOE = 180° – 40° – 35° = 105°
∠DOE = ∠COF = 105° [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]
Ahora, ∠AOE + ∠AOF = 180° [Ángulos en par lineal]
∠AOE + ∠AOC+ ∠COF = 180°
⟹ 40° + ∠AOC+105° = 180°
⟹ ∠AOC = 180° – 145°
⟹ ∠AOC = 35°
Además, ∠BOF = ∠AOE = 40° [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]
Por lo tanto, el valor de ∠AOC = 35°, ∠COF = 105°, ∠DOE = 105° y ∠BOF = 40°
Pregunta 10. AB, CD y EF son tres rectas concurrentes que pasan por el punto O tales que OF biseca a BOD. Si ∠BOF = 35. Calcula ∠BOC y ∠AOD.
Solución:
Dado que OF biseca a ∠BOD
∠BOF = 35°
Tenemos que encontrar ∠BOC y ∠AOD
∠BOD = 2 ∠BOF = 70° [ya que OF biseca a ∠BOD]
∠BOD = ∠AOC = 70° [ángulos verticalmente opuestos]
Ahora,
∠BOC+ ∠AOC = 180°
∠BOC+ 70° = 180°
∠BOC = 110°
∠AOD = ∠BOC = 110° [Ángulos verticalmente opuestos]
Por lo tanto, el valor de ∠BOC = 110° y ∠AOD = 110°
Pregunta 11. En la siguiente figura, las líneas AB y CD se intersecan en O. Si ∠AOC+ ∠BOE = 70° y ∠BOD = 40°, encuentre ∠BOE y refleje ∠COE.
Solución:
Dado: AOC+ BOE = 70° y BOD = 40°
Tenemos que encontrar ∠BOE y reflejo ∠COE
DBO = AOC = 40° [ángulos verticalmente opuestos]
∠AOC+ ∠BOE = 70° [dado]
⟹ 40° + ∠BOF = 70°
⟹ ∠BOF = 70° – 40°
⟹ ∠BOE = 30°
⟹ AOC+ COF + BOE = 180° [Ángulos en par lineal]
⟹ COE = 180° – 30° – 40°
⟹ COE = 110°
Reflejo ∠COE = 360° – 110° = 250°
Por lo tanto, el valor de ∠BOE = 30° y ∠COE =250°
Pregunta 12. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F)?
(i) Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios.
(ii) Si dos ángulos adyacentes son iguales y cada ángulo mide 90°
(iii) Los ángulos que forman un par lineal pueden ser ambos ángulos agudos.
(iv) Si los ángulos que forman un par lineal son iguales, entonces cada uno de los ángulos tiene una medida de 90°
Solución:
(yo) Verdadero
(ii) Falso
(iii) Falso
(iv) cierto
Pregunta 13. Complete los espacios en blanco Inc para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas:
(i) Si un ángulo de un par lineal es agudo, entonces su otro ángulo será ______
(ii) Un rayo se encuentra sobre una línea, entonces la suma de los dos ángulos adyacentes así formados es ______
(iii) Si la suma de dos ángulos adyacentes es 180°, entonces los brazos ______ de los dos ángulos son rayos opuestos.
Solución:
(i) Ángulo obtuso
(ii) 180°
(iii) Poco común
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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA