Pregunta 1. Si PT es una tangente en T a una circunferencia cuyo centro es O y OP = 17 cm, OT = 8 cm. Encuentra la longitud del segmento tangente PT.
Solución:
PT es la tangente a la circunferencia de centro O, en T
=> PT⊥ OT
Radio OT = 8 cm
OP = 17 cm
Por tanto, en ∆OPT derecha, aplicando el Teorema de Pitágoras:
OP² = OT² + PT²
=> (17)² = (8)² + PT²
=> 289 = 64 + PT²
=> PT² = 289 – 64 = 225 = (15)²
PT = 15 cm
Pregunta 2. Halla la longitud de una tangente trazada a una circunferencia de 5 cm de radio, desde un punto a 13 cm del centro de la circunferencia.
Solución:
Desde un punto P exterior a la circunferencia de centro O, trazamos una tangente PT a la circunferencia
OA = 5 cm (radio)
OB = 13 cm
OA ⊥ BA
Por tanto, en ∆OPT derecha, aplicando el Teorema de Pitágoras
OB² = OA² + BA²
(13)² = (5)² + BA²
=> 169 = 25 + BA²
=> BA² = 169 – 25 = 144 = (12)²
AB = 12 cm
Pregunta 3. Un punto P está a 26 cm del centro O de un círculo y la longitud PT de la tangente trazada desde P al círculo es de 10 cm. Encuentra el radio del circulo.
Solución:
Desde un punto P exterior a la circunferencia de centro O, trazamos una tangente PT a la circunferencia de radio OT
OP = 26 cm
PT = 10 cm
Por tanto, en ∆OPT derecha, aplicando el Teorema de Pitágoras:
OP² = OT² + PT²
=> (26)² = OT² + (10)²
=> 676 = OT² + 100
=> 676 – 100 = OT²
=> OT² = 576 = (24)²
Por lo tanto, radio del círculo = 24 cm
Cuestión 4. Si desde cualquier punto de la cuerda común de dos círculos que se cortan se trazan tangentes a los círculos, probar que son iguales.
Solución:
Dado:
QR es la cuerda común de dos círculos que se cortan en Q y R
A es un punto en RQ cuando se produce.
De A, AB y AC se trazan dos tangentes a las circunferencias de centro O y O’ respectivamente.
Para probar: AB = AC
Prueba: AB es la tangente y AQR es la secante a la circunferencia de centro O
=> AB² = AQ x AR (1)
Análogamente, AC es la tangente y AQR la secante de la circunferencia de centro O’
=> AC² = AQ x AR (2)
De (1) y (2)
AB² = AC²
AB = CA
Por lo tanto, probado.
Pregunta 5. Si los lados de un cuadrilátero tocan un círculo, prueba que la suma de un par de lados opuestos es igual a la suma del otro par.
Solución:
Dado: Los lados de un cuadrilátero ABCD tocan el círculo en P, Q, R y S respectivamente
Para probar: AB + CD = AP + BC
Prueba: AP y AS son las tangentes a la circunferencia desde A
=> AP = COMO (1)
Del mismo modo, BP = BQ (2)
y CR = CQ (3)
y DR = DS (4)
Sumando, las cuatro ecuaciones obtenemos:
AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
=> (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
=> AB + CD = AD + BC
Por lo tanto, probado.
Pregunta 6. De los dos círculos concéntricos, el radio del círculo exterior es de 5 cm y la cuerda AC de 8 cm de longitud es tangente al círculo interior. Encuentra el radio del círculo interior.
Solución:
Sean R y R’ las dos circunferencias que tienen el mismo centro O. AC es una cuerda que toca a la R en el punto D
Ahora, OD ⊥ AC
AD = DC = 4 cm [la línea perpendicular OD biseca la cuerda en D]
OA = 5 cm [dado]
Por lo tanto, en ∆AOD de ángulo recto, aplicando el teorema de Pitágoras:
OA² = AD² + OD²
=> DO² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9
=> DE = 3 cm
Por lo tanto, Radio del círculo interior OD = 3 cm
Pregunta 7. Una cuerda PQ de un círculo es paralela a la tangente trazada en un punto R del círculo. Demostrar que R biseca el arco PRQ.
Solución:
Dado: La cuerda PQ es paralela a la tangente en R.
Para probar: R biseca el arco PRQ (es decir, PR=QR)
Prueba:
∠1 = ∠2 [ángulos interiores alternos] (1)
∠1 = ∠3 [el ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo formado por la cuerda en el segmento alterno] (2)
=> ∠2 = ∠3 [de (1) y (2)]
=> PR = QR [los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales]
Entonces, R biseca a PQ
Pregunta 8. Demostrar que un diámetro AB de un círculo biseca todas aquellas cuerdas que son paralelas a la tangente en el punto A.
Solución:
Dado:
AB es un diámetro del círculo.
Se traza una tangente desde el punto A.
Un acorde CD paralelo a la tangente FAG.
Para probar: AB biseca a CD y por lo tanto todas las cuerdas son paralelas a la tangente en el punto A.
Prueba: CD es una cuerda del círculo y OA es un radio del círculo.
∠FAO = 90° [La tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto]
∠COB = ∠FAO [ángulos correspondientes]
=> ∠COB = 90°
Por lo tanto, AB biseca a CD [perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda biseca la cuerda]
De manera similar, el diámetro AB biseca todas las cuerdas que son paralelas a la tangente en el punto A.
Pregunta 9. Si AB, AC, PQ son las tangentes de la figura y AB = 5 cm, encuentra el perímetro de ∆APQ.
Solución:
AB, AC y PQ son las tangentes al círculo como se muestra en la figura de arriba y AB = 5 cm
PB y PR son las tangentes a la circunferencia desde el mismo punto P
=> PB = PR
De manera similar, QC y QR son las tangentes desde el mismo punto Q
=> control de calidad = QR
Además, AB y AC son las tangentes de A
=> AB = CA = 5 cm
Ahora perímetro de ∆APQ
= AP + PQ + AQ
= AP + PR + RQ + AQ
= AP + PB + QC+ AQ {porque PB = PR y QC = QR}
= AB + AC
= 5 cm + 5 cm
= 10cm
Entonces, el perímetro del triángulo APQ es de 10 cm.
Pregunta 10. Demostrar que la intersección de una tangente entre dos tangentes paralelas a un círculo subtiende un ángulo recto en el centro.
Solución:
Dado:
PQ y RS son tangentes paralelas de un círculo
RMP es la intersección de la tangente entre PQ y RS
RS y PQ se unen en el centro del círculo O
Para probar: ∠ROP = 90°
Prueba:
Dado que RL y RM son tangentes desde R y RO se une en el centro del círculo, bisecará el ángulo
=> ∠1 = ∠2 (1)
De manera similar, PM y PN son tangentes de P y PO se une en el centro del círculo, bisecará el ángulo
=> ∠4 = ∠3 (2)
Sumando (1) y (2), obtenemos:
∠1+∠4 = ∠2+∠3 (3)
Además, ∠LRP + ∠RPQ = 180° [ángulos co-interiores]
=> ∠1+∠2+∠3+∠4 = 180°
=> ∠2+∠2+∠3+∠3 = 180° [using (3)]
=> ∠2+∠3 = 90° (4)
Also, in ∆POR:
∠2+∠3+∠O = 180° [sum of all the angles of triangle is 180°]
=> 90° + ∠O = 180°
=> ∠O = 90°
So, ∠ROP = 90°
Hence Proved
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Artículo escrito por img2018033 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA