Pregunta 27. Si A = B = 60°, verifica que
(i) cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B
Solución:
Sabemos sen 60° = √3/2, sen 30° = 1/2
Poniendo los valores de A y B en la siguiente ecuación
cos(60° − 60°) = cos60°cos60° + sen60°sen60°
cos(0) = cos 2 60° + sen 2 60°
1 = (1/2) 2 + (√3/2) 2
1 = 1/4 + 3/4
1 = 4/4 = 1
Por lo tanto probado
(ii) sen(A − B) = sen A cos B − cos A sen B
Solución:
Poniendo los valores de A y B en la siguiente ecuación
sen(60° − 60°) = sen60°cos60° − cos60°sen60°
sen(0°) = (1/2)(√3/2) – (√3/2)(1/2)
0 = √3/4 – √3/4
0 = 0
Por lo tanto probado
(iii) tan(A − B) =
Solución:
Poniendo los valores de A y B en la siguiente ecuación
tan(60° − 60°) =
tan0 =
0 = 0
Por lo tanto probado
Pregunta 28. Si A = 30° y B = 60°, verifica que
(i) sen(A + B) = sen A cos B cos A sen B
Solución:
Sabemos sen 60° = cos 30° = √3/2, sen 30° = cos 60° = 1/2
Poniendo los valores de A y B en las siguientes ecuaciones
sen(30° + 60°) = sen 30° cos 60° cos 30° sen 60°
sen 90° = (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2)
1 = 1/4 + 3/4
1 = 1
Por lo tanto probado
(ii) cos(A + B) = cos A cos B − sen A sen B
Solución:
Poniendo los valores de A y B en las siguientes ecuaciones
cos(30° + 60°) = cos 30° cos 60° – sen 30° sen 60°
cos 90° = (√3/2)(1/2) – (1/2)(√3/2)
0 = √3/4 – √3/4
0 = 0
Por lo tanto probado
Pregunta 29. Si sen(A + B) = 1 y cos(A − B) = 1, 0° < A + B ≤ 90° y A ≥ B, encuentra A y B.
Solución:
Dado sen(A + B) = 1, cos(A − B) = 1, 0° < A + B ≤ 90° y A ≥ B,
Sabemos que, sen90° = 1 y cos0° = 1
sin(A + B) = 1 y sin90∘= 1
Podemos decir eso
(A + B) = 90° -(1)
cos(A − B) = 1 y cos0° = 1
(A − B) = 0°
A = B-(2)
Sustituyendo la ecuación (2) en (1)
A + A = 90°
2A = 90°
A = 45°
A = B = 45°
Pregunta 30. Si tan(A + B) = √3 y tan(A − B) = 1/√3, 0° < A + B ≤ 90°; A > B, encuentre A y B.
Solución:
Dado tan(A + B) = √3
tan(A − B) = 1/√3
0∘< A + B ≤ 90∘y A > B,
Sabemos que, tan30° = 1/√3 y tan60° = √3
Ahora,
tan(A + B) = √3 y tan60 = √3
(A + B) = 60° -(1)
Otra vez,
tan(A − B) = 1/√3 y tan30° = 1/√3
(A − B) = 30° -(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2),
(A + B) = 60°
(A-B) = 30°
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores obtenemos
2A = 90°
A = 90°/2 = 45°
Pregunta 31. Si sen(A – B) = 1/2 y cos(A + B) = 1/2, 0° < A + B ≤ 90°; A < B, encuentre A y B.
Solución:
Dado, sen(A − B) = 1/2
cos(A + B) = 1/2
0° < A + B ≤ 90° y A < B,
Sabemos que, sen30° = 1/2 y cos60° = 1/2
Como sen(A − B) = 1/2 y sen30° = 1/2
Entonces (A − B) = 30° -(1)
Otra vez
cos(A + B) = 1/2 y cos60° = 1/2
Entonces (A + B) = 60° -(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos
2A = 90°
A = 90°/2 = 45°
de (2)
(A + B) = 60°
Además, A = 45°
B = 60° – 45°
B = 15°
Por lo tanto, A = 45°, B = 15°
Pregunta 32. En un ∆ABC en ángulo recto en B, ∠A = ∠C. Encuentre los valores de
(i) sen A cos C+ cos A sen C
Solución:
Dado: En ∆ABC en ángulo recto en B, ∠A = ∠C
Sabemos en un triángulo ∠A + ∠B +∠C = 180°
2∠A = 180° – 90° = 45° [∠B = 90°]
Ahora,
Tenemos sen A cos C+ cos A sen C
Poner los valores de cada ángulo
sen 45° cos 45° + cos 45° sen 45°
= (1/√2)(1/√2) + (1/√2)(1/√2)
= 1/2 + 1/2
= 1
(ii) sen A sen B + cos A cos B
Solución:
Tenemos sen A sen B + cos A cos B
Poner los valores de cada ángulo
sen 45° sen 90° + cos 45° cos 90°
= (1/√2)(1) + (1/√2)(0)
= (1/√2) + 0
= 1/√2
Pregunta 33. Halla los ángulos agudos A y B, si sen(A + 2B) = √3/2 y cos(A + 4B) = 0, y A > B.
Solución:
Dado, sin(A + 2B) = √3/2, cos(A + 4B) = 0, A > B,
Sabemos que sen60° = √3/2 y cos90° = 0
Como sen(A + 2B) = √3/2 y sen60° = √3/2
Entonces (A + 2B) = 60° -(1)
De nuevo cos(A + 4B) = 0 y cos90° = 0
Entonces (A + 4B) = 90° -(2)
De (1) de (2) obtenemos,
2B = 30°
B = 30°/2 = 15°
de (2)
(A + 4B) = 90°
Además, B = 15°
A = 90° − 60°
A = 30°
Por lo tanto, A = 30°, B = 15°
Pregunta 34. En ΔPQR, rectángulo en Q, PQ = 3 cm y PR = 6 cm. Determina ∠P y ∠R.
Solución:
Dado en ΔPQR, rectángulo en Q, PQ = 3 cm y PR = 6 cm.
Sabemos cos P = Base/Hipotenusa =3/6
cos 60° = 1/2
Entonces ∠P = 60°
En ΔPQR
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
∠R = 180° – 90° – 60°
∠R = 30°
Por lo tanto, ∠P = 60°, ∠R = 30°
Pregunta 35. Si sen(A − B) = sen A cos B − cos A sen B y cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B, encuentre los valores de sen15° y cos15°.
Solución:
Para encontrar sen15°:
Tenemos sin15° = sin(45° – 30°)
A = 45° y B = 30°
Ahora poniendo los valores de A y B en la siguiente ecuación
sen(A − B) = sen A cos B − cos A sen B
sen(45° − 30°) = sen 45° cos 30° − cos 45° sen 30°
sin15° = (1/√2)(√3/2) – (1/√2)(1/2))
sin15° = (√3 – 1)/2√2
Para encontrar cos15°:
cos15° = cos(45° – 30°)
A = 45° y B = 30°
Nuevamente poniendo los valores de A y B en la siguiente ecuación
cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B
cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30°
sin15° = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2))
sin15° = (√3 + 1)/2√2
Pregunta 36. En un △ABC recto, rectángulo en C, si ∠B = 60° y AB = 15 unidades. Encuentra los ángulos y lados restantes.
Solución:
Dado En un △ABC recto en ángulo recto en C, ∠B = 60° ∠C = 90°
Sabemos en un triángulo ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = 180° – 150° = 30°
sen 30° = BC/AB = BC/15
BC/15 = 1/2
BC = 7,5 unidades
cos 30° = AC/AB = AC/15
CA/15 = √3/2
CA = 15√3/2 unidades
Pregunta 37. Si ΔABC es un triángulo rectángulo tal que ∠C = 90°, ∠A = 45° y BC = 7 unidades. Encuentra ∠B, AB y AC.
Solución:
Dado: En ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 45° y BC = 7 unidades
Sabemos en un triángulo ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠B = 180° – 135° = 45°
porque B = BC/AB = 7/AB
cos 45° = 7/AB
7/AB = 1/√2
AB = 7/√2 unidades
bronceado A = BC/AC
tan 45° = 7/AC
7/CA = 1
CA = 7 unidades
Pregunta 38. En un rectángulo ABCD, AB = 20 cm, ∠BAC = 60°, calcula el lado BC y las diagonales AC, BD.
Solución:
Dado: rectángulo ABCD, AB = 20 cm, ∠BAC = 60°
tan 60° = BC/AC
√3 = BC/20
BC = 20√3 cm
cos 60° = AB/AC
1/2 = 20/CA
CA = 40 cm
en un rectangulo ambas diagonales son iguales
Pregunta 39. Si A y B son ángulos agudos tales que tan A = 1/2, tan B = 1/3 y tan(A + B) = hallar (A + B).
Solución:
Dado, A y B son ángulos agudos tales que tanA = 1/2 y tanB = 1/3
tan(A + B) =
tan(A + B) =
tan(A + B) =
tan(A + B) =
tan(A + B) = 1
Lo sabemos, tan45° = 1
Por lo tanto, (A + B) = 45°
Pregunta 40. Demuestra que (√3 + 1)(3 – cot 30°) = tan 3 60° – 2sin 60°
Solución:
Tomando RHS
tan 3 60° – 2sen 60°
(√3) – 2(√3/2) = 3√3 – √3 = 2√3
Ahora tomando LHS
(√3 + 1)(3 – cuna 30°)
= (√3 + 1)(3 – √3)
= (√3 + 1)√3(√3 – 1)
= 2√3
LHS = RHS
Por lo tanto probado
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA