Pregunta 1. ¿Cuántas bolas, cada una de 1 cm de radio, se pueden hacer a partir de una esfera sólida de plomo de 8 cm de radio?
Solución:
R = 8 cm
r = 1 cm
Sea el número de bolas = n
Volumen de la esfera = 4/3 πr 3
El volumen de la esfera sólida = suma de los volúmenes de n bolas esféricas.
nx 4/3 πr 3 = 4/3 πR 3
nx 4/3 π(1) 3 = 4/3 π(8) 3
n = 8 3 = 512
Por lo tanto, se pueden hacer 512 bolas de 1 cm de radio cada una con una esfera sólida de 8 cm de radio.
Pregunta 2. ¿Cuántas balas esféricas de 5 cm de diámetro se pueden lanzar de un bloque rectangular de metal de 11 dm x 1 mx 5 dm?
Solución:
Un bloque metálico de dimensión 11dm x 1m x 5dm
Diámetro de cada bala = 5 cm
Volumen de la esfera = 4/3 πr 3
1 dm = 0,1 m
El volumen del bloque rectangular = 1,1 x 1 x 0,5 = 0,55 m 3
Radio de la bala = 5/2 = 2,5 cm = 0,025 cm
Sea el número de balas = n.
El volumen del bloque rectangular = suma de los volúmenes de las n balas esféricas
0.55 = nx 4/3 π(0.025) 3
n = 8400
Por lo tanto, 8400 se puede moldear a partir del bloque rectangular de metal.
Pregunta 3. Una bola esférica de 3 cm de radio se funde y se refunde en tres bolas esféricas. Los radios de las dos bolas son de 2 cm y 1,5 cm respectivamente. ¿Determine el diámetro de la tercera bola?
Solución:
Radio de la bola esférica = 3 cm
Volumen (V) = 4/3 π3 3
La bola se derrite y se refunde en 3 bolas esféricas.
Volumen (V 1 ) de la primera bola = 4/3 π 1.5 3
Volumen (V 2 ) de la segunda bola = 4/3 π2 3
Sea el radio de la tercera bola = r cm
Volumen de la tercera bola (V 3 ) = 4/3 πr 3
V = V 1 + V 2 + V 3
4/3 π3 3 = 4/3 π 1.5 3 + 4/3 π2 3 +4/3 πr 3
Al resolver
3 3 = 1.5 3 + 2 3 + r 3
27 = 3.375 + 8 + r 3
r3 = 15.625
r = 2,5
d = 2 × r
= 5cm
Pregunta 4. 2,2 dm cúbicos de latón se van a estirar en un alambre cilíndrico de 0,25 cm de diámetro. ¿Encontrar la longitud del cable?
Solución:
Radio del alambre (r) = d/2
= 0,25/2 =
= 0,125 cm
1dm = 10cm
2,2 cm = 22 cm
Sea la longitud del alambre (h)
Volumen del cilindro = πr 2 h
Volumen de alambre cilíndrico = Volumen de latón
πr 2 h = 22
(22/7)*(0.125) 2 horas = 22
h = 7/(0.125) 2
h = 448
Por lo tanto, la longitud del alambre cilíndrico trefilado es de 448 m.
Pregunta 5. ¿Qué longitud de un cilindro macizo de 2 cm de diámetro se debe tomar para refundir en un cilindro hueco de 16 cm de longitud, 20 cm de diámetro exterior y 2,5 mm de espesor?
Solución:
Diámetro del cilindro macizo = 2 cm
Longitud del cilindro hueco = 16 cm
Volumen de un cilindro = πr 2 h
Radio del cilindro macizo = 1 cm
Volumen del cilindro sólido = π1 2 h = πh cm 3
Volumen del cilindro hueco = πh(R 2 – r 2 )
Espesor del cilindro = (R – r)
0,25 = 10 – r
Radio interior del cilindro = 9,75 cm
Volumen del cilindro hueco = π × 16 (10 2 -9.75 2 ) [ (a 2 -b 2 ) = (a+b)(ab)]
= π × 16 (10+9,75)(10-9,75)
= 16π(19,75)(0,25)
Volumen del cilindro sólido = volumen del cilindro hueco
πh = 16π(19,75)(0,25)
alto = 79cm
Por lo tanto, la longitud del cilindro macizo = 79,04 cm.
Pregunta 6. Un recipiente cilíndrico que tiene un diámetro igual a su altura está lleno de agua que se vierte en dos recipientes cilíndricos idénticos con un diámetro de 42 cm y una altura de 21 cm que se llenan por completo. ¿Encuentra el diámetro del recipiente cilíndrico?
Solución:
El diámetro del cilindro = la altura del cilindro
⇒h = 2r
Volumen de un cilindro = πr 2 h
Volumen del recipiente cilíndrico = πr 2 2r = 2πr 3 (como h = 2r)….. (i)
Diámetro = 42 cm, entonces el radio = 21 cm
Altura = 21cm
Volumen de dos recipientes idénticos = 2 x π 21 2 × 21 ….. (ii)
Los volúmenes en la ecuación (i) y (ii) son iguales
2πr 3 = 2 x π 21 2 × 21
r 3 = (21) 3
r = 21 cm
dia = 42cm
Por lo tanto, el diámetro del recipiente cilíndrico es de 42 cm.
Pregunta 7. 50 placas circulares cada una de 14 cm de diámetro y 0,5 cm de espesor se colocan una encima de la otra para formar un cilindro circular recto. Encuentre su área de superficie total.
Solución:
Radio de placas circulares = 7cm
Grosor de las placas = 0,5 cm
Grosor total de todas las placas = 0,5 x 50 = 25 cm (altura del cilindro)
Área de superficie total del cilindro circular recto formado = 2πr × h + 2πr 2
= 2πr (h + r)
= 2(22/7) x 7 x (25 + 7)
= 2 x 22 x 32 = 1408 cm2
Por lo tanto, el área de superficie total del cilindro es 1408 cm 2
Pregunta 8. 25 placas circulares, cada una de 10,5 cm de radio y 1,6 cm de espesor, se colocan una encima de la otra para formar un cilindro circular sólido. Encuentre el área de la superficie curva y el volumen del cilindro así formado.
Solución:
Altura total = 1,6 x 25 = 40 cm
Área de superficie curva de un cilindro = 2πrh
= 2π × 10,5 × 40
= 2640cm2
Volumen del cilindro = πr 2 h
= π × 10,5 2 × 40
= 13860cm3
Por lo tanto, el área de la superficie curva del cilindro = 2640 cm 2 y el volumen del cilindro = 13860 cm 3
Pregunta 9. Halla el número de discos circulares metálicos de 1,5 cm de diámetro de base y 0,2 cm de altura a fundir para formar un cilindro circular recto de 10 cm de altura y 4,5 cm de diámetro.
Solución:
Radio de cada disco circular = r = 1,5/2 = 0,75 cm
Altura de cada disco circular = h = 0,2 cm
Radio del cilindro = R = 4,5/ 2 = 2,25 cm
Altura del cilindro = H = 10 cm
Deje que el número de discos metálicos requeridos esté dado por n
n = Volumen del cilindro / volumen de cada disco circular
norte = πR 2 H/ πr 2 h
n = (2,25) 2 (10)/ (0,75) 2 (0,2)
n = 3 x 3 x 50 = 450
Por lo tanto, se requieren 450 discos metálicos.
Pregunta 10. ¿Cuántos perdigones esféricos de plomo, cada uno de 4,2 cm de diámetro, se pueden obtener de una pieza sólida de plomo rectangular con dimensiones de 66 cm × 42 cm × 21 cm?
Solución:
Radio de cada bala esférica de plomo = r = 4,2/ 2 = 2,1 cm
Las dimensiones de la pieza de plomo rectangular = 66 cm x 42 cm x 21 cm
Volumen de un perdigón de plomo esférico = 4/3 πr 3
= 4/3 x 22/7 x 2,1 3
Volumen de la pieza de plomo rectangular = 66 x 42 x 21
Número de perdigones de plomo esféricos = Volumen de perdigones rectangulares/ Volumen de perdigones de plomo esféricos
= 66 x 42 x 21/ (4/3 x 22/7 x 2,1 3 )
= 1500
Por lo tanto, número de perdigones esféricos = 1500
Pregunta 11. ¿Cuántos perdigones esféricos de plomo de 4 cm de diámetro se pueden hacer con un cubo sólido de plomo cuya arista mide 44 cm?
Solución:
El radio de cada bala esférica de plomo = r = 4/2 = 2 cm
Volumen de cada perdigones esféricos de plomo = 4/3 πr 3 = 4/3 π 2 3 cm 3
Borde del cubo = 44 cm
Volumen del cubo = 44 3 cm 3
Número de perdigones esféricos = Volumen del cubo/ Volumen de cada perdigones esféricos
= 44 x 44 x 44/ (4/3 π 2 3 )
= 2541
Pregunta 12. Tres cubos de un metal cuyas aristas están en la proporción 3: 4: 5 se funden y se convierten en un solo cubo cuya diagonal es 12√3 cm. Encuentra las aristas de los tres cubos.
Solución:
Sean las aristas de tres cubos 3x, 4x y 5x respectivamente.
El volumen del cubo después de derretirse será = (3x) 3 + (4x) 3 + (5x) 3
= 27x 3 + 64x 3 + 125x 3
= 216x 3
Sea a la arista del nuevo cubo así formado después de la fusión
un 3 = 216x 3
a = 6x
Diagonal del cubo = √(a 2 + a 2 + a 2 ) = a√3
12√3 = a√3
= 12 cm
X = 12/6 = 2
Por tanto, las aristas de los tres cubos miden 6 cm, 8 cm y 10 cm respectivamente.
Pregunta 13. Una esfera metálica sólida de 10,5 cm de radio se funde y se refunde en varios conos más pequeños, cada uno de 3,5 cm de radio y 3 cm de altura. Encuentre el número de conos así formados.
Solución:
Radio de esfera metálica = R = 10,5 cm
Volumen = 4/3 πR 3 = 4/3 π(10.5) 3
Radio de cada cono = r = 3,5 cm
Altura de cada cono = h = 3 cm
Volumen = 1/3 πr 2 h = 1/3 π(3.5) 2 (3)
El número de conos = Volumen de la esfera metálica/ Volumen de cada cono
= 4/3 π(10,5) 3 / 1/3 π(3,5) 2 (3)
= 126
Pregunta 14. El diámetro de una esfera metálica es igual a 9 cm. Se funde y se estira en un alambre largo de 2 mm de diámetro que tiene una sección transversal uniforme. Encuentra la longitud del alambre.
Solución:
Radio de la esfera = 9/2 cm
Volumen = 4/3 πr 3 = 4/3 π(9/2) 3
Radio del alambre = 1 mm = 0,1 cm
Sea la longitud del alambre = h cm
Volumen del alambre = πr 2 h = π(0.1) 2 h
Volumen del alambre = Volumen de la esfera
π(0.1) 2 h = 4/3 π(9/2) 3
h = 4 x 729/ (3 x 8 x 0,01) = 12150 cm
Por lo tanto, la longitud del alambre = 12150 cm
Pregunta 15. Una bola esférica de hierro ha sido fundida y refundida en bolas más pequeñas de igual tamaño. Si el radio de cada una de las bolas más pequeñas es 1/4 del radio de la bola original, ¿cuántas bolas de este tipo se hacen? Compara el área de superficie de todas las bolas más pequeñas combinadas con la de la bola original.
Solución:
Sea el radio de la bola grande x cm
Radio de la bolita = x/4 cm
Sea el número de bolas = n
Volumen de n bolas pequeñas = Volumen de la bola grande
nx 4/3 π(x/4) 3 = 4/3 πx 3
n x (x 3 / 64) = x 3
n = 64
Por lo tanto, el número de bolitas = 64
Área de superficie de todas las bolas pequeñas/ área de superficie de la bola grande = 64 x 4π(x/4) 2 / 4π(x) 2
= 64/16 = 4/1
Por lo tanto, la relación entre el área superficial de las bolas pequeñas y la de la bola original es 4:1.
Pregunta 16. Una esfera de cobre de 3 cm de radio se funde y se refunde en un cono circular recto de 3 cm de altura. Hallar el radio de la base del cono?
Solución:
Radio de la esfera de cobre = 3 cm
Volumen de la esfera = 4/3 π r 3
= 4/3 π × 3 3 ….. (yo)
Altura del cono = 3 cm
Volumen del cono circular recto = 1/3 π r 2 h
= 1/3 π × r 2 × 3 ….. (ii)
(i) y (ii) son iguales
4/3 π × 3 3 = 1/3 π × r 2 × 3
r2 = 36
r = 6 cm
Por lo tanto, el radio de la base del cono es de 6 cm.
Pregunta 17. Una varilla de cobre de 1 cm de diámetro y 8 cm de longitud se estira en un alambre de 18 m de longitud de espesor uniforme. ¿Encontrar el grosor del alambre?
Solución:
Diámetro de la varilla de cobre = 1 cm
Radio del hilo de cobre = 1/2 cm = 0,5 cm
Longitud de la varilla de cobre = 8 cm
Volumen del cilindro = π r 2 h
= π × 0,5 2 × 8 ……. (i)
Longitud del cable = 18 m = 1800 cm
Volumen del alambre = π r 2 h
= π r 2 × 1800 ….. (ii)
(i) y (ii) son iguales
π × 0,5 2 × 8 = π r 2 × 1800
r2 = 2/1800 = 1/900
r = 1/30 cm
Por lo tanto, el diámetro del alambre es 1/15 cm = 0,67 mm
Pregunta 18. Los diámetros de las superficies interna y externa de una capa esférica hueca son 10 cm y 6 cm respectivamente. Si se derrite y se refunde en un cilindro sólido de 8/3 de longitud, ¿cuál es el diámetro del cilindro?
Solución:
Diámetro interno de la esfera hueca = 6 cm
Radio interior de la esfera hueca = 6/2 cm = 3 cm = r
Diámetro exterior de la esfera hueca = 10 cm
Radio exterior de la esfera hueca = 10/2 cm = 5 cm = R
Volumen de la capa esférica hueca = 4/3 π × (R 3 – r 3 )
= 4/3 π × (5 3 – 3 3 ) ….. (yo)
Sea el radio del cilindro macizo r cm
Volumen del cilindro = π × r 2 × h
= π × r 2 × 8/3 ….. (ii)
(i) y (ii) son iguales
4/3 π × (5 3 – 3 3) = π × r 2 × 8/3
4/3 x (125 – 27) = r 2 × 8/3
98/2 = r 2
r2 = 49
r = 7
profundidad = 7 x 2 = 14 cm
Por lo tanto, el diámetro del cilindro es de 14 cm.
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Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA