Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 1 Números reales – Ejercicio 1.1 | Serie 1

Pregunta 1. Si a y b son dos números enteros positivos impares tales que a > b, entonces demuestre que uno de los dos números (a + b)/2 y (a – b)/2 es impar y el otro es par.

Solución:

Cualquier número entero positivo impar tiene la forma 2q+1 o 2q+3 para algún número entero q.

a > b (dado)

a = 2q+3 yb = 2q+1.

Por lo tanto, (a+b)/2 = [(2q+3) + (2q+1)]/2

⇒ (a+b)/2 = (4q+4)/2

⇒ (a+b)/2 = 2q+2 = 2(q+1) que es un número par.

Ahora, (ab)/2

⇒ (ab)/2 = [(2q+3)-(2q+1)]/2

⇒ (ab)/2 = (2q+3-2q-1)/2

⇒ (ab)/2 = (2)/2

⇒ (ab)/2 = 1 que es un número impar.

Por tanto, uno de los dos números (a+b)/2 y (ab)/2 es impar y el otro es par .

Pregunta 2. Demuestra que el producto de dos enteros positivos consecutivos es divisible por 2.

Solución:

Sean dos enteros positivos consecutivos como n y n+1

Por tanto, producto = n(n+1)

= norte 2 + norte

Cualquier número entero positivo tiene la forma 2q o 2q+1. 

Sea n = 2q

⇒ norte 2 + norte = (2q) 2 +2q

⇒ n 2 + n = 4q 2 + 2q

⇒ norte 2 + norte = 2(2q 2 +q)

Por lo tanto, n 2 + n es divisible por 2.

n = 2q+1

⇒ norte 2 + norte = (2q+1) 2 + (2q+1)

⇒ norte 2 + norte = (4q 2 +4q+1 +2q+1)

⇒ norte 2 + norte = (4q 2 +6q+2)

⇒ norte 2 + norte = 2(2q 2 +3q+1)

Por lo tanto, n 2 + n es divisible por 2 

Por tanto, el producto de dos enteros positivos consecutivos es divisible por 2

Pregunta 3. Demuestra que el producto de tres enteros positivos consecutivos es divisible por 6.

Solución:

Sea n cualquier entero positivo.

Tres enteros positivos consecutivos son n, n+1 y n+2.

Cualquier entero positivo puede tener la forma 6q o 6q+1 o 6q+2 o 6q+3 o 6q+4 o 6q+5. 

Para n= 6q,

⇒ n(n+1)(n+2)= 6q(6q+1)(6q+2)

⇒ n(n+1)(n+2)= 6[q(6q+1)(6q+2)]

⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= q(6q+1)(6q+2)]

Para n= 6q+1,

⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+1)(6q+2)(6q+3)

⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(6q+1)(3q+1)(2q+1)]

⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+1)(3q+1)(2q+1)]

Para n= 6q+2,

⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+2)(6q+3)(6q+4)

⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(3q+1)(2q+1)(6q+4)]

⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (3q+1)(2q+1)(6q+4)]

Para n= 6q+3,

⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+3)(6q+4)(6q+5)

⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(2q+1)(3q+2)(6q+5)]

⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (2q+1)(3q+2)(6q+5)]

Para n= 6q+4,

⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+4)(6q+5)(6q+6)

⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(3q+2)(3q+1)(2q+2)]

⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (3q+2)(3q+1)(2q+2)]

Para n= 6q+5,

⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+5)(6q+6)(6q+7)

⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(6q+5)(q+1)(6q+7)]

⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+5)(q+1)(6q+7)]

Por lo tanto, el producto de tres enteros positivos consecutivos es divisible por 6.

Pregunta 4. Para cualquier entero positivo n, demuestre que n 3  – n divisible por 6.

Solución:

Sea n cualquier entero positivo. Cualquier entero positivo puede tener la forma 6q,6q+1, 6q+2,6q+3,6q+4,6q+5. (Del lema de división de Euclides para b= 6)

Tenemos n 3  – n = n(n 2 -1)= (n-1)n(n+1)

Para n= 6q,

⇒ (n-1)n(n+1)= (6q-1)(6q)(6q+1)

⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(6q-1)q(6q+1)]

⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q-1)q(6q+1)]

Para n= 6q+1,

⇒ (n-1)n(n+1)= (6q)(6q+1)(6q+2)

⇒ (n-1)n(n+1)= 6[q(6q+1)(6q+2)]

⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= q(6q+1)(6q+2)]

Para n= 6q+2,

⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+1)(6q+2)(6q+3)

⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(6q+1)(3q+1)(2q+1)]

⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+1)(3q+1)(2q+1)]

Para n= 6q+3,

⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+2)(6q+3)(6q+4)

⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(3q+1)(2q+1)(6q+4)]

⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (3q+1)(2q+1)(6q+4)]

Para n= 6q+4,

⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+3)(6q+4)(6q+5)

⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(2q+1)(3q+2)(6q+5)]

⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (2q+1)(3q+2)(6q+5)]

Para n= 6q+5,

⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+4)(6q+5)(6q+6)

⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(6q+4)(6q+5)(q+1)]

⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+4)(6q+5)(q+1)]

Por lo tanto, para cualquier entero positivo n, n 3  – n es divisible por 6.

Pregunta 5. Demostrar que si un entero positivo es de la forma 6q + 5, entonces es de la forma 3q + 2 para algún entero q, pero no a la inversa .

Solución:

Sea n= 6q+5 

Cualquier entero positivo puede tener la forma 3k,3k+1,3k+2.

Por tanto, q puede ser 3k,3k+1,3k+2.

Si q = 3k, entonces

⇒n= 6q+5

⇒n= 6(3k)+5

⇒ n= 18k+5 = (18k+3)+ 2

⇒n= 3(6k+1)+2

Por tanto, n= 3m+2, donde m es 6k+1

Si q= 3k+1, entonces

⇒n= 6q+5

⇒n= 6(3k+1)+5

⇒ n= 18k+6+5 = (18k+9)+ 2

⇒n= 3(6k+3)+2

Por tanto, n= 3m+2, donde m es 6k+3

Si q= 3k+2, entonces

⇒n= 6q+5

⇒n= 6(3k+2)+5

⇒ n= 18k+12+5 = (18k+15)+ 2

⇒n= 3(6k+5)+2

⇒ n= 3m+2, donde m es 6k+5

Por tanto, si un entero positivo es de la forma 6q + 5, entonces es de la forma 3q + 2 para algún entero q.

En cambio,

Sea n= 3q+2

Y sabemos que un entero positivo puede ser de la forma 6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.

Entonces, ahora si q=6k+1 entonces

⇒n= 3q+2

⇒n= 3(6k+1)+2

⇒n= 18k + 5

⇒n= 6(3k)+5

⇒n=6m+5

m es un número entero

q=6k+2 entonces

⇒n= 3q+2

⇒n= 3(6k+2)+2

⇒ n= 18k + 6 +2 = 18k+8

⇒ n= 6 (3k + 1) + 2

⇒ n = 6m + 2

⇒n= 6m+2, 

m es un número entero

No es de la forma 6q + 5.

Por tanto, si n es de la forma 3q + 2, entonces es necesario que no sea de la forma 6q + 5.

Pregunta 6. Demuestra que el cuadrado de cualquier entero positivo de la forma 5q + 1 es de la misma forma.

Solución:

n=5q+1

Al cuadrarlo,

⇒ norte 2 = (5q+1) 2

⇒ n 2 = (25q 2 +10q+1)

⇒ n 2 = 5(5q 2 +2q)+1

⇒ n 2 = 5m+1, donde m es un número entero. [Para m = 5q 2 +2q]

Por tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo de la forma 5q + 1 es de la misma forma.

Pregunta 7. Demuestra que el cuadrado de cualquier entero positivo es de forma 3m o 3m + 1 pero no de forma 3m + 2.

Solución:

Sea un entero positivo de la forma 3q, 3q+1,3q+2. (Del lema de división de Euclides para b= 3)

Si n= 3q,

Luego, al elevar al cuadrado

⇒ n 2 = (3q) 2 = 9q 2

⇒ n 2 = 3(3q 2 )

⇒ n 2 = 3m, donde m es un número entero [m = 3q 2 ]

Si n= 3q+1,

Luego, al elevar al cuadrado

⇒ norte 2 = (3q+1) 2 = 9q 2 + 6q + 1

⇒ norte 2 = 3(3q 2 +2q) + 1

⇒ n 2 = 3m + 1, donde m es un número entero [m = 3q 2 +2q]

Si n= 3q+2,

Luego, al elevar al cuadrado

⇒ norte 2 = (3q+2) 2 = 9q 2 + 12q + 4

⇒ norte 2 = 3(3q 2 + 4q + 1) + 1

⇒ n 2 = 3m + 1, donde m es un número entero [m = 3q 2 + 4q + 1]

Por lo tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 3m o 3m + 1 pero no de la forma 3m + 2.

Pregunta 8. Demostrar que el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 4q o 4q + 1 para algún entero q.

Solución:

a=bq+r (por el lema de división de Euclides)

Según la pregunta, b = 4.

a = 4p + r, 0 < r < 4

r = 0, a = 4p 

a 2  = 16p 2  = 4(4p 2 ) = 4q, donde q = 4p 2

r = 1, a = 4p + 1

a 2  = (4p + 1) 2  = 16p 2  + 1 + 8p = 4(4p + 2) + 1 = 4q + 1, donde q = (4p + 2)

r = 2, a = 4p + 2

a 2  = (4p + 2) 2  = 16p 2  + 4 + 16p = 4(4p 2  + 4p + 1) = 4q, donde q = 4p 2  + 4p + 1

r = 3, a = 4k + 3

a 2  = (4p + 3) 2  = 16p 2  + 9 + 24p = 4(4p 2  + 6p + 2) + 1

= 4q + 1, donde q = 4p 2  + 6p + 2

Por lo tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 4q o 4q + 1 para algún entero q.

Pregunta 9. Demostrar que el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 5q o 5q + 1, 5q + 4 para algún entero q.

Solución:

Según el lema de división de Euclides,

a = bm+r

Según la pregunta, b = 5.

a = 5m + r, 0 < r < 5

r = 0 a = 5m 

a 2  = 25m 2  = 5(5m 2 ) = 5q, donde q = 5m 2

Cuando r = 1, obtenemos, a = 5m + 1

a 2  = (5m + 1) 2  = 25m 2  + 1 + 10m = 5m(5m + 2) + 1 = 5q + 1, donde q = m(5m + 2)

r = 2, a = 5m + 2

a 2  = (5m + 2) 2  = 25m 2  + 4 + 20m = 5(5m 2  + 4m) + 4 = 4q + 4, donde q = 5m 2  + 4m

r = 3, a = 5m + 3

un 2  = (5m + 3) 2  = 25m2 +  9 + 30m = 5(5m2 +  6m + 1) + 4

= 5q + 4, donde q = 5m 2  + 6m + 1

r = 4, a = 5m + 4

un 2  = (5m + 4) 2  = 25m2 +  16 + 40m = 5(5m2 +  8m + 3) + 1

= 5q + 1, donde q = 5m 2  + 8m + 3

Por tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 5q, 5q + 1,5q + 4 para algún entero q.

Pregunta 10. Demostrar que el cuadrado de un entero impar es de la forma 8q + 1, para algún entero q.

Solución:

a = bq+r , 0 < r < b (por el lema de Euclides)

Poniendo b=4 para la pregunta,

⇒ a = 4q + r, 0 < r < 4

Para r = 0, a = 4q, que es un número par.

Para r = 1, a = 4q + 1, que es un número impar.

Al cuadrar,

⇒ a 2 = (4q + 1) 2 = 16q 2 + 1 + 8q = 8(2q 2 + q) + 1 = 8m + 1, donde m = 2q 2 + q

Para r = 2, a = 4q + 2 = 2(2q + 1), que es un número par.

Para r = 3, a = 4q + 3, que es un número impar.

Al cuadrar,

⇒ un 2 = (4q + 3) 2 = 16q 2 + 9 + 24q = 8(2q 2 + 3q + 1) + 1

= 8m + 1, donde m = 2q 2 + 3q + 1

Por tanto, el cuadrado de un entero impar es de la forma 8q + 1, para algún entero q.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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