Pregunta 12. Demuestra que los puntos (a, b), (a1, b1) y (a – a1, b – b1) son colineales si ab1 = a1b.
Solución:
Como sabemos que 3 puntos son colineales el area del triangulo formado por ellos es cero
Entonces, supongamos que ABC es un triángulo cuyos vértices A(a, b), B(a1, b1) y C(a – a1, b – b1)
Área del triángulo = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2 [a(b1 – b + b1) + a1(b – b1 – b) + (a – a1)(b – b1)]
= 1/2 [2b1a – b – a1b1 + ab – ab1 – a1b + a1b1]
= 1/2 (ab1 – a1b)
los puntos son colineales
Entonces, Área de ∆ABC = 0
1/2(ab1 – a1b) = 0
⇒ ab1– a1b = 0
⇒ ab1 = a1b
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 13. Si los vértices de un triángulo son (1, -3), (4, p) y (-9, 7) y su área es de 15 unidades cuadradas, encuentre los valores de p.
Solución:
Supongamos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A(1, -3), B(4, p) y C(-9, 7)
Se da que, área del triángulo = 15 unidades cuadradas
Entonces, Área de ∆ABC = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
15 = 1/2[1(p – 7) + 4(7 + 3) + (-9)(-3 – p)]
15 = 1/2[p – 7 + 40 + 27 + 9p]
15 = 1/2[10p + 60] = 5p + 30
5p + 30 = 15
5p = 15 – 30 = -15
p = -15/5 = -3
Por lo tanto, el valor de p es -3
Pregunta 14. Si (x, y) están en la línea que une los dos puntos (1, -3) y (-4, 2), demuestre que x + y + 2 = 0.
Solución:
Dado que el punto (x, y) se encuentra en la recta que une los dos puntos (1, -3) y (-4, 2)
Entonces, los puntos (x, y), (1, -3) y (-4, 2) son colineales
Ahora, supongamos que los puntos (x, y) (1, -3) y (-4, 2) son los vértices de un triángulo ABC,
Entonces, Área de ∆ABC = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2[x(-3 – 2) + 1(2 – y) + (-4)(y + 3)]
= 1/2[-5x + 2 – y – 4y – 12]
= 1/2[-5x – 5y – 10]
= -5/2(x + y + 2)
Como sabemos que los puntos son colineales
Entonces, el área de ∆ABC = 0
⇒ =5/2 (x + y + 2) = 0
⇒ x + y + 2 = 0
Pregunta 15. Encuentra el valor de k si los puntos (k, 3), (6, -2) y (-3, 4) son colineales.
Solución:
Supongamos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A(k, 3), B(6, -2) y C(-3, 4)
Asi que,
Área de ∆ABC = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2[k(-2 – 4) + 6(4 – 3) + (-3)(3 + 2)]
= 1/2[-6k + 6 * 1 + (-3 * 5)]
= 1/2[-6k + 6 – 15]
= 1/2[-6k – 9]
= -3/2 [2k + 3]
Se da que los puntos son colineales
Entonces, el área de ∆ABC = 0
-3/2 [2k + 3] = 0
⇒2k = -3 ⇒k = -3/2
Por lo tanto, el valor de k es-3/2
Pregunta 16. Encuentra el valor de k, si los puntos A (7, -2), B (5, 1) y C (3, 2k) son colineales.
Solución:
Supongamos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A (7, -2), B (5, 1) y C (3, 2k)
Asi que,
Área de ∆ABC = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2 [7(1 – 2k) + 5(2k + 2) + 3(-2 – 1)]
= 1/2 [7 – 14k + 10k + 10 – 6 – 3]
= 1/2 [8 – 4k] = 4 – 2k
Se da que los puntos son colineales
Entonces, el área de ∆ABC = 0
⇒ 4 – 2k = 0
⇒ 2k = 4
⇒ k = 2
Por lo tanto, el valor de k es 2
Pregunta 17. Si el punto P (m, 3) se encuentra en el segmento de línea que une los puntos A (−2/5, 6) y B (2, 8), encuentra el valor de m.
Solución:
Se sabe que los puntos P(m, 3) se encuentran en el segmento de recta que une los puntos A (−2/5, 6) y B (2, 8)
Entonces, los puntos A, P, B son colineales
Ahora el área del área ∆APB = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2[-2/5(3 – 8) + m(8 – 6) + 2(6 – 3)]
= 1/2[-2/5 * (-5) + 2m + 2 * 3]
= 1/2[2 + 2m + 6]
= 1/2 [2m + 8]
= metro + 4
Como sabemos que los puntos son colineales
Entonces, el área de ∆APB = 0
m + 4 = 0
⇒ m = -4
Por lo tanto, el valor de m es -4
Pregunta 18. Si R (x, y) es un punto en el segmento de línea que une los puntos P (a, b) y Q (b, a), entonces demuestre que x + y = a + b.
Solución:
Se sabe que el punto R (x, y) se encuentra en el segmento de recta que une los puntos P (a, b) y Q (b, a)
Entonces, los puntos R, P, Q son colineales
Ahora área de ∆PRQ = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2 [a(y – a) + x(a – b) + b(b – y)]
= 1/2 [ay – a 2 + ax – bx + b 2 – por]
= 1/2 [x(a – b) + y(a – b) – (a 2 – b 2 )]
= 1/2 [x(a – b) + y(a – b) – (a + b)(a – b)]
= 1/2 (a – b)(x + y – a – b) = 0
⇒x + y – a – b = 0
⇒x + y = a + b
Por lo tanto, c + y = a + b
Pregunta 19. Encuentra el valor de k, si los puntos A (8, 1), B (3, -4) y C (2, k) son colineales.
Solución:
Supongamos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A (8, 1), B (3, -4) y C (2, k)
Asi que,
Área de ∆ABC = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2[8(-4 – k) + 3(k – 1) + 2(1 + 4)]
= 1/2[-32 – 8k + 3k – 3 + 10]
= 1/2 [-25 – 5k]
Se da que los puntos son colineales
Entonces, el área de ∆ABC = 0
⇒ 1/2[-25 -5k] = 0
⇒ 1/2 × (-5)(5 + k) = 0
⇒ 5 + k = 0
⇒ k = -5
Por lo tanto, el valor de m es -5
Pregunta 20. Encuentra el valor de a para el cual el área del triángulo formado por los puntos A (a, 2a), B (-2, 6) y C (3, 1) es de 10 unidades cuadradas.
Solución:
Se da que, ABC es un triángulo cuyos vértices son A(a, 2a), B(-2, 6), y C(3, 1)
Entonces, Área de ∆ABC = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
= 1/2[a(6 – 1) + (-2)(1 – 2a) + 3(2a – 6)]
= 1/2[5a – 2 + 4a + 6a – 18]
= 1/2[15a – 20]
Se da que el área de ∆ABC = 10 unidades cuadradas
Asi que,
1/2[15a – 20] = 10
⇒ 15a – 20 = 20
⇒ 15a = 20 + 20 = 40
⇒a = 40/15 = 8/3
Por lo tanto, el valor de a es 8/3
Pregunta 21. Si a ≠ b ≠ 0, probar que los puntos (a, a 2 ), (b, b 2 ), (0, 0) nunca son colineales.
Solución:
Supongamos que A(a, a 2 ), B(b, b 2 ) y C(0, 0) sean las coordenadas de los puntos dados.
Como sabemos que el área de un triángulo que tiene vértices (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) es
= 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
Entonces área de ∆ABC = 1/2[a(b 2 – 0) + b(0 – a 2 ) + 0(a 2 – b 2 )]
= 1/2[ab 2 – a 2 b]
= 1/2[ab(b – a)] ≠ 0
Por lo tanto, a ≠ b ≠ 0
Por tanto, el área del triángulo formado por los puntos (a, a 2 ), (b, b 2 ), (0, 0) no es cero,
entonces los puntos dados no son colineales
Pregunta 22. El área de un triángulo es de 5 unidades cuadradas. Dos de sus vértices están en (2, 1) y (3, -2). Si el tercer vértice es (7/2, y), encuentra y.
Solución:
Supongamos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A(2, 1), B(3, -2) y C (7/2, y)
Además, el área de ∆ABC = 5 unidades cuadradas
Asi que,
Área de ∆ABC = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + (y 3 – y 1 )x 2 + x 3 (y 1 – y 2 )]
⇒ ±5 = 1/2[2(-2 – y) + 3(y – 1) + 7/2(1 + 2)]
⇒ ±10 = [-4 – 2 años + 3 años – 3 + 21/2]
⇒ ±10 = [y – 7 + 21/2]
⇒ ±10 = (2y – 14 + 21)/2
⇒ 2y + 7 = ±20
⇒ 2y = 20 – 7 o 2y = -20 – 7
⇒ y = 13/2 o y = -27/2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA