Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Algunas aplicaciones de la trigonometría – Ejercicio 12.1 | conjunto 3

Pregunta 53. Desde lo alto de un edificio AB, de 60 m de altura, se observa que los ángulos de depresión de la parte superior e inferior de un poste de luz vertical CD son de 30° y 60° respectivamente. Encontrar

(i) la distancia horizontal entre AB y CD.

(ii) la altura del poste de luz

(iii) la diferencia entre las alturas del edificio y la farola.

Solución:

Consideremos que AB es el edificio y CD es la lámpara vertical

Desde el punto A, la parte superior de los ángulos de depresión del edificio de C y D son 30° y 60° 

Altura del edificio AB = 60 m

Supongamos que la altura de CD = h

Dibujar CE || base de datos || HACHA

∴ ∠ACE = ∠XAC = 30° y ∠ADB = ∠XAD = 60°

EB = CD = h y AE = 60 – h

Sea DB = CE = x

Ahora en ΔACE,

tan 30° = (60 – h)/x

1/√3 = (60 – h) / x

x = √3 (60 – h) …….(i)

Del mismo modo, en △ADB,

tan 60° = AB/DB = √3 = 60/x

x = 60/√3 = 34,64 metros

Por lo tanto, 20√3 = √3(60 – h)

h = 40 metros

Por lo tanto, la altura de la lámpara vertical es de 40 m.

(i) Distancia horizontal entre ellos = DB = x

20√3 metros = 3464 metros

(ii) Altura de la lámpara vertical = 40 m.

(iii) Diferencia entre alturas = 60-40 = 20 m.

Pregunta 54. Dos barcos se acercan a un faro en medio del mar desde direcciones opuestas. Los ángulos de elevación de la parte superior del faro desde dos barcos son 30° y 45° respectivamente. Si la distancia entre los dos barcos es de 100 m, encuentra la altura del faro. 

Solución: 

Consideremos que LH es el faro y 

A y B son dos barcos en direcciones opuestas al faro. 

que hacen que el ángulo de elevación de la parte superior L del faro sea de 30° y 45°

Dado que, AB = 100m

Consideremos que LH es h y BH = x,

HA = 100 – x

Ahora en △LAH,

tan 30° = LH/ HA = h/(100 – x) = 1/√3 = h/(100 – x)

x = 100 – √3h …….(yo)

De manera similar, en △LHB,

tan 45° = LH/BH = 1 = h/x

h = x ……(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

h = 100 – √3h 

h + √3h = 100

h(√3+1) = 100

h = 100/(√3+1)

Al racionalizar el término anterior y obtenemos,

h = 50(√3 – 1)

Por lo tanto, la altura del faro es 50(√3 – 1) m.

Pregunta 55. El ángulo de elevación de la cima de una colina al pie de una torre es de 60° y el ángulo de elevación de la cima de la torre desde el pie de la colina es de 30°. Si la torre tiene 50 m de altura, ¿cuál es la altura de la colina?

Solución: 

Consideremos TR la torre, HL la colina y 

los ángulos de elevación de la cima de la colina son 60° y la cima de la torre es 30

Dado, TR = 50 m

Consideremos la altura de la colina HL = h

y RL = x

Ahora en △TRL,

tan 30° = TR/RL = 50/x = 1/√3

x = 50√3 …….(yo)

De manera similar, en △HRL,

tan 60° = HL/RL = h/x

√3 = h/50√3

h = 50√3 x √3 = 150 m

Por lo tanto, la altura de la colina es de 150 m.

Pregunta 56. Se observa un barco en movimiento desde lo alto de un acantilado de 150 m de altura alejándose del acantilado. El ángulo de depresión del bote cambia de 60° a 45° en 2 minutos. Encuentre la velocidad del bote en m/h. 

Solución:

Consideremos la distancia BC como xm y CD como y m.

En △ABC,

tan 60° = AB/BC = 150/x

√3 = 150/x

x = 150/√3 …….(yo)

En △ABD,

tan 45° = AB/BD = 150 / (x + y)

x + y = 150

y = 150 – x

Ahora, usando la ecuación (i) obtenemos,

y = 150 – 150/√3 = 150(√3 – 1) / √3

Se tarda en pasar del punto C al punto D en 2 min = 2/60 = 1/30 h

Ahora, Velocidad = Distancia / Tiempo = y / (1/30)

(150(√3-1) / √3) / (1/√3) = 1902m³ /h

Pregunta 57. Desde lo alto de una torre de 120 m de altura, un hombre observa dos autos en los lados opuestos de la torre y en línea recta con la base de la torre con ángulos de depresión de 60° y 45°. Encuentra la distancia entre los autos. (Tome √3 = 1.732)

Solución:

Consideremos BD la torre y A y C los dos puntos del suelo.

Dado que, BD, la altura de la torre = 120m

∠BAD = 45°, ∠BCD = 60°

bronceado 45° = BD/BA 

1 = 120 / BA

BA = 120 m ————–(i)

tan 60° = BD / BC

√3 = 120/AC

BC = 120/√3 = 120√3 / 3 = 40√3 = 69,28 m —————-(ii)

Distancia entre los dos puntos A y C

CA = BA + BC

120 + 69,28 = 189,28m

Pregunta 58. Dos puntos A y B están del mismo lado de una torre y en la misma línea recta con su base. Los ángulos de depresión de estos puntos desde la parte superior de la torre son 60° y 45° respectivamente. Si la altura de la torre es de 15 m, encuentra la distancia entre estos puntos.  

Solución:

Consideremos TR ser la torre y 

A, B son dos objetos que forman ángulos de elevación con la parte superior de la torre de 45° y 60°.

Dado que, la altura de la Torre TR = 15 m

Consideremos, la distancia b/w B y A = xm

Ahora en △TAR,

tan 45° = 15/AR

1 = 15/AR

AR = 15

De manera similar, en △TBR,

tan 60° = TR/BR = 15/BR

√3 = 15/BR = BR = 15/√3

Ahora AB = x = AR – BR,

15 – 15/√3 = 15 – 15 x 1,732 = 6,34 m

Entonces, la distancia b/w A y B = 6.34 m.

√3/2 = 12,7/BP = BP = 12,7 x 2/√3

PA = 14,68 km

Por lo tanto, la estación de bomberos P está más cerca y su equipo llegará al edificio después de recorrer 14,6 km.

Pregunta 59. Un incendio en un edificio B se informa por teléfono a dos estaciones de bomberos P y Q, separadas por 20 km en un camino recto. P observa que el fuego forma un ángulo de 60° con la carretera y Q observa que forma un ángulo de 45° con la carretera. ¿Qué estación debe enviar su equipo y cuánto tendrá que viajar este equipo?

Solución:

Consideremos que B es el edificio de un incendio y P y Q las estaciones de bomberos que están separadas por 20 km, es decir, PQ = 20 km.

Dado que, P y Q observan los ángulos con B, como 60° y 45°

Ahora dibuja BA ⊥ PQ

Sea AB = h Ahora en la derecha ΔBAQ,

bronceado 45° = h/AQ

1 = h/AQ = AQ = h

Por lo tanto, PA = 20 – h

Del mismo modo, en △BAP,

bronceado 60° = BA/Ap

√3 = h / (20 – h)

h(√3 + 1) = 20√3

Al racionalizar el término anterior y obtenemos,

h = 20√3(√3 – 1) / 2 = 12,7 km

Por lo tanto, AQ = 12,7 km y AP = 20 – 12,7 = 7,3 km

Ahora sen 45° = P/H

1/√2 = h / BQ

BQ = 12,7 x √2 = 12,7 x 1041

BQ = 17,91 km

Análogamente, sen 60° = BA/BP = 12,7 / BP

PA = 12,7 x 2 / √3

PA = 14,68 km.

Por lo tanto, la estación de bomberos P está más cerca y su equipo llegará al edificio después de recorrer 14,6 km.

Pregunta 60. Un hombre en la cubierta de un barco está a 10 m sobre el nivel del agua. Observa que el ángulo de elevación de la cima de un acantilado es de 45° y el ángulo de depresión de la base es de 30°. Calcula la distancia del acantilado desde el barco y la altura del acantilado.

Solución:

Supongamos que M es un hombre en la cubierta MN tal que MN = 10 m, AB es el acantilado

Entonces, desde M el ángulo de elevación de A es 45°

y el ángulo de depresión de B es de 30°

Ahora, dibuja MC || nótese bien

Por lo tanto ∠MBN = ∠CMB

Consideremos AB = h, NB = MC = x y AC = h – 10

Ahora en △AMC,

tan 45° = (h – 10) / x

1 = (h – 10) / x

x = h – 10 …….(i)

De manera similar, en △MBN,

bronceado 30° = MN/BN 

1/√3 = 10/x

x = 10√3 ……(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

h-10 = 10√3

h = 10 + 10√3 = 27,32 

y x = h – 10 = 27,32 – 10 = 17,32

Por tanto, la altura del acantilado es de 27,32 m y la distancia del barco al acantilado es de 17,32 m.

Pregunta 61. Un hombre parado en la cubierta de un barco, que está a 8 m sobre el nivel del agua. Observa que el ángulo de elevación de la cima de una colina es de 60° y el ángulo de depresión de la base de la colina es de 30°. Calcula la distancia de la colina desde el barco y la altura de la colina.

Solución: 

Supongamos que M es el hombre sobre la cubierta MN tal que MN = 8 m y AB es la colina 

Ahora, desde M, el ángulo de elevación de A es de 60° y el ángulo de depresión de B es de 30°.

Dibuja MC || nótese bien

Por lo tanto, ∠MBN = ∠CMB

Supongamos AB = h, NB = MC = x

CA = h – 8

Ahora en △AMC,

tan 60° = AC/MC = h – 8 / x = √3

x = h – 8 / √3 …….(yo)

De manera similar, en △MBN,

tan 30° = MN/NB = 8/x

1/√3 = 8/x 

x = 8√3 …….(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

8√3 = (h – 8)/√3

h = 32

y x = 8√3 o 13.858 m

Por tanto, la altura del cerro = 32 my la distancia entre barcos = 13.858 m.

Pregunta 62. Hay dos templos, uno en cada orilla de un río, uno frente al otro. Un templo tiene 50 m de altura. Desde la parte superior de este templo, los ángulos de depresión de la parte superior y el pie del otro templo son de 30° y 60° respectivamente. Encuentra el ancho del río y la altura del otro templo.

Solución: 

Supongamos que AB y CD son dos templos a orillas del río.

Dado que, AB = 50 m

Ahora, desde A, los ángulos de depresión de la parte superior e inferior de la otra sien son 30° y 60°.

Supongamos CD = h 

Entonces AE = 50 – h, sea BD = EC = x

Ahora en △ABD,

tan 60° = 50/x = √3 = 50/x

x = 50√3/3 …….(yo)

Del mismo modo, en △AEC,

tan 30° = AE/EC = (50 – h)/x

1/√3 = (50 – h)/x

x = √3(50 – h) …….(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

50√3/3 = √3(50 – h)

h = 33,33 m

Por lo tanto, la altura del segundo templo es 33,33 m y el ancho del río = 50√3/3 = 28,23 m.

Pregunta 63. El ángulo de elevación de un avión desde un punto en el suelo es de 45°. Después de un vuelo de 15 segundos, la elevación cambia a 30°. Si el avión vuela a una altura de 3000 metros, encuentre la velocidad del avión.

Solución:

 Supongamos que A es el avión que vuela en el cielo a su altura de 3000 m, es decir, AB = 3000 m

Ahora, P es un punto en el suelo que desde un ángulo de elevación de 45° en A y 

luego, después de un vuelo de 15 segundos en A’, el ángulo de elevación es de 30°.

Supongamos que PB = y y BB’ = xm

Ahora en △APB,

tan 45° = AB/PB = 3000/año

y = 3000 m. …….(i)

De manera similar, en △A’PB’

tan 30° = A’B’/PB’ = 1/√3 = 3000/(x + y)

x + y = 3000√3

x = 3000√3 – y

x = 3000(√3 – 1)

= 2196 metros

Por lo tanto, la distancia de 2196 m se cubre en 15 segundos.

Velocidad del avión = (2196x60x60)/15 = 527040 m/h = 527,04 km/h

Pregunta 64. Se observa un avión que vuela horizontalmente a 1 km del suelo a una altura de 60°. Después de 10 segundos, se observa que su elevación es de 30°. Encuentre la velocidad del avión en km/h.

Solución: 

Consideremos A el avión y AB la altura que mide 1 km y 

forma un ángulo de elevación de 60° desde un punto P en el suelo. 

Ahora, después de moverse 10 segundos de vuelo, el ángulo de elevación se convierte en 30° desde P

Dado que, A’B’ = AB = 1 km = 1000 m

Supongamos que PB = y y BB’ = x

Ahora en ΔAPB,

tan 60° = AB/PB = 1000/y = √3

y = 1000/√3 …….(i)

De manera similar, en △A’PB’,

sen 30° = A’B’/PB’ = 1/√3 = 1000/(x + y)

x + y = 1000√3

x = 1000(√3 – 1)

= 1154,73m

Ahora se recorren 1154,73 m en 10 segundos.

Por lo tanto, velocidad por hora = (1154,73 x 60 x 60)/10 x 1000 = 415,7 km/h.

Pregunta 65. Un árbol parado en un plano horizontal está inclinado hacia el este. En dos puntos situados a una distancia ayb exactamente al oeste de ella, los ángulos de elevación de la parte superior son respectivamente ayp. Demuestre que la altura de la parte superior desde el suelo es ((b – a) tanα tanβ) / (tanα – tanβ).

Solución: 

Consideremos que CD es el árbol que se inclina hacia el este y 

A y B son dos puntos en el oeste que forman ángulos de elevación con la parte superior C del árbol como α y β

A y B están a la distancia de a y b del pie del árbol CD, entonces AD = a, BD = b

Ahora, dibuje CL ⊥ BD produzca y sea DL = x y CL = h

Entonces, en △ CAL,

tan α = h/(a + x)

a + x = h/tanα …..(i)

De manera similar, en △CBL,

tan β = CL/BL = h/(b + x) = h/tan β …..(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

x = h/tanα – α

x = h/bronceadoβ – β

h/tanβ – β = h/tanα – α

h(1/tabβ – 1/tanα) = b – a

h = (β – α) tanα tanβ / (tanα – tanβ)

Por lo tanto demostrado!

Pregunta 66. El ángulo de elevación de una nube estacionaria desde un punto a 2500 m sobre un lago es de 15° y el ángulo de depresión de su reflejo en el lago es de 45°. ¿Cuál es la altura de la nube sobre el nivel del lago? (Usar bronceado 15° = 0,268)

Solución:

Consideremos que C es la nube sobre un lago LK

Ahora, desde un punto, M, que está a 2500 m sobre el nivel del lago, 

el ángulo de elevación de C es de 15° y 

el ángulo de depresión de la reflexión de C en el lago que es R es de 45°.

Supongamos CK = h entonces la reflexión KR = h

BK = ML = 2500 m luego CB = h – 2500

Sea MB = LK = x

Ahora en △CMB,

tan 15° = (h – 2500)/x = x = (h – 2500)/tan 15 …..(i)

Del mismo modo, en △BMR,

bronceado 45° = BR/MB

1 = (h + 2500) / x

x = h + 2500 ……(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

h + 2500 = (h – 2500)/bronceado15

h + 2500 = (h – 2500)/0,2679

h = 4329,67 m

Por lo tanto, la altura de la nube es 4329,67 m.

Pregunta 67. Si el ángulo de elevación de una nube desde un punto h metros sobre un lago es a y el ángulo de depresión de su reflejo en el lago es p, demuestre que la distancia de la nube desde el punto de 2hsecα/tanβ − tanα.

Solución:

Consideremos que C es la nube y desde un punto, M que hm está por encima del nivel del lago 

el ángulo de elevación es α y el ángulo de reflexión de la nube C, es β

Sea LK = MN = x

MC = y, altura de la nube CK = p

TK = h, CN = p – h y KR = p

Ahora en △CMN,

cosα = MN/CM = x/y

x = y cosα ……(i)

y tanα = (p – h)/x = p – h = x tanα

p = h + x tanα ……(ii)

Del mismo modo, en △MNR,

tanβ = NP/MN = (p + h)/x

p + h = x tanβ ……(iii) 

De la ecuación (ii) y (iii), obtenemos

h + x tanα + h = x tanβ

x = 2h/(tanβ – tanα)

y cosα = 2h/(tanβ – tanα)

y = 2h secα / (tanβ – tanα)

Por lo tanto, distancia de la nube desde el punto = 2h secα / (tanβ – tanα)

Pregunta 68. Desde un avión verticalmente sobre una carretera horizontal recta, se observa que los ángulos de depresión de dos hitos consecutivos en lados opuestos del avión son ay p. Demuestre que la altura en millas del avión sobre la carretera está dada por tanα tanβ / tanα + tanβ.

Solución: 

Consideremos que A es un avión y C y D son dos puntos tales que el 

los ángulos de depresión de A son α y β respectivamente y CD = 1 km

Supongamos que la altura del avión sea h

XY || CD

Por lo tanto ∠C = α, ∠D = β

Sea BC = x km y luego BD = (1 – x) km

Ahora en △ACB,

tanα = AB/BC = h/x

x = h/tanα

De manera similar, en △ABD,

tanβ = AB/BD = h/(1 – x)

h = tanβ – x tanβ

= tanβ – h/tanα x tanβ 

h = (tanβ tanα) / (tanα + tanβ) 

Por lo tanto probado

Pregunta 69. PQ es un poste de una altura dada ay AB es una torre a cierta distancia. Si a y p son los ángulos de elevación de B, la parte superior de la torre, en P y Q respectivamente. Encuentra la altura de la torre y su distancia desde el poste.

Solución: 

Supongamos que PQ está publicado y AB es la torre. 

Ahora, los ángulos de elevación de B, desde P y Q son α y β

PQ = α

Supongamos AB = h y distancia entre la torre y el poste = x

relaciones públicas || control de calidad

Por lo tanto, RA = α y BR = h – α

Ahora en △ABQ,

tanα = BA/QA = h/x

h = a tanα ……(i)

Del mismo modo, en △BPR,

tanβ = BR/PR = (h – α) / x

x tanβ = h – α ……(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

x(tanα – tanβ) = α

x = α / (tanα – tanβ)

y h = x tanα = α / (tanα – tanβ) x tanα 

= α tanα / (tanα – tanβ)

Por lo tanto, la altura de la torre es α tanα / (tanα – tanβ) y la distancia entre ellos es α / (tanα – tanβ)

Pregunta 70. Una escalera descansa contra un muro en un ángulo con la horizontal. Su pie se aleja de la pared una distancia tal que se desliza una distancia b hacia abajo de la pared formando un ángulo p con la horizontal. Demostrar que a / b = cosα − cosβ / sinβ − sinα

Solución:

 De la figura concluimos que

AC y ED es la misma escalera, entonces AC = ED

Ahora cosα = CB/AC

De manera similar, cosβ = DB/ED = (α + CB)/AC

senα = AB/AC = b + EB / AC

senβ = EB/ED = EB/AC

Ahora resolvemos RHS = cosα − cosβ / sinβ − sinα

= (CB/AC – ((α + CB)/AC)) / (EB/AC – (b + EB / AC))

= (CB – a – CB / EB – b – EB) 

= a/b

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 71. Una torre subtiende un ángulo en el punto A en el plano de su base y el ángulo de depresión del pie de la torre en un punto b metros justo encima de A es p. Demuestre que la altura de la torre es b tan α cot β.

Solución:

Consideremos que TR es la torre que subtiende el ángulo α en un punto A del mismo plano

Dado que, AB = b y el ángulo de depresión de R desde B es β

BX || Arkansas

Por lo tanto, ∠ARB = ∠XBR = β

Supongamos la altura de la torre TR = h

y AR = x

Ahora en △ATR,

tanα = h/x 

x = h/tanα …….(i)

Del mismo modo, en △ABR,

tanβ = AB/AR = b/x 

x = b/tanβ …….(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

h/tanα = b/tanβ

h = b tanα cotβ

Por lo tanto, la altura de la torre es b tanα cotβ.

Por lo tanto probado

Pregunta 72. Un observador de 1,5 m de altura está a 28,5 m de una torre de 30 m de altura. Determine el ángulo de elevación de la parte superior de la torre desde su ojo.

Solución: 

Supongamos que TR es la torre y CD es el observador. 

Dado que CD está a 28,5 m de la torre TR

Altura de la torre TR = 30 m

y altura del observador CD = 1,5 m

Supongamos que θ es el ángulo de elevación de la parte superior de la torre

desde el ojo del observador CD,

Ahora, dibuja CE || DR

Por lo tanto, CE = DR = 28,5 m y ER = CD = 1,5 m

Por lo tanto, TE = 30 – 1,5 = 28,5 m

Ahora en △TCE,

tanθ – TE/CE = 28,5/28,5 = 1 = tan 45°

Por lo tanto, el ángulo de elevación de la parte superior de la torre desde su ojo es de 45°.

Pregunta 73. Un carpintero fabrica taburetes para electricistas con una parte superior cuadrada de 0,5 m de lado ya una altura de 1,5 m sobre el suelo. Además, cada pata está inclinada en un ángulo de 60° con respecto al suelo. Encuentre la longitud de cada pierna y también la longitud de dos pasos que se colocarán a la misma distancia.

Solución: 

Supongamos que AC es la pata del taburete cuya parte superior tiene forma cuadrada de lado AB 

Dado que, AB = 0,5 m

Además, la altura del taburete AL = 1,5 m, y el ángulo de inclinación de la pata del taburete = 60°

Supongamos AC = xm

Ahora en △ACL,

sen 60° = 1,5/x

√3/2 = 3/2x

x = 1,732 metros

Por lo tanto, la longitud de la pierna = 1,732 m

Hay dos pasos a igual distancia,

Distancia entre dos escalones = 1,5/3 = 0,5 m

De la figura dada 

RS || PQ || CD

Por lo tanto ∠R = ∠P = ∠C = 60

En △APM,

tan 60° = AN/RN = √3 = 0,5/RN

RN = 0,288 m 

Por lo tanto, RS = 0,5 + 0,2886 + 0,2886 = 1,077 m.

Pregunta 74. Un niño está parado en el suelo y vuela una cometa con 100 m de cuerda a una altura de 30°. Otro niño está parado en el techo de un edificio de 10 m de altura y está volando su cometa a una altura de 45°. Ambos niños están en lados opuestos de ambas cometas. Encuentra la longitud de la cuerda que debe tener el segundo niño para que las dos cometas se encuentren.

Solución:

Consideremos que K es la cometa, A y B son dos niños que vuelan cometas. 

Dado que el niño B está parado sobre un edificio de 10 m de altura y la cuerda AK de la cometa del niño A mide 100 m 

Ahora supongamos que h es la altura de la cometa y x es la longitud de la cuerda de la cometa del segundo niño B

Entonces, KD = (h – 10) m

Ahora en △AKT,

sen 30° = h/100 = 1/2 = h/100

h = 50 metros

De manera similar, en △KDB,

sen 45° = KD/KB = 1/√2 = 40/x

x = 45,6560

Por lo tanto, la longitud de una cuerda de la segunda cometa es 40√2 o 45,656 m.

Pregunta 75. Desde lo alto de un faro, se observa que los ángulos de depresión de dos barcos en los lados opuestos del mismo son α y β. Si la altura del faro es h metros y la línea que une los barcos pasa por el pie del faro, demuestre que la distancia entre los barcos es h(tanα + tanβ) / tanαtanβ metros.

Solución: 

Supongamos que LH es el faro y A y B son dos barcos que hacen 

los ángulos de elevación con L son α y β

Altura del faro = hm

Supongamos AH = x y BH = y

Ahora en △LAH,

tanα = LH/AH = h/x

x = h/tanα …..(i)

De manera similar, en △LBH,

tanβ = LH/HB = h/y

y = h/tanβ ……(ii)

AB = x + y = h/tanα + h/tanβ

h(1/tanα + 1/tanβ) m

AB = h(tanα + tanβ) / tanα tanβ m.

Por lo tanto probado

Pregunta 76. Desde lo alto de una torre de h metro de altura, los ángulos de depresión de dos objetos, que están en línea con el pie de la torre, son a y β (β > α). Encuentra la distancia entre los dos objetos. 

Solución:

Consideremos que la distancia entre dos objetos es xm y CD = ym

Dado que, ∠BAX = α = ∠ABD [ángulo alterno]

∠CAY = β = ∠ACD [ángulo alterno]

y la altura de la torre, AD = hm 

Ahora, en ΔACD,

tanβ = DA/CD = h/año

y = h/tanβ …..(i)

En △ABD,

tanα = AD/BD = AD/BC+CD

x + y = h/tanα      

y = h/tanα – x …..(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

h/tanβ = h/tanα – x

x = h/tanα – h/tanβ

= h(1/tanα – 1/tanβ) = h(cotα – cotβ)

Pregunta 77. Una ventana de una casa está h metro sobre el suelo. Desde la ventana, se encuentra que los ángulos de elevación y depresión de la parte superior e inferior de otra casa situada en el lado opuesto del carril son α y β respectivamente. Demostrar que la altura de la casa es h(1 + tan α tan β) metros.

Solución:

Consideremos la altura de la otra casa = OQ = H y OB = MW = xm

Dado que, altura de la primera casa = WB = h = MO

y ∠QWM = α, ∠OWM = β = ∠WOB [ángulo alterno]

Ahora, en ΔWOB,

tanβ = WB/OB = h/x

x = h/tanβ ……..(i)

En △QWM,

tanα = QM/WM = OQ – MO / WM

tanα = (H – h)/x

x = (H – h)/tanα ……..(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

h/tanβ = (H – h)/tanα

h tanα = (H – h) tanβ 

H = h(tanα + tanβ / tanβ)

= h(1 + tanα.cotβ)

Por lo tanto, la altura requerida de la otra casa es h(1 + tanα.cotβ). 

Por lo tanto probado

Pregunta 78. La ventana inferior de una casa está a una altura de 2 m sobre el suelo y su ventana superior está a 4 m verticalmente por encima de la ventana inferior. En un instante determinado, se observa que los ángulos de elevación de un globo desde estas ventanas son de 60° y 30° respectivamente. Encuentra la altura del globo sobre el suelo.

Solución: 

Consideremos que la altura del globo desde el suelo es H.

A y OP = W2R = W1Q = x

Ahora, dado que, la altura de la ventana inferior desde arriba del suelo = w2P = 2 m = O

Altura de la ventana superior desde arriba de la ventana inferior = W1W2 = 4 m = QR

∴ BQ = OB – (QR + RO)

BQ = H – (4 + 2)

BQ = H – 6

y ∠BW1Q = 30°

∠BW2R = 60°

Ahora en △BW2R,

tan 60° = BR/W2R = (BQ + QR)/x

√3 = (H – 6) + 4 / x

x = (H – 2)/√3 …….(yo)

Ahora en △BW1Q,

tan 30° = BQ/W1Q = (H – 6)/x = 1/√3

x = √3(H – 6) …….(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

√3(H – 6) = (H – 2)/√3

Ahora resolviendo la ecuación anterior, obtenemos

alto = 8

Por lo tanto, la altura requerida del globo desde el suelo es de 8 m.