Pregunta 1. Si a y b son dos números enteros positivos impares tales que a > b, entonces demuestre que uno de los dos números (a + b)/2 y (a – b)/2 es impar y el otro es par.
Solución:
Cualquier número entero positivo impar tiene la forma 2q+1 o 2q+3 para algún número entero q.
a > b (dado)
a = 2q+3 yb = 2q+1.
Por lo tanto, (a+b)/2 = [(2q+3) + (2q+1)]/2
⇒ (a+b)/2 = (4q+4)/2
⇒ (a+b)/2 = 2q+2 = 2(q+1) que es un número par.
Ahora, (ab)/2
⇒ (ab)/2 = [(2q+3)-(2q+1)]/2
⇒ (ab)/2 = (2q+3-2q-1)/2
⇒ (ab)/2 = (2)/2
⇒ (ab)/2 = 1 que es un número impar.
Por tanto, uno de los dos números (a+b)/2 y (ab)/2 es impar y el otro es par .
Pregunta 2. Demuestra que el producto de dos enteros positivos consecutivos es divisible por 2.
Solución:
Sean dos enteros positivos consecutivos como n y n+1
Por tanto, producto = n(n+1)
= norte 2 + norte
Cualquier número entero positivo tiene la forma 2q o 2q+1.
Sea n = 2q
⇒ norte 2 + norte = (2q) 2 +2q
⇒ n 2 + n = 4q 2 + 2q
⇒ norte 2 + norte = 2(2q 2 +q)
Por lo tanto, n 2 + n es divisible por 2.
n = 2q+1
⇒ norte 2 + norte = (2q+1) 2 + (2q+1)
⇒ norte 2 + norte = (4q 2 +4q+1 +2q+1)
⇒ norte 2 + norte = (4q 2 +6q+2)
⇒ norte 2 + norte = 2(2q 2 +3q+1)
Por lo tanto, n 2 + n es divisible por 2
Por tanto, el producto de dos enteros positivos consecutivos es divisible por 2
Pregunta 3. Demuestra que el producto de tres enteros positivos consecutivos es divisible por 6.
Solución:
Sea n cualquier entero positivo.
Tres enteros positivos consecutivos son n, n+1 y n+2.
Cualquier entero positivo puede tener la forma 6q o 6q+1 o 6q+2 o 6q+3 o 6q+4 o 6q+5.
Para n= 6q,
⇒ n(n+1)(n+2)= 6q(6q+1)(6q+2)
⇒ n(n+1)(n+2)= 6[q(6q+1)(6q+2)]
⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= q(6q+1)(6q+2)]
Para n= 6q+1,
⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+1)(6q+2)(6q+3)
⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(6q+1)(3q+1)(2q+1)]
⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+1)(3q+1)(2q+1)]
Para n= 6q+2,
⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+2)(6q+3)(6q+4)
⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(3q+1)(2q+1)(6q+4)]
⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (3q+1)(2q+1)(6q+4)]
Para n= 6q+3,
⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+3)(6q+4)(6q+5)
⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(2q+1)(3q+2)(6q+5)]
⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (2q+1)(3q+2)(6q+5)]
Para n= 6q+4,
⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+4)(6q+5)(6q+6)
⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(3q+2)(3q+1)(2q+2)]
⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (3q+2)(3q+1)(2q+2)]
Para n= 6q+5,
⇒ n(n+1)(n+2)= (6q+5)(6q+6)(6q+7)
⇒ n(n+1)(n+2)= 6[(6q+5)(q+1)(6q+7)]
⇒ n(n+1)(n+2)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+5)(q+1)(6q+7)]
Por lo tanto, el producto de tres enteros positivos consecutivos es divisible por 6.
Pregunta 4. Para cualquier entero positivo n, demuestre que n 3 – n divisible por 6.
Solución:
Sea n cualquier entero positivo. Cualquier entero positivo puede tener la forma 6q,6q+1, 6q+2,6q+3,6q+4,6q+5. (Del lema de división de Euclides para b= 6)
Tenemos n 3 – n = n(n 2 -1)= (n-1)n(n+1)
Para n= 6q,
⇒ (n-1)n(n+1)= (6q-1)(6q)(6q+1)
⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(6q-1)q(6q+1)]
⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q-1)q(6q+1)]
Para n= 6q+1,
⇒ (n-1)n(n+1)= (6q)(6q+1)(6q+2)
⇒ (n-1)n(n+1)= 6[q(6q+1)(6q+2)]
⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= q(6q+1)(6q+2)]
Para n= 6q+2,
⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+1)(6q+2)(6q+3)
⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(6q+1)(3q+1)(2q+1)]
⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+1)(3q+1)(2q+1)]
Para n= 6q+3,
⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+2)(6q+3)(6q+4)
⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(3q+1)(2q+1)(6q+4)]
⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (3q+1)(2q+1)(6q+4)]
Para n= 6q+4,
⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+3)(6q+4)(6q+5)
⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(2q+1)(3q+2)(6q+5)]
⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (2q+1)(3q+2)(6q+5)]
Para n= 6q+5,
⇒ (n-1)n(n+1)= (6q+4)(6q+5)(6q+6)
⇒ (n-1)n(n+1)= 6[(6q+4)(6q+5)(q+1)]
⇒ (n-1)n(n+1)= 6m, que es divisible por 6. [m= (6q+4)(6q+5)(q+1)]
Por lo tanto, para cualquier entero positivo n, n 3 – n es divisible por 6.
Pregunta 5. Demostrar que si un entero positivo es de la forma 6q + 5, entonces es de la forma 3q + 2 para algún entero q, pero no a la inversa .
Solución:
Sea n= 6q+5
Cualquier entero positivo puede tener la forma 3k,3k+1,3k+2.
Por tanto, q puede ser 3k,3k+1,3k+2.
Si q = 3k, entonces
⇒n= 6q+5
⇒n= 6(3k)+5
⇒ n= 18k+5 = (18k+3)+ 2
⇒n= 3(6k+1)+2
Por tanto, n= 3m+2, donde m es 6k+1
Si q= 3k+1, entonces
⇒n= 6q+5
⇒n= 6(3k+1)+5
⇒ n= 18k+6+5 = (18k+9)+ 2
⇒n= 3(6k+3)+2
Por tanto, n= 3m+2, donde m es 6k+3
Si q= 3k+2, entonces
⇒n= 6q+5
⇒n= 6(3k+2)+5
⇒ n= 18k+12+5 = (18k+15)+ 2
⇒n= 3(6k+5)+2
⇒ n= 3m+2, donde m es 6k+5
Por tanto, si un entero positivo es de la forma 6q + 5, entonces es de la forma 3q + 2 para algún entero q.
En cambio,
Sea n= 3q+2
Y sabemos que un entero positivo puede ser de la forma 6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.
Entonces, ahora si q=6k+1 entonces
⇒n= 3q+2
⇒n= 3(6k+1)+2
⇒n= 18k + 5
⇒n= 6(3k)+5
⇒n=6m+5
m es un número entero
q=6k+2 entonces
⇒n= 3q+2
⇒n= 3(6k+2)+2
⇒ n= 18k + 6 +2 = 18k+8
⇒ n= 6 (3k + 1) + 2
⇒ n = 6m + 2
⇒n= 6m+2,
m es un número entero
No es de la forma 6q + 5.
Por tanto, si n es de la forma 3q + 2, entonces es necesario que no sea de la forma 6q + 5.
Pregunta 6. Demuestra que el cuadrado de cualquier entero positivo de la forma 5q + 1 es de la misma forma.
Solución:
n=5q+1
Al cuadrarlo,
⇒ norte 2 = (5q+1) 2
⇒ n 2 = (25q 2 +10q+1)
⇒ n 2 = 5(5q 2 +2q)+1
⇒ n 2 = 5m+1, donde m es un número entero. [Para m = 5q 2 +2q]
Por tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo de la forma 5q + 1 es de la misma forma.
Pregunta 7. Demuestra que el cuadrado de cualquier entero positivo es de forma 3m o 3m + 1 pero no de forma 3m + 2.
Solución:
Sea un entero positivo de la forma 3q, 3q+1,3q+2. (Del lema de división de Euclides para b= 3)
Si n= 3q,
Luego, al elevar al cuadrado
⇒ n 2 = (3q) 2 = 9q 2
⇒ n 2 = 3(3q 2 )
⇒ n 2 = 3m, donde m es un número entero [m = 3q 2 ]
Si n= 3q+1,
Luego, al elevar al cuadrado
⇒ norte 2 = (3q+1) 2 = 9q 2 + 6q + 1
⇒ norte 2 = 3(3q 2 +2q) + 1
⇒ n 2 = 3m + 1, donde m es un número entero [m = 3q 2 +2q]
Si n= 3q+2,
Luego, al elevar al cuadrado
⇒ norte 2 = (3q+2) 2 = 9q 2 + 12q + 4
⇒ norte 2 = 3(3q 2 + 4q + 1) + 1
⇒ n 2 = 3m + 1, donde m es un número entero [m = 3q 2 + 4q + 1]
Por lo tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 3m o 3m + 1 pero no de la forma 3m + 2.
Pregunta 8. Demostrar que el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 4q o 4q + 1 para algún entero q.
Solución:
a=bq+r (por el lema de división de Euclides)
Según la pregunta, b = 4.
a = 4p + r, 0 < r < 4
r = 0, a = 4p
a 2 = 16p 2 = 4(4p 2 ) = 4q, donde q = 4p 2
r = 1, a = 4p + 1
a 2 = (4p + 1) 2 = 16p 2 + 1 + 8p = 4(4p + 2) + 1 = 4q + 1, donde q = (4p + 2)
r = 2, a = 4p + 2
a 2 = (4p + 2) 2 = 16p 2 + 4 + 16p = 4(4p 2 + 4p + 1) = 4q, donde q = 4p 2 + 4p + 1
r = 3, a = 4k + 3
a 2 = (4p + 3) 2 = 16p 2 + 9 + 24p = 4(4p 2 + 6p + 2) + 1
= 4q + 1, donde q = 4p 2 + 6p + 2
Por lo tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 4q o 4q + 1 para algún entero q.
Pregunta 9. Demostrar que el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 5q o 5q + 1, 5q + 4 para algún entero q.
Solución:
Según el lema de división de Euclides,
a = bm+r
Según la pregunta, b = 5.
a = 5m + r, 0 < r < 5
r = 0 a = 5m
a 2 = 25m 2 = 5(5m 2 ) = 5q, donde q = 5m 2
Cuando r = 1, obtenemos, a = 5m + 1
a 2 = (5m + 1) 2 = 25m 2 + 1 + 10m = 5m(5m + 2) + 1 = 5q + 1, donde q = m(5m + 2)
r = 2, a = 5m + 2
a 2 = (5m + 2) 2 = 25m 2 + 4 + 20m = 5(5m 2 + 4m) + 4 = 4q + 4, donde q = 5m 2 + 4m
r = 3, a = 5m + 3
un 2 = (5m + 3) 2 = 25m2 + 9 + 30m = 5(5m2 + 6m + 1) + 4
= 5q + 4, donde q = 5m 2 + 6m + 1
r = 4, a = 5m + 4
un 2 = (5m + 4) 2 = 25m2 + 16 + 40m = 5(5m2 + 8m + 3) + 1
= 5q + 1, donde q = 5m 2 + 8m + 3
Por tanto, el cuadrado de cualquier entero positivo es de la forma 5q, 5q + 1,5q + 4 para algún entero q.
Pregunta 10. Demostrar que el cuadrado de un entero impar es de la forma 8q + 1, para algún entero q.
Solución:
a = bq+r , 0 < r < b (por el lema de Euclides)
Poniendo b=4 para la pregunta,
⇒ a = 4q + r, 0 < r < 4
Para r = 0, a = 4q, que es un número par.
Para r = 1, a = 4q + 1, que es un número impar.
Al cuadrar,
⇒ a 2 = (4q + 1) 2 = 16q 2 + 1 + 8q = 8(2q 2 + q) + 1 = 8m + 1, donde m = 2q 2 + q
Para r = 2, a = 4q + 2 = 2(2q + 1), que es un número par.
Para r = 3, a = 4q + 3, que es un número impar.
Al cuadrar,
⇒ un 2 = (4q + 3) 2 = 16q 2 + 9 + 24q = 8(2q 2 + 3q + 1) + 1
= 8m + 1, donde m = 2q 2 + 3q + 1
Por tanto, el cuadrado de un entero impar es de la forma 8q + 1, para algún entero q.
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Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA