Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Introducción a Líneas y Ángulos – Ejercicio 8.4 | Serie 1

Pregunta 1: En la figura, AB, CD y ∠1 y ∠2 están en la razón 3 : 2. Determina todos los ángulos de 1 a 8.

Solución:

Asumir,

∠1 = 3x y ∠2 = 2x

De la siguiente figura: ∠1 y ∠2 son un par lineal de ángulos

De este modo,

∠1 + ∠2 = 180 °

3x + 2x = 180 °

5x = 180 °

x =

x = 36 °

Por eso,

∠1 = 3x = 108 °

y

∠2 = 2x = 72 °

Lo sabemos:

(Los ángulos verticalmente opuestos son iguales)

Aquí los pares de ángulos verticalmente opuestos son:

(∠1 = ∠3);

(∠2 = ∠4);

(∠5, ∠7)

y

(∠6 = ∠8)

∠1 = ∠3 = 108°

∠2 = ∠4 = 72°

∠5 = ∠7

∠6 = ∠8

Ahora como se sabe

(si una transversal interseca cualquier línea paralela, entonces los ángulos correspondientes son iguales)

∠1 = ∠5 = ∠7 = 108°

∠2 = ∠6 = ∠8 = 72°

Por eso,

∠1 = 108°, ∠2 = 72°, ∠3 = 108°, ∠4 = 72°, ∠5 = 108°, ∠6 = 72°, ∠7 = 108° y ∠8 = 72°

Pregunta 2: En la figura, I, m y n son rectas paralelas intersecadas por la transversal p en X, Y y Z respectivamente. Encuentra ∠1, ∠2 y ∠3.

Solución:

Aquí como se indica en la figura

∠Y = 120° {Ángulos verticales opuestos]}

∠3 + ∠Y = 180° {Ángulos de pares lineales}

∠3= 180 – 120

⇒ ∠3= 60°

Como podemos ver, la línea ‘l’ es paralela a la línea ‘m’,

∠1 = ∠3 {Ángulos correspondientes}

∠1 = 60°

Ahora, la línea ‘m’ es paralela a la línea ‘n’,

∠2 = ∠Y {Ángulos interiores alternos}

∠2 = 120°

∠1 = 60°,

∠2 = 120°

y

∠3 = 60°.

Pregunta 3: En la figura, AB || disco compacto || EF y GH || KL. Encuentre ∠HKL.

Solución:

Construya: Extienda LK para encontrar la línea GF en el punto P.

Como se muestra abajo.

Aquí a partir de la figura,

disco compacto || novia,

∠CHG =∠HGP = 60° {ángulos alternos}

∠HGP =∠KPF = 60° {Ángulos correspondientes de líneas paralelas}

De este modo,

∠KPG =180 ° – 60 °

⇒∠KPG = 120 °

∠GPK = ∠AKL= 120° {Ángulos correspondientes de líneas paralelas}

∠AKH = ∠KHD = 25° {ángulos alternos de líneas paralelas}

De este modo,

∠HKL = ∠AKH + ∠AKL

⇒25 + 120

⇒∠HKL = 145°

Pregunta 4: En la figura, demuestre que AB || EF.

Solución:

Construir: Producir EF para intersecar AC en el punto N.

Como se ve en la figura:

∠BAC = 57°

y

∠ACD = 22°+35° = 57°

{Los ángulos alternativos de líneas paralelas son iguales}

BA || FE …..(i)

Lo sabemos,

La suma de los ángulos Co-interiores de líneas paralelas es 180°

FE || CD

∠DCE + ∠CEF = 35 + 145 = 180° …(ii)

De (i) y (ii)

AB || EF {Líneas paralelas a la misma línea son paralelas entre sí}

Por lo tanto Probado.

Pregunta 5: En la figura, si AB || disco y disco || EF, encuentre ∠ACE.

Solución:

Dado:

disco compacto || FE

∠ FEC+ ∠ECD = 180° {La suma de los ángulos co-interiores es suplementaria entre sí}

∠ECD = 180° – 130° = 50°

Ahora, BA || CD

∠BAC = ∠ACD = 70° {Los ángulos alternativos de líneas paralelas son iguales}

De este modo,

∠ACE + ∠ECD =70°

∠ACE = 70° – 50°

∠ACE = 20 °

Pregunta 6: En figura, PQ || AB y PR || ANTES DE CRISTO. Si ∠QPR = 102°, determine ∠ABC. Dar razones.

Solución:

Construir:

Extienda la línea AB para encontrar la línea PR en el punto G.

Como se muestra abajo;

Dado:

PQ || AB,

∠QPR = ∠BGR =102° {Ángulos correspondientes de líneas paralelas}

Y

relaciones públicas || ANTES DE CRISTO,

∠RGB+ ∠CBG =180° {Los ángulos correspondientes son suplementarios}

∠CBG = 180° – 102° = 78°

De este modo,

∠CBG = ∠ABC

⇒ ∠ABC = 78°

Pregunta 7: En la figura, indique qué líneas son paralelas y por qué.

Solución:

Como sabemos que,

Si una transversal interseca a dos rectas de tal manera que un par de ángulos interiores alternos son iguales, entonces las dos rectas son paralelas

Como podemos ver en la figura:

⇒ ∠EDC = ∠DCA = 100°

Las rectas DE y AC están cortadas por una transversal DC tal que el par de ángulos alternos son iguales.

Por eso,

ES || C.A.

Pregunta 8: En la figura, si l||m, n || p y ∠1 = 85°, encuentre ∠2.

Solución:

Dado:

∠1 = 85°

Lo sabemos,

Cuando una recta corta a las paralelas, el par de ángulos interiores alternos son iguales.

⇒ ∠1 = ∠3 = 85°

Así, de nuevo, los ángulos co-interiores son suplementarios,

Por lo tanto

∠2 + ∠3 = 180°

∠2 + 55° =180°

∠2 = 180° – 85°

∠2 = 95°

Pregunta 9: Si dos rectas son perpendiculares a la misma recta, prueba que son paralelas entre sí.

Solución:

Suponga que las líneas ‘l’ y ‘m’ son perpendiculares a ‘n’,

De este modo

∠1= ∠2=90°

Por lo tanto,

Las líneas ‘l’ y ‘m’ están cortadas por una línea transversal, es decir, ‘n’

Los ángulos correspondientes son iguales, por lo que se puede ver que,

La línea ‘l’ es paralela a la línea ‘m’.

Pregunta 10: Demuestra que si los dos brazos de un ángulo son perpendiculares a los dos brazos de otro ángulo, entonces los ángulos son iguales o suplementarios.

Solución:

Considere los ángulos ∠ACB y ∠ABD

Sea AC perpendicular a AB, y

CD es perpendicular a BD.

Probar:

∠ACD = ∠ABD

∠ACD + ∠ABD =180°

Prueba :

En un cuadrilátero,

∠A+ ∠C+ ∠D+ ∠B = 360° {La suma de los ángulos del cuadrilátero es 360°}

180° + ∠C+ ∠B = 360°

∠C+ ∠B = 360° –180°

De este modo,

∠ACD + ∠ABD = 180°

Y

∠ABD = ∠ACD = 90°

Por lo tanto, los ángulos son tanto iguales como suplementarios.