Pregunta 19. ¿Cuántas monedas de 1,75 cm de diámetro y 2 mm de espesor se deben fundir para formar un paralelepípedo de 11 cm x 10 cm x 7 cm?
Solución:
Diámetro de la moneda = 1,75 cm
Radio = 1,75/2 = 0,875 cm
Grosor o altura = 2 mm = 0,2 cm
Volumen del cilindro = πr 2 h
= π 0,875 2 × 0,2
Volumen del paralelepípedo = 11 × 10 × 7 cm 3
Sea n el número de monedas necesarias para fundir.
Volumen del cuboide = n × Volumen del cilindro
11 × 10 × 7 = π 0,875 2 × 0,2 xn
11 × 10 × 7 = 22/7 × 0,875 2 × 0,2 × n
n = 1600
Por lo tanto, la cantidad de monedas requeridas son 1600
Pregunta 20. El área superficial de una esfera metálica sólida es de 616 cm 2 . Se funde y se refunde en un cono de 28 cm de altura. Encuentre el diámetro de la base del cono así formado.
Solución:
Radio de esfera = r cm
Área de superficie de la esfera metálica sólida = 616 cm 3
Área de la superficie de la esfera = 4πr 2
4πr2 = 616
r2 = 49
r = 7
Radio de la esfera metálica sólida = 7 cm
Sea el radio del cono x cm
Volumen del cono = 1/3 πx 2 h
= 1/3 πx 2 (28) ….. (i)
Volumen de la esfera = 4/3 πr 3
= 4/3 π7 3 ………. (ii)
(i) y (ii) son iguales
1/3 πx 2 (28) = 4/3 π7 3
x 2 (28) = 4 x 7 3
× 2 = 49
r = 7
Diámetro del cono = 7 x 2 = 14 cm
Por lo tanto, el diámetro de la base del cono es de 14 cm.
Pregunta 21. Un balde cilíndrico, de 32 cm de alto y 18 cm de radio de la base, se llena con arena. Este balde se vacía en el suelo y se forma un montón cónico de arena. Si la altura del montón cónico es de 24 cm, encuentre el radio y la altura inclinada del montón.
Solución:
Altura del cubo cilíndrico = 32 cm
Radio del balde cilíndrico = 18 cm
Volumen del cilindro = π × r 2 × h
Volumen del cono = 1/3 π × r 2 × h
Volumen del montón cónico = Volumen del balde cilíndrico
1/3 π × r 2 × 24 = π × 18 2 × 32
r2 = 18 2 x 4
r = 18 x 2 = 36 cm
Deje que la altura inclinada del montón cónico sea l cm
l = √(h 2 + r 2 )
l = √(24 2 + 36 2 ) = √1872
largo = 43,26 cm
Por lo tanto, el radio = 36 cm altura inclinada del montón cónico = 43,26 cm
Pregunta 22. Se funde una esfera metálica sólida de 5,6 cm de radio y se forman conos sólidos de 2,8 cm de radio y 3,2 cm de altura cada uno. Encuentre el número de tales conos formados.
Solución:
Sea n el número de conos
Radio de esfera metálica = 5,6 cm
Radio del cono = 2,8 cm
Altura del cono = 3,2 cm
Volumen de una esfera = 4/3 π × r 3
= 4/3 π × 5,6 3
Volumen del cono = 1/3 π × r 2 × h
= 1/3 π × 2,8 2 × 3,2
Volumen de esfera = n * Volumen de cada cono
Número de conos (n) = Volumen de la esfera/ Volumen del cono
n = 4/3 π × 5,6 3 /(1/3 π × 2,8 2 × 3,2)
n = (4 x 5,6 3 )/(2,8 2 × 3,2)
norte = 28
Por lo tanto, se pueden formar 28 de estos conos.
Pregunta 23. Un paralelepípedo sólido de hierro con dimensiones de 53 cm x 40 cm x 15 cm se funde y se refunde en un tubo cilíndrico. Los diámetros exterior e interior de la tubería son de 8 cm y 7 cm respectivamente. Encuentre la longitud de la tubería.
Solución:
Volumen del cuboide = (53 x 40 x 15) cm 3
Radio interior del tubo = 7/2 cm = r
Radio exterior del tubo = 8/2 = 4 cm = R
Sea h la longitud de la tubería
Volumen de hierro en la tubería = (Volumen externo) – (Volumen interno)
= πR 2 h – πr 2 h
= πh(R 2 – r 2 )
= πh(R – r) (R + r)
= π(4 – 7/2) (4 + 7/2) xh
= π(1/2) (15/2) xh
Volumen de hierro en la tubería = volumen de hierro en el cuboide
π(1/2) (15/2) xh = 53 x 40 x 15
altura = (53 x 40 x 15 x 7/22 x 2/15 x 2) cm
altura = 2698,18 cm
Por lo tanto, la longitud del tubo es de 2698,2 cm.
Pregunta 24. Los diámetros de las superficies interna y externa de una capa esférica hueca son 6 cm y 10 cm respectivamente. Si se derrite y se refunde en un cilindro sólido de 14 cm de diámetro, encuentre la altura del cilindro.
Solución:
Diámetro interno de la capa esférica hueca = 6 cm
Radio interno de la capa esférica hueca = 6/2 = 3 cm = r
Diámetro externo de la capa esférica hueca = 10 cm
Diámetro externo de capa esférica hueca = 10/2 = 5 cm = R
Diámetro del cilindro = 14 cm
Radio del cilindro = 14/2 = 7 cm
Deje que la altura del cilindro se tome como h cm
Volumen del cilindro = Volumen de la capa esférica
π × r 2 × h = 4/3 π × (R 3 – r 3 )
π × 7 2 × h = 4/3 π × (5 3 – 3 3 )
h = 4/3 x 2
alto = 8/3 cm
Por lo tanto, la altura del cilindro = 8/3 cm
Pregunta 25. Una esfera hueca de diámetros interno y externo de 4 cm y 8 cm respectivamente se funde en un cono de diámetro base de 8 cm. ¿Calcular la altura del cono?
Solución:
Diámetro interno de la esfera hueca = 4 cm
Radio interno de la esfera hueca = 2 cm
Diámetro exterior de la esfera hueca = 8 cm
Radio exterior de la esfera hueca = 4 cm
Volumen de la esfera hueca = 4/3 π × (4 3 – 2 3 ) … (i)
Diámetro del cono = 8 cm
Radio del cono = 4 cm
Sea la altura del cono x cm
Volumen del cono =1/3 π × 4 2 × (x) ….. (ii)
(i) y (ii) son iguales
4/3 π × (4 3 – 2 3 ) = 1/3 π × 4 2 × h
4 x (64 – 8) = 16 xh
h = 14
Por lo tanto, la altura del cono = 14 cm
Pregunta 26 . Una esfera hueca de radios interno y externo de 2 cm y 4 cm respectivamente se funde en un cono de radio base de 4 cm. Encuentra la altura y la altura inclinada del cono.
Solución:
El radio interno de la esfera hueca = 2 cm
El radio externo de la esfera hueca = 4 cm
Volumen de la esfera hueca = 4/3 π × (4 3 – 2 3 ) … (i)
El radio de la base del cono = 4 cm
Sea la altura del cono x cm
Volumen del cono = 1/3 π × 4 2 × h ….. (ii)
4/3 π × (4 3 – 2 3 ) = 1/3 π × 4 2 × h
4 x (64 – 8) = 16 xh
h = 14
Sea l la altura inclinada del cono
l = √(h 2 + r 2 )
l = √(14 2 + 4 2 ) = √212
largo = 14,56 cm
Por lo tanto, la altura = 14 cm y la altura inclinada = 14,56 cm
Pregunta 27. Una bola esférica de 3 cm de radio se funde y se refunde en tres bolas esféricas. Los radios de dos de las bolas son de 1,5 cm y 2 cm. Encuentra el diámetro de la tercera bola.
Solución:
Radio de la bola esférica = 3 cm
Volumen de la esfera = 4/3 πr 3
Volumen = 4/3 π3 3
Volumen de la primera bola = 4/3 π 1.5 3
Volumen de la segunda bola = 4/3 π2 3
Sea el radio de la tercera bola = r cm
Volumen de la tercera bola = 4/3 πr 3
El volumen de la bola esférica es igual a la suma de los volúmenes de tres bolas
4/3 π3 3 = 4/3 π 1.5 3 + 4/3 π2 3 + 4/3 πr 3
(3) 3 = (2) 3 + (1.5) 3 + r 3
r 3 = 3 3 – 2 3 – 1,5 3 cm 3
r3 = 15,6 cm3
r = (15.625) 1/ 3cm
r = 2,5 cm
Diámetro = 2 x radio = 2 x 2,5 cm
= 5,0 cm.
Por lo tanto, el diámetro de la tercera bola = 5 cm
Pregunta 28. Un camino de 2 m de ancho rodea un estanque circular de 40 m de diámetro. ¿Cuántos metros cúbicos de grava se requieren para socavar el camino a una profundidad de 20 cm?
Solución:
Diámetro del estanque circular = 40 m
Radio del estanque = 40/2 = 20 m = r
Espesor (ancho del camino) = 2 m
Altura = 20 cm = 0,2 m
Espesor (t) = R – r
2 = R – 20
R = 22 metros
Volumen del cilindro hueco = π (R 2 – r 2 ) × h
= π (22 2 – 20 2 ) × 0,2
= 52,8 m 3
Por lo tanto, el volumen del cilindro hueco = 52,8 m 3
Pregunta 29. Se excava un pozo de 16 m de profundidad con un diámetro de 3,5 m y la tierra se esparce uniformemente para formar una plataforma de 27,5 m por 7 m. ¿Encontrar la altura de la plataforma?
Solución:
Radio(r) del cilindro = 3,5/2 m = 1,75 m
Profundidad del pozo o altura del cilindro (h) = 16 m
Volumen del cilindro= πr 2 h
= π × 1,75 2 × 16
La longitud de la plataforma (l) = 27,5 m
Ancho de la plataforma (b) =7 m
Sea la altura de la plataforma xm
Volumen del paralelepípedo = l×b×h
= 27,5×7×(x)
Volumen del cilindro = Volumen del cuboide
π × 1,75 × 1,75 × 16 = 27,5 × 7 × x
x = 0,8 m = 80 cm
Por lo tanto, la altura de la plataforma = 80 cm.
Pregunta 30. Un pozo de 2 m de diámetro se excava a 14 m de profundidad. La tierra que se extrae se reparte uniformemente a su alrededor para formar un terraplén de 40 cm de altura. ¿Encontrar el ancho del terraplén?
Solución:
Radio del cilindro circular (r) = 2/2 m = 1 m
Altura del pozo (h) = 14 m
Volumen del cilindro circular sólido = π r 2 h
= π × 1 2 × 14 …. (i)
La altura del terraplén = 40 cm = 0,4 m
Sea el ancho del terraplén (x) m.
Radio exterior = (1 + x)m
Radio interior = 1 m
Volumen del terraplén = π × r 2 × h
= π × [(1 + x) 2 – (1) 2 ]× 0.4 ….. (ii)
(i) y (ii) son iguales
π × 1 2 × 14 = π × [(1 + x) 2 – (1) 2 ] x 0,4
14/0,4 = 1 + x 2 + 2x – 1
35 = x2 + 2x
x2 + 2x – 35 = 0
(x + 7) (x – 5) = 0
x = 5 o -7
Por lo tanto, el ancho del terraplén = 5 m.
Pregunta 31. Se excava un pozo con radio interior de 4 m y 14 m de profundidad. La tierra que se ha extraído se ha esparcido uniformemente alrededor de un ancho de 3 m para formar un terraplén. ¿Encontrar la altura del terraplén?
Solución:
Radio interior del pozo = 4 m
Profundidad del pozo = 14 m
Volumen del cilindro = π r 2 h
= π × 4 2 × 14 …. (i)
Ancho del terraplén = 3 m
Radio exterior del pozo = 3 + 4 m = 7 m
Volumen del terraplén hueco = π (R 2 – r 2 ) × h
= π × (7 2 – 4 2 ) × h …… (ii)
(i) y (ii) son iguales
π × 4 2 × 14 = π × (7 2 – 4 2 ) × h
h = 4 2 × 14 / (33)
h = 6,78 metros
Por tanto, la altura del terraplén = 6,78 m.
Pregunta 32. Se excava un pozo de 3 m de diámetro hasta 14 m de profundidad. La tierra que se ha extraído se ha esparcido uniformemente a su alrededor hasta un ancho de 4 m para formar un terraplén. Encuentre la altura del terraplén.
Solución:
Diámetro del pozo = 3 m
Radio del pozo = 3/2 m = 1,5 m
Profundidad del pozo (h) = 14 m
Ancho del terraplén (espesor) = 4 m
Radio de la superficie exterior del terraplén = (4 + 1,5) m = 5,5 m
Volumen del terraplén = π(R 2 – r 2 ) × h
= π(5.5 2 – 1.5 2 ) × h ….. (i)
Volumen de tierra excavado = π × r 2 × h
= π × (3/2) 2 × 14 ….. (ii)
(i) y (ii) son iguales
π(5.5 2 – 1.5 2 ) × h = π × (3/2) 2 × 14
(5,5+1,5)(5,5-1,5) xh = 9 × 14/ 4
h = 9 × 14/ (4 × 28)
h = 9/8 m
= 1.125m
Por lo tanto, la altura del terraplén =1.125 m
Pregunta 33. Encuentra el volumen del cono circular recto más grande que se puede cortar de un cubo cuya arista mide 9 cm.
Solución:
El lado del cubo = 9 cm
Diámetro del cono = Lado del cubo
2r = 9
Radio del cono = 9/2 cm = 4,5 cm
altura del cono = lado del cubo
Altura del cono (h) = 9 cm
Volumen del cono más grande = 1/3 π × r 2 × h
= 1/3 π × 4,5 2 × 9
= 190,93 cm 3
Por tanto, el volumen del cono más grande que cabe en el cubo tiene un volumen de 190,93 cm 3
Pregunta 34. Un balde cilíndrico, de 32 cm de alto y 18 cm de radio de la base, se llena con arena. Este balde se vacía en el suelo y se forma un montón cónico de arena. Si la altura del montón cónico es de 24 cm, encuentre el radio y la altura inclinada del montón.
Solución:
Altura del cubo cilíndrico = 32 cm
Radio del balde cilíndrico = 18 cm
Altura del montón cónico = 24 cm
Volumen del cilindro = π × r 2 × h
Volumen del cono = 1/3 π × r 2 × h
Volumen del montón cónico = Volumen del balde cilíndrico
1/3 π × r 2 × 24 = π × 18 2 × 32
r 2 = 18 2 X 4
r = 18 × 2 = 36 cm
Altura inclinada (l) = √(h 2 + r 2 )
l = √(24 2 + 36 2 ) = √576+1296
= √1872
= 43,26 cm
Por lo tanto, el radio = 36 cm y la altura inclinada = 43,26 cm
Pregunta 35. El agua de lluvia, que cae sobre una superficie rectangular plana de 6 m de largo y 4 m de ancho, se transfiere a un recipiente cilíndrico de radio interno de 20 cm. ¿Cuál será la altura del agua en el recipiente cilíndrico si ha caído una lluvia de 1 cm?
Solución:
Longitud de la superficie rectangular = 6 m = 600 cm
Ancho de la superficie rectangular = 4 m = 400 cm
Altura de la lluvia = 1 cm
Volumen de la superficie rectangular = largo * ancho * alto
= 600×400× 1cm3
= 240000 cm3 …………… .. (yo)
Radio del recipiente cilíndrico = 20 cm
Sea la altura del recipiente cilíndrico h cm
Volumen del recipiente cilíndrico = π × r 2 × h
= π × 20 2 × h ……….. (ii)
(i) es igual a (ii)
240000 = π × 20 2 × h
alto = 190,9 cm
Por lo tanto, la altura del recipiente cilíndrico = 191 cm
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Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA