Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Áreas de superficie y volúmenes – Ejercicio 16.1 | conjunto 2

Pregunta 19. ¿Cuántas monedas de 1,75 cm de diámetro y 2 mm de espesor se deben fundir para formar un paralelepípedo de 11 cm x 10 cm x 7 cm? 

Solución:

Diámetro de la moneda = 1,75 cm

Radio = 1,75/2 = 0,875 cm

Grosor o altura = 2 mm = 0,2 cm

Volumen del cilindro = πr 2 h

                                    = π 0,875 2  × 0,2

Volumen del paralelepípedo = 11 × 10 × 7 cm 3

Sea n el número de monedas necesarias para fundir.

Volumen del cuboide = n × Volumen del cilindro

11 × 10 × 7 = π 0,875 2  × 0,2 xn

11 × 10 × 7 = 22/7 × 0,875 2  × 0,2 × n

n = 1600

Por lo tanto, la cantidad de monedas requeridas son 1600

Pregunta 20. El área superficial de una esfera metálica sólida es de 616 cm 2 . Se funde y se refunde en un cono de 28 cm de altura. Encuentre el diámetro de la base del cono así formado.  

Solución:

Radio de esfera = r cm

Área de superficie de la esfera metálica sólida = 616 cm 3

Área de la superficie de la esfera = 4πr 2

4πr2 =  616

r2  = 49

r = 7

Radio de la esfera metálica sólida = 7 cm

Sea el radio del cono x cm

Volumen del cono = 1/3 πx 2 h

                                = 1/3 πx (28) ….. (i)

Volumen de la esfera = 4/3 πr 3

                                   = 4/3 π7 3   ………. (ii)

(i) y (ii) son iguales

1/3 πx (28) = 4/3 π7 3

x (28) = 4 x 7 3

× = 49

r = 7

Diámetro del cono = 7 x 2 = 14 cm

Por lo tanto, el diámetro de la base del cono es de 14 cm.

Pregunta 21. Un balde cilíndrico, de 32 cm de alto y 18 cm de radio de la base, se llena con arena. Este balde se vacía en el suelo y se forma un montón cónico de arena. Si la altura del montón cónico es de 24 cm, encuentre el radio y la altura inclinada del montón.

Solución:

Altura del cubo cilíndrico = 32 cm

Radio del balde cilíndrico = 18 cm

Volumen del cilindro = π × r 2  × h

Volumen del cono = 1/3 π × r 2  × h

Volumen del montón cónico = Volumen del balde cilíndrico

1/3 π × r 2  × 24 = π × 18 2  × 32

r2 =  18 2  x 4

r = 18 x 2 = 36 cm

Deje que la altura inclinada del montón cónico sea l cm

l = √(h 2 + r 2 )

l = √(24 2 + 36 2 ) = √1872

largo = 43,26 cm

Por lo tanto, el radio = 36 cm altura inclinada del montón cónico = 43,26 cm 

Pregunta 22. Se funde una esfera metálica sólida de 5,6 cm de radio y se forman conos sólidos de 2,8 cm de radio y 3,2 cm de altura cada uno. Encuentre el número de tales conos formados.

Solución:

Sea n el número de conos

Radio de esfera metálica = 5,6 cm

Radio del cono = 2,8 cm

Altura del cono = 3,2 cm

Volumen de una esfera = 4/3 π × r 3

                                 = 4/3 π × 5,6 3

Volumen del cono = 1/3 π × r 2  × h

                          = 1/3 π × 2,8 2  × 3,2

Volumen de esfera = n * Volumen de cada cono

Número de conos (n) = Volumen de la esfera/ Volumen del cono

n = 4/3 π × 5,6 3 /(1/3 π × 2,8 2  × 3,2)

n = (4 x 5,6 3 )/(2,8 2  × 3,2)

norte = 28

Por lo tanto, se pueden formar 28 de estos conos.

Pregunta 23. Un paralelepípedo sólido de hierro con dimensiones de 53 cm x 40 cm x 15 cm se funde y se refunde en un tubo cilíndrico. Los diámetros exterior e interior de la tubería son de 8 cm y 7 cm respectivamente. Encuentre la longitud de la tubería.

Solución:

Volumen del cuboide = (53 x 40 x 15) cm 3

Radio interior del tubo = 7/2 cm = r

Radio exterior del tubo = 8/2 = 4 cm = R

Sea h la longitud de la tubería

Volumen de hierro en la tubería = (Volumen externo) – (Volumen interno)

                                           = πR 2 h – πr 2 h

                                           = πh(R 2 – r 2 )

                                           = πh(R – r) (R + r)

                                           = π(4 – 7/2) (4 + 7/2) xh

                                            = π(1/2) (15/2) xh

Volumen de hierro en la tubería = volumen de hierro en el cuboide

π(1/2) (15/2) xh = 53 x 40 x 15

altura = (53 x 40 x 15 x 7/22 x 2/15 x 2) cm

altura = 2698,18 cm

Por lo tanto, la longitud del tubo es de 2698,2 cm.

Pregunta 24. Los diámetros de las superficies interna y externa de una capa esférica hueca son 6 cm y 10 cm respectivamente. Si se derrite y se refunde en un cilindro sólido de 14 cm de diámetro, encuentre la altura del cilindro.

Solución:

Diámetro interno de la capa esférica hueca = 6 cm

Radio interno de la capa esférica hueca = 6/2 = 3 cm = r

Diámetro externo de la capa esférica hueca = 10 cm

Diámetro externo de capa esférica hueca = 10/2 = 5 cm = R

Diámetro del cilindro = 14 cm

Radio del cilindro = 14/2 = 7 cm

Deje que la altura del cilindro se tome como h cm

Volumen del cilindro = Volumen de la capa esférica

π × r 2  × h = 4/3 π × (R 3 – r 3 )

π × 7 2  × h = 4/3 π × (5 3 – 3 3 )

h = 4/3 x 2

alto = 8/3 cm

Por lo tanto, la altura del cilindro = 8/3 cm

Pregunta 25. Una esfera hueca de diámetros interno y externo de 4 cm y 8 cm respectivamente se funde en un cono de diámetro base de 8 cm. ¿Calcular la altura del cono?

Solución:

Diámetro interno de la esfera hueca = 4 cm

Radio interno de la esfera hueca = 2 cm

Diámetro exterior de la esfera hueca = 8 cm

Radio exterior de la esfera hueca = 4 cm

Volumen de la esfera hueca = 4/3 π × (4 3  – 2 3 ) … (i)

Diámetro del cono = 8 cm

Radio del cono = 4 cm

Sea la altura del cono x cm

Volumen del cono =1/3 π × 4 2  × (x) ….. (ii)

(i) y (ii) son iguales

4/3 π × (4 3  – 2 3 ) = 1/3 π × 4 2  × h

4 x (64 – 8) = 16 xh

h = 14

Por lo tanto, la altura del cono = 14 cm

Pregunta 26 . Una esfera hueca de radios interno y externo de 2 cm y 4 cm respectivamente se funde en un cono de radio base de 4 cm. Encuentra la altura y la altura inclinada del cono.

Solución:

El radio interno de la esfera hueca = 2 cm

El radio externo de la esfera hueca = 4 cm

Volumen de la esfera hueca = 4/3 π × (4 3  – 2 3 ) … (i)

El radio de la base del cono = 4 cm

Sea la altura del cono x cm

Volumen del cono = 1/3 π × 4 2  × h ….. (ii)

4/3 π × (4 3  – 2 3 ) = 1/3 π × 4 2  × h

4 x (64 – 8) = 16 xh

h = 14

Sea l la altura inclinada del cono 

l = √(h 2 + r 2 )

l = √(14 2 + 4 2 ) = √212

largo = 14,56 cm

Por lo tanto, la altura = 14 cm y la altura inclinada = 14,56 cm

Pregunta 27. Una bola esférica de 3 cm de radio se funde y se refunde en tres bolas esféricas. Los radios de dos de las bolas son de 1,5 cm y 2 cm. Encuentra el diámetro de la tercera bola. 

Solución:

Radio de la bola esférica = 3 cm

Volumen de la esfera = 4/3 πr 3

Volumen = 4/3 π3 3

Volumen de la primera bola = 4/3 π 1.5 3

Volumen de la segunda bola = 4/3 π2 3

Sea el radio de la tercera bola = r cm

Volumen de la tercera bola = 4/3 πr 3

El volumen de la bola esférica es igual a la suma de los volúmenes de tres bolas

 4/3 π3 3 = 4/3 π 1.5 3 + 4/3 π2 3 + 4/3 πr 3

(3) 3  = (2) 3  + (1.5) + r 3

r = 3 3 – 2 3 – 1,5 3  cm 3

r3 15,6 cm3

r = (15.625) 1/  3cm

r = 2,5 cm

Diámetro = 2 x radio = 2 x 2,5 cm

                                   = 5,0 cm.

Por lo tanto, el diámetro de la tercera bola = 5 cm

Pregunta 28. Un camino de 2 m de ancho rodea un estanque circular de 40 m de diámetro. ¿Cuántos metros cúbicos de grava se requieren para socavar el camino a una profundidad de 20 cm?

Solución:

Diámetro del estanque circular = 40 m

Radio del estanque = 40/2 = 20 m = r

Espesor (ancho del camino) = 2 m

Altura = 20 cm = 0,2 m

Espesor (t) = R – r

2 = R – 20

R = 22 metros

Volumen del cilindro hueco = π (R 2 – r 2 ) × h

                                                  = π (22 2 – 20 2 ) × 0,2

                                                  = 52,8 m 3

Por lo tanto, el volumen del cilindro hueco = 52,8 m 3

Pregunta 29. Se excava un pozo de 16 m de profundidad con un diámetro de 3,5 m y la tierra se esparce uniformemente para formar una plataforma de 27,5 m por 7 m. ¿Encontrar la altura de la plataforma?

Solución:

Radio(r) del cilindro = 3,5/2 m = 1,75 m

Profundidad del pozo o altura del cilindro (h) = 16 m

Volumen del cilindro= πr 2 h

                                    = π × 1,75 2  × 16

La longitud de la plataforma (l) = 27,5 m

Ancho de la plataforma (b) =7 m

Sea la altura de la plataforma xm

Volumen del paralelepípedo = l×b×h

                                    = 27,5×7×(x)

Volumen del cilindro = Volumen del cuboide

π × 1,75 × 1,75 × 16 = 27,5 × 7 × x

x = 0,8 m = 80 cm

Por lo tanto, la altura de la plataforma = 80 cm.

Pregunta 30. Un pozo de 2 m de diámetro se excava a 14 m de profundidad. La tierra que se extrae se reparte uniformemente a su alrededor para formar un terraplén de 40 cm de altura. ¿Encontrar el ancho del terraplén?

Solución:

Radio del cilindro circular (r) = 2/2 m = 1 m

Altura del pozo (h) = 14 m

Volumen del cilindro circular sólido = π r 2 h

                                                           = π × 1 2 × 14 …. (i)

La altura del terraplén = 40 cm = 0,4 m

Sea el ancho del terraplén (x) m.

Radio exterior = (1 + x)m

Radio interior = 1 m

Volumen del terraplén = π × r × h

                                              = π × [(1 + x) 2  – (1) 2 ]× 0.4 ….. (ii)

(i) y (ii) son iguales

π × 1 2  × 14 = π × [(1 + x) 2  – (1) 2 ] x 0,4

14/0,4 = 1 + x 2 + 2x – 1

35 = x2 + 2x

x2 + 2x – 35 = 0

(x + 7) (x – 5) = 0

x = 5 o -7

Por lo tanto, el ancho del terraplén = 5 m.

Pregunta 31. Se excava un pozo con radio interior de 4 m y 14 m de profundidad. La tierra que se ha extraído se ha esparcido uniformemente alrededor de un ancho de 3 m para formar un terraplén. ¿Encontrar la altura del terraplén?

Solución:

Radio interior del pozo = 4 m

Profundidad del pozo = 14 m

Volumen del cilindro = π r 2 h

                                      = π × 4 × 14 …. (i)

Ancho del terraplén = 3 m

Radio exterior del pozo = 3 + 4 m = 7 m

Volumen del terraplén hueco = π (R 2  – r 2 ) × h

                                                        = π × (7 2  – 4 2 ) × h …… (ii)

(i) y (ii) son iguales

π × 4 × 14 = π × (7 2  – 4 2 ) × h

h = 4 × 14 / (33)

h = 6,78 metros

Por tanto, la altura del terraplén = 6,78 m.

Pregunta 32. Se excava un pozo de 3 m de diámetro hasta 14 m de profundidad. La tierra que se ha extraído se ha esparcido uniformemente a su alrededor hasta un ancho de 4 m para formar un terraplén. Encuentre la altura del terraplén.

Solución:

Diámetro del pozo = 3 m

Radio del pozo = 3/2 m = 1,5 m

Profundidad del pozo (h) = 14 m

Ancho del terraplén (espesor) = 4 m

Radio de la superficie exterior del terraplén = (4 + 1,5) m = 5,5 m

Volumen del terraplén = π(R 2  – r 2 ) × h

= π(5.5 2  – 1.5 2 ) × h ….. (i)

Volumen de tierra excavado = π × r 2  × h

= π × (3/2) 2  × 14 ….. (ii)

(i) y (ii) son iguales

π(5.5 2  – 1.5 2 ) × h = π × (3/2) 2  × 14

(5,5+1,5)(5,5-1,5) xh = 9 × 14/ 4

h = 9 × 14/ (4 × 28)

h = 9/8 m

   = 1.125m

Por lo tanto, la altura del terraplén =1.125 m

Pregunta 33. Encuentra el volumen del cono circular recto más grande que se puede cortar de un cubo cuya arista mide 9 cm. 

Solución:

El lado del cubo = 9 cm

Diámetro del cono = Lado del cubo

2r = 9

Radio del cono = 9/2 cm = 4,5 cm

altura del cono = lado del cubo

Altura del cono (h) = 9 cm

Volumen del cono más grande = 1/3 π × r 2  × h

                                            = 1/3 π × 4,5 2  × 9

                                            = 190,93 cm 3

Por tanto, el volumen del cono más grande que cabe en el cubo tiene un volumen de 190,93 cm 3

Pregunta 34. Un balde cilíndrico, de 32 cm de alto y 18 cm de radio de la base, se llena con arena. Este balde se vacía en el suelo y se forma un montón cónico de arena. Si la altura del montón cónico es de 24 cm, encuentre el radio y la altura inclinada del montón.

Solución:

Altura del cubo cilíndrico = 32 cm

Radio del balde cilíndrico = 18 cm

Altura del montón cónico = 24 cm

Volumen del cilindro = π × r 2  × h

Volumen del cono = 1/3 π × r 2  × h

Volumen del montón cónico = Volumen del balde cilíndrico

1/3 π × r 2  × 24 = π × 18 2  × 32

r 2  = 18 2  X 4

r = 18 × 2 = 36 cm

Altura inclinada (l) = √(h 2 + r 2 )

l = √(24 2 + 36 2 ) = √576+1296

                           = √1872

                           = 43,26 cm

Por lo tanto, el radio = 36 cm y la altura inclinada = 43,26 cm 

Pregunta 35. El agua de lluvia, que cae sobre una superficie rectangular plana de 6 m de largo y 4 m de ancho, se transfiere a un recipiente cilíndrico de radio interno de 20 cm. ¿Cuál será la altura del agua en el recipiente cilíndrico si ha caído una lluvia de 1 cm? 

Solución:

Longitud de la superficie rectangular = 6 m = 600 cm

Ancho de la superficie rectangular = 4 m = 400 cm

Altura de la lluvia = 1 cm

Volumen de la superficie rectangular = largo * ancho * alto

                                                       = 600×400× 1cm3

                                                      = 240000 cm3 ……………   .. (yo)

Radio del recipiente cilíndrico = 20 cm

Sea la altura del recipiente cilíndrico h cm

Volumen del recipiente cilíndrico = π × r 2  × h

                                                   = π × 20 2  × h ……….. (ii)

(i) es igual a (ii)

240000 = π × 20 2  × h

alto = 190,9 cm

Por lo tanto, la altura del recipiente cilíndrico = 191 cm

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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