Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Introducción a Líneas y Ángulos – Ejercicio 8.4 | conjunto 2

Pregunta 11. En la figura dada, las líneas AB y CD son paralelas y P es cualquier punto como se muestra en la figura. Demuestra que ∠ABP+ ∠CDP= ∠DPB.

Solución:

Aquí en la figura dada:

Dado:

AB || CD

Ahora dibuja una línea XY que pase por el punto P y sea paralela a AB y CD.

Aquí, XY || CD, por lo tanto, ∠CDP y ∠1 son ángulos opuestos interiores alternos. Por lo tanto,

∠1 = ∠CDP ……(i)

Del mismo modo, tenemos XY || AB, por lo tanto, ∠ABP y∠2 son ángulos opuestos interiores alternos. Por lo tanto,

∠2 = ∠ABP ….(ii)

Al sumar (i) y (ii)

∠1 + ∠2 = ∠CDP + ∠ABP

∠DPB = ∠CDP + ∠ABP

Así probado.

Pregunta 12. En la figura dada, AB||CD y P es cualquier punto que se muestra en la figura. Pruebalo:

∠ABP+ ∠BPD+ ∠CDP= 360°

Solución:

La cifra dada es la siguiente:

Se da que AB || CD

Dibujemos una recta XY que pase por el punto P y sea paralela a AB y CD.

Tenemos XY || CD, por lo tanto, ∠CDP y∠2 son ángulos interiores consecutivos. Por lo tanto,

∠2 + ∠CDP = 180° ……(i)

Del mismo modo, tenemos XY || AB, por tanto,∠CDP y∠2 son ángulos interiores consecutivos. Por lo tanto,

∠1 + ∠ABP = 180° ……(ii)

Al sumar las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos:

∠2 + ∠CDP + ∠1 + ∠ABP = 180° + 180°

(∠2 + ∠1) + ∠CDP + ∠ABP = 360°

∠ABP + ∠BPD + ∠CDP = 360°

Por lo tanto probado.

Pregunta 13. Dos ángulos desiguales de un paralelogramo están en la razón 2 : 3. Encuentra todos sus ángulos en grados.

Solución:

El paralelogramo se puede dibujar de la siguiente manera:

se da que

∠A : ∠C = 2 : 3

Por lo tanto, sea:

∠A = 2x y ∠C = 3x

Sabemos que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

Por lo tanto,

∠A = ∠D

∠D = 2x

Similarmente

∠B = 3x

Además, si AB || CD, entonces la suma de los ángulos interiores consecutivos es igual a 180°. .

Por lo tanto,

∠A + ∠C = 180°

2x + 3x = 180°

5x = 180°

x =

x = 36°

Tenemos

∠A = 2x

∠A = 2(36°)

∠A = 72°

También,

∠C = 3x

∠C = 3(36°)

∠C = 108°

Similarmente,

∠D = 72°

Y

∠B = 108°

Por lo tanto, los cuatro ángulos del paralelogramo son los siguientes:

∠A = 72°, ∠B = 108°, ∠C = 72° y ∠D = 108°

Pregunta 14. En cada una de las dos rectas es perpendicular a la misma recta, ¿qué tipo de rectas son entre sí?

Solución:

La figura se puede dibujar de la siguiente manera:

Aquí, l ⊥ n y m ⊥n.

Necesitamos encontrar la relación entre las líneas l y m

Se da que l ⊥n, por lo tanto,

∠1 = 90° …….(yo)

De manera similar, tenemos m ⊥n, por lo tanto,

∠2 = 90° …….(ii)

De (i) y (ii), obtenemos:

∠1 = ∠2

Pero estos son el par de ángulos correspondientes.

El teorema establece: si una transversal corta dos rectas de tal manera que un par de ángulos correspondientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas.

Así, podemos decir que l || metro

Por lo tanto, las rectas son paralelas entre sí.

Pregunta 15. En la figura dada, ∠1 = 60° y ∠2 =(23)rd23rdde un ángulo recto. Demuestre que l||m.

Solución:

La figura se da de la siguiente manera:

Se da que ∠1 = 60°

También,

∠2 = (90°)

∠2 = 2(30°)

∠2 = 60°

Entonces, tenemos ∠1 = ∠2

Pero estos son el par de ángulos correspondientes.

Así, l || metro

Por lo tanto, probado.

Pregunta 16. En la figura dada, si l||m||ny ∠1 = 60°, encuentra ∠2.

Solución:

La cifra dada es la siguiente:

Tenemos l || metro || n y ∠60°

Por lo tanto, obtenemos ∠1 y ∠3 como ángulos correspondientes.

Por lo tanto,

∠3 = ∠1

∠3 = 60° ……….(yo)

Tenemos ∠3 y ∠4 formando un par lineal.

Por lo tanto, deben ser complementarios. Eso es;

∠3 + ∠4 = 180°

De la ecuación (i)

60° + ∠4 = 180°

∠4 = 180° – 60°

∠4 = 120° ……(ii)

Tenemos m || norte

Por lo tanto, obtenemos ∠2 y ∠4 como ángulos opuestos interiores alternos.

Por lo tanto, estos deben ser iguales. Eso es,

∠2 = ∠4

De la ecuación (ii), obtenemos:

∠2 = 120°

Por lo tanto, el valor requerido para ∠2 es 120°

Pregunta 17. Demuestra que las rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas entre sí.

Solución:

La figura se puede dibujar de la siguiente manera:

Aquí, l ⊥ m y m ⊥ n.

Necesitamos demostrar que l || metro

Se da que l ⊥n, por lo tanto,

∠1 = 90° …..(yo)

De manera similar, tenemos m ⊥ n, por lo tanto,

∠2 = 90° ……(ii)

De (i) y (ii), obtenemos

∠1 = ∠2

Pero estos son el par de ángulos correspondientes.

El teorema establece: si una transversal corta dos rectas de tal manera que un par de ángulos correspondientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas.

Así, podemos decir que l || metro.

Pregunta 18. Los lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos. Si un ángulo del cuadrilátero mide 60°, encuentra los otros ángulos.

Solución:

El cuadrilátero se puede dibujar de la siguiente manera:

Aquí tenemos AB || CD y CA || BD.

Además, ∠ACD = 60°.

Así, AB || CD.

Por lo tanto, ∠ACD y ∠BAC son ángulos interiores consecutivos.

Por lo tanto, estos dos deben ser complementarios. es decir

∠ACD + ∠BAC = 180°

60° + ∠BAC = 180°

∠BAC = 180° – 60°

∠BAC = 120°

Del mismo modo, CA || BD

Por lo tanto, ∠ACD y ∠CDB son ángulos interiores consecutivos.

Por lo tanto, estos dos deben ser complementarios. es decir

∠ACD + ∠CDB = 180°

60° + ∠CDB = 180°

∠CDB = 180° + 60°

∠CDB = 120°

Del mismo modo, AB || CD. Por lo tanto, ∠ABD y ∠CDB son ángulos interiores consecutivos.

Por lo tanto, estos dos deben ser complementarios. es decir

∠ABD + ∠CDB = 180°

∠ABD + 120° = 180°

∠ABD = 180° – 120°

∠ABD = 60°

Por lo tanto, los otros ángulos son los siguientes:

∠BAC = 120°

∠CDB = 120°

∠ABD = 60°

Pregunta 19. Dos líneas AB y CD se intersecan en O. Si ∠AOC+ ∠COB+ ∠BOD= 270°, encuentra las medidas de ∠AOC, ∠COB, ∠BOD y ∠DOA.

Solución:

Dado que las rectas AB y CD se cortan en el punto O.

Por lo tanto, ∠AOC y ∠BOD son ángulos verticalmente opuestos.

Por lo tanto,

∠AOC = ∠DBO …… (i)

Similarmente,

∠COB = ∠AOD …… (ii)

Además, tenemos ∠AOC, ∠BOD y ∠AOD formando un ángulo completo.

Por lo tanto, ∠AOC+ ∠BOD + ∠COB + ∠AOD = 360°

Dado:

∠AOC+ ∠COB + ∠BOD = 270°

Por lo tanto, obtenemos

(∠AOC+ ∠BOD + ∠COB) + ∠AOD = 360°

270° + ∠AOD = 360°

∠AOD = 360° – 270°

∠AOD = 90°

De (ii), obtendremos;

∠COB = 90°

Como sabemos, ∠AOC y ∠COB forman un par lineal. Por lo tanto, estos deben ser complementarios.

∠AOC+ ∠COB = 180°

∠AOC+ 90° = 180°

∠AOC = 180° – 90°

∠COA = 90°

De (i), obtenemos;

∠DBO = 90°

Pregunta 20. En la figura dada, p es una transversal a las líneas m y n, ∠2 = 120° y ∠5 = 60°. Demostrar que m||n.

Solución:

La figura dada es;

Aquí tenemos que p es una transversal a las rectas m y n.

También,

∠2 = 120° y ∠5 = 60°.

Para demostrar: m || norte

Aquí tenemos ∠2 = 120°.

Además, ∠2 y ∠4 son ángulos verticalmente opuestos, por lo tanto, estos dos deben ser iguales. es decir

∠4 = 120° ……(yo)

Además, ∠5 = 60°

Sumando esta ecuación a (i), obtenemos:

∠4 + ∠5 = 120° + 60°

∠4 + ∠5 = 60°

Pero estos son los ángulos interiores consecutivos.

El teorema establece: si una transversal corta dos rectas de tal manera que un par de ángulos interiores consecutivos son suplementarios, entonces las dos rectas son paralelas.

Así, m || norte.

Por lo tanto, las rectas son paralelas entre sí.