Clase 10 RD Sharma Solutions – Capítulo 10 Círculos – Ejercicio 10.2 | Serie 1

Pregunta 1. Si PT es una tangente en T a una circunferencia cuyo centro es O y OP = 17 cm, OT = 8 cm. Encuentra la longitud del segmento tangente PT.

Solución:

PT es la tangente a la circunferencia de centro O, en T

=> PT⊥ OT

Radio OT = 8 cm

OP = 17 cm

Por tanto, en ∆OPT derecha, aplicando el Teorema de Pitágoras:

      OP² = OT² + PT² 

=> (17)² = (8)² + PT²

=> 289 = 64 + PT²

=> PT² = 289 – 64 = 225 = (15)²

      PT = 15 cm

Pregunta 2. Halla la longitud de una tangente trazada a una circunferencia de 5 cm de radio, desde un punto a 13 cm del centro de la circunferencia.

Solución:

Desde un punto P exterior a la circunferencia de centro O, trazamos una tangente PT a la circunferencia 

OA = 5 cm (radio) 

OB = 13 cm

OA ⊥ BA

Por tanto, en ∆OPT derecha, aplicando el Teorema de Pitágoras

      OB² = OA² + BA² 

      (13)² = (5)² + BA²

=> 169 = 25 + BA²

=> BA² = 169 – 25 = 144 = (12)²

      AB = 12 cm

Pregunta 3. Un punto P está a 26 cm del centro O de un círculo y la longitud PT de la tangente trazada desde P al círculo es de 10 cm. Encuentra el radio del circulo.

Solución:

Desde un punto P exterior a la circunferencia de centro O, trazamos una tangente PT a la circunferencia de radio OT

OP = 26 cm

PT = 10 cm

Por tanto, en ∆OPT derecha, aplicando el Teorema de Pitágoras:

      OP² = OT² + PT² 

=> (26)² = OT² + (10)²

=> 676 = OT² + 100

=> 676 – 100 = OT²

=> OT² = 576 = (24)²

Por lo tanto, radio del círculo = 24 cm

Cuestión 4. Si desde cualquier punto de la cuerda común de dos círculos que se cortan se trazan tangentes a los círculos, probar que son iguales.

Solución:

Dado: 

QR es la cuerda común de dos círculos que se cortan en Q y R

A es un punto en RQ cuando se produce. 

De A, AB y AC se trazan dos tangentes a las circunferencias de centro O y O’ respectivamente.

Para probar: AB = AC

Prueba: AB es la tangente y AQR es la secante a la circunferencia de centro O

=> AB² = AQ x AR (1)

Análogamente, AC es la tangente y AQR la secante de la circunferencia de centro O’

=> AC² = AQ x AR (2)

De (1) y (2)

AB² = AC²

AB = CA

Por lo tanto, probado.

Pregunta 5. Si los lados de un cuadrilátero tocan un círculo, prueba que la suma de un par de lados opuestos es igual a la suma del otro par.

Solución:

Dado: Los lados de un cuadrilátero ABCD tocan el círculo en P, Q, R y S respectivamente

Para probar: AB + CD = AP + BC

Prueba: AP y AS son las tangentes a la circunferencia desde A

=> AP = COMO (1)

Del mismo modo, BP = BQ (2)

y CR = CQ (3)

y DR = DS (4)

Sumando, las cuatro ecuaciones obtenemos:

AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS

=> (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

=> AB + CD = AD + BC

Por lo tanto, probado.

Pregunta 6. De los dos círculos concéntricos, el radio del círculo exterior es de 5 cm y la cuerda AC de 8 cm de longitud es tangente al círculo interior. Encuentra el radio del círculo interior.

Solución:

Sean R y R’ las dos circunferencias que tienen el mismo centro O. AC es una cuerda que toca a la R en el punto D

Ahora, OD ⊥ AC

AD = DC = 4 cm [la línea perpendicular OD biseca la cuerda en D]

OA = 5 cm [dado]

Por lo tanto, en ∆AOD de ángulo recto, aplicando el teorema de Pitágoras:

      OA² = AD² + OD²

=> DO² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9

=> DE = 3 cm

Por lo tanto, Radio del círculo interior OD = 3 cm

Pregunta 7. Una cuerda PQ de un círculo es paralela a la tangente trazada en un punto R del círculo. Demostrar que R biseca el arco PRQ. 

Solución:

Dado: La cuerda PQ es paralela a la tangente en R.

Para probar: R biseca el arco PRQ (es decir, PR=QR)

Prueba: 

∠1 = ∠2 [ángulos interiores alternos] (1)

∠1 = ∠3 [el ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo formado por la cuerda en el segmento alterno] (2)

=> ∠2 = ∠3 [de (1) y (2)]

=> PR = QR [los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales]

Entonces, R biseca a PQ

Pregunta 8. Demostrar que un diámetro AB de un círculo biseca todas aquellas cuerdas que son paralelas a la tangente en el punto A.

Solución:

Dado: 

AB es un diámetro del círculo.

Se traza una tangente desde el punto A.

Un acorde CD paralelo a la tangente FAG.

Para probar: AB biseca a CD y por lo tanto todas las cuerdas son paralelas a la tangente en el punto A.

Prueba: CD es una cuerda del círculo y OA es un radio del círculo.

∠FAO = 90° [La tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto]

∠COB = ∠FAO [ángulos correspondientes]

=> ∠COB = 90°

Por lo tanto, AB biseca a CD [perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda biseca la cuerda]

De manera similar, el diámetro AB biseca todas las cuerdas que son paralelas a la tangente en el punto A.

Pregunta 9. Si AB, AC, PQ son las tangentes de la figura y AB = 5 cm, encuentra el perímetro de ∆APQ.

Solución:

AB, AC y PQ son las tangentes al círculo como se muestra en la figura de arriba y AB = 5 cm

PB y PR son las tangentes a la circunferencia desde el mismo punto P

=> PB = PR

De manera similar, QC y QR son las tangentes desde el mismo punto Q

=> control de calidad = QR

Además, AB y AC son las tangentes de A

=> AB = CA = 5 cm

Ahora perímetro de ∆APQ

= AP + PQ + AQ

= AP + PR + RQ + AQ

= AP + PB + QC+ AQ {porque PB = PR y QC = QR}

= AB + AC

= 5 cm + 5 cm

= 10cm

Entonces, el perímetro del triángulo APQ es de 10 cm.

Pregunta 10. Demostrar que la intersección de una tangente entre dos tangentes paralelas a un círculo subtiende un ángulo recto en el centro.

Solución:

Dado: 

PQ y RS son tangentes paralelas de un círculo

RMP es la intersección de la tangente entre PQ y RS

RS y PQ se unen en el centro del círculo O

Para probar: ∠ROP = 90°

Prueba: 

Dado que RL y RM son tangentes desde R y RO se une en el centro del círculo, bisecará el ángulo

=> ∠1 = ∠2 (1)

De manera similar, PM y PN son tangentes de P y PO se une en el centro del círculo, bisecará el ángulo

=> ∠4 = ∠3 (2)

Sumando (1) y (2), obtenemos:

∠1+∠4 = ∠2+∠3 (3)

Además, ∠LRP + ∠RPQ = 180° [ángulos co-interiores]

=> ∠1+∠2+∠3+∠4 = 180°

=> ∠2+∠2+∠3+∠3 = 180°    [using (3)]

=> ∠2+∠3 = 90°     (4)

Also, in ∆POR:

∠2+∠3+∠O = 180°     [sum of all the angles of triangle is 180°]

=> 90° + ∠O = 180°

=> ∠O = 90°

So, ∠ROP = 90°

Hence Proved

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Artículo escrito por img2018033 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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