Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 6 Identidades trigonométricas – Ejercicio 6.1

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

Pregunta 1. (1 – cos ² A) cosec ² A = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = (1 – cos ² A) cosec ² A

Usando la identidad, sen ² A + cos ² A = 1, obtenemos,

= (sen ² A) (coseg ² A)

= sen ² A × (1/sen ² A)

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 2. (1 + cot ² A) sen ² A = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = (1 + cuna ² A) sen ² A

Usando la identidad, cosec ² A = 1 + cot ² A, obtenemos,

= cosec ² A sen ² A

= (1/sen ² A) × sen ² A

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 3. tan ² θ cos ² θ = 1 − cos ² θ

Solución:

Tenemos,

LHS = tan ² θ cos ² θ

= (sen ² θ/cos ² θ) (cos ² θ)

= sen ² θ

= 1 − cos ² θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 4. cosec θ √(1 – cos ² θ) = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = cosec θ √(1 – cos ² θ)

= cosec θ √(sen ² θ)

= cosec θ sen θ

= (1/sen θ) (sen θ)

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 5. (seg ² θ − 1)(coseg ² θ − 1) = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = (seg ² θ − 1)(coseg ² θ − 1)

Usando las identidades sec ² θ − tan ² θ = 1 y cosec ² θ − cot ² θ = 1, tenemos,

= bronceado ² θ cuna ² θ

= (tan ² θ) (1/tan ² θ)

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 6. tan θ + 1/tan θ = sec θ cosec θ

Solución:

Tenemos,

LHS = bronceado θ + 1/ bronceado θ

= (tan ² θ + 1)/tan θ

= seg ² θ/tan θ

= $\frac{\frac{1}{cos^2θ}}{\frac{1}{\frac{sinθ}{cosθ}}}$

= $\frac{cos θ}{sinθcos^2 θ}$

= 1/sen θ cos θ

= seg θ cosec θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 7. cos θ/(1 – sen θ) = (1 + sen θ)/cos θ

Solución:

Tenemos,

LHS = cos θ/(1 – sen θ)

= $\frac{cosθ(1+sin θ)}{(1-sinθ)(1+sin θ)}$

= $\frac{cosθ(1+sin θ)}{(1-sin^2θ)}$

= $\frac{cosθ(1+sinθ)}{cos^2θ}$

= (1 + sen θ)/cos θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 8. cos θ/(1 + sen θ) = (1 – sen θ)/cos θ

Solución:

Tenemos,

LHS = cos θ/(1 + sen θ)

= $\frac{cosθ(1-sin θ)}{(1+sinθ)(1-sin θ)}$

= $\frac{cosθ(1-sin θ)}{(1-sin^2θ)}$

= $\frac{cosθ(1-sinθ)}{cos^2θ}$

= (1 – sen θ)/cos θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 9. cos ² θ + 1/(1 + cot ² θ) = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = cos ² θ + 1/(1 + cuna ² θ)

= cos ² θ + 1/(coseg ² θ)

= cos ² θ + sen ² θ

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 10. sen ² A + 1/(1 + tan ² A) = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = sen ² A + 1/(1 + tan ² A)

= sen ² A + 1/(seg ² A)

= sen ² A + cos ² A

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 11. $\sqrt{\frac{1-cosθ}{1+cosθ}}$ = cosec θ − cot θ

Solución:

Tenemos,

IZQ = $\sqrt{\frac{1-cosθ}{1+cosθ}}$

= $\sqrt{\frac{(1-cosθ)(1-cosθ)}{(1+cosθ)(1-cosθ)}}$

= $\sqrt{\frac{(1-cosθ)^2}{1-cos^2θ}}$

= $\sqrt{\frac{(1-cosθ)^2}{sin^2θ}}$

= $\frac{1-cosθ}{sinθ}$

= $\frac{1}{sinθ}-\frac{cosθ}{sinθ}$

= cosec θ − cot θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 12. (1 – cos θ)/sen θ = sen θ/(1 + cos θ)

Solución:

Tenemos,

LHS = (1 – cos θ)/sen θ

= $\frac{(1-cosθ)(1+cosθ)}{sinθ(1+cosθ)}$

= $\frac{1-cos^2θ}{sinθ(1+cosθ)}$

= $\frac{sin^2θ}{sinθ(1+cosθ)}$

= sen θ/(1 + cos θ)

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 13. sen θ/(1 – cos θ) = cosec θ + cot θ

Solución:

Tenemos,

LHS = sen θ/(1 – cos θ)

= $\frac{sinθ(1+cosθ)}{(1-cosθ)(1+cosθ)}$

= $\frac{sinθ(1+cosθ)}{(1-cos^2θ)}$

= $\frac{sinθ(1+cosθ)}{sin^2θ}$

= $\frac{1+cosθ}{sinθ}$

= $\frac{1}{sinθ}+\frac{cosθ}{sinθ}$

= cosec θ + cot θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 14. (1 – sen θ)/(1 + sen θ) = (seg θ – tan θ) ²

Solución:

Tenemos,

LHS = (1 – sen θ)/(1 + sen θ)

= $\frac{(1-sinθ)(1-sinθ)}{(1+sinθ)(1-sinθ)}$

= $\frac{(1-sinθ)^2}{(1-sin^2θ)}$

= $\frac{(1-sinθ)^2}{cos^2θ}$

= $\left(\frac{1-sinθ}{cosθ}\right)^2$

= $\left(\frac{1}{cosθ}-\frac{sinθ}{cosθ}\right)^2$

= (seg θ – tan θ) ²

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 15. $\frac{(1+cot^2θ)tanθ}{sec^2θ}=cotθ$

Solución:

Tenemos,

IZQ = $\frac{(1+cot^2θ)tanθ}{sec^2θ}$

= $\frac{cosec^2θ×tanθ}{sec^2θ}$

= $\frac{1}{sin^2θ}×\frac{cos^2θ}{1}×\frac{sinθ}{cosθ}$

= cos θ/sen θ

= cuna θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 16. tan ² θ − sen ² θ = tan ² θ sen ² θ

Solución:

Tenemos,

LHS = tan ² θ − sen ² θ

= sen ² θ/cos ² θ − sen ² θ

= sen ² θ(1/cos ² θ − 1)

= $sin^2θ(\frac{1-cos^2θ}{cos^2θ})$

= sen ² θ (sen ² θ/cos ² θ)

= tan ² θ sen ² θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 17. (cosec θ + sen θ)(cosec θ – sen θ) = cot ² θ + cos ² θ

Solución:

Tenemos,

LHS = (coseg θ + sen θ)(coseg θ – sen θ)

= cosec ² θ – sen ² θ

= (1 + cuna ² θ) – (1 – cos ² θ)

= 1 + cuna ² θ – 1 + cos ² θ

= cuna ² θ + cos ² θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 18. (sec θ + cos θ) (sec θ – cos θ) = tan ² θ + sen ² θ

Solución:

Tenemos,

LHS = (sec θ + cos θ) (sec θ – cos θ)

= segundo ² θ – cos ² θ

= (1 + tan ² θ) – (1 – sen ² θ)

= 1 + tan ² θ – 1 + sen ² θ

= tan ² θ + sen ² θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 19. sec A(1 – sin A) (sec A + tan A) = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = sec A(1 – sen A) (sec A + tan A)

= $\frac{1-sinA}{cosA}(\frac{1}{cosA}+\frac{sin A}{cos A})$

= $\frac{1-sin^2A}{cos^2A}$

= $\frac{cos^2A}{cos^2A}$

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 20. (cosec A – sen A)(sec A – cos A)(tan A + cot A) = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = (cosec A – sin A)(sec A – cos A)(tan A + cot A)

= $(\frac{1}{sinA}-sinA{})(\frac{1}{cosA}-cosA)(\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA})$

= $(\frac{1-sin^2A}{sinA})(\frac{1-cos^2A}{cosA})(\frac{sin^2A+cos^2A}{sinAcosA})$

= $(\frac{cos^2A}{sinA})(\frac{sin^2A}{cosA})(\frac{1}{sinAcosA})$

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 21. (1 + tan ² θ)(1 – sen θ)(1 + sen θ) = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = (1 + tan ² θ)(1 – sen θ)(1 + sen θ)

= (seg ² θ) (1 – sen ² θ)

= (seg ² θ) (cos ² θ)

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 22. sen ² A cot ² A + cos ² A tan ² A = 1

Solución:

Tenemos,

LHS = sen ² A cot ² A + cos ² A tan ² A

= sen ² A (cos ² A/sen ² A) + cos ² A (sen ² A/cos ² A)

= cos ² A + sen ² A

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 23.

(i) cot θ – tan θ = $\frac{2cos^2θ-1}{sinθcosθ}$

Solución:

Tenemos,

LHS = cuna θ – bronceado θ

= cos θ/sen θ – sen θ/cos θ

= $\frac{cos^2θ-sin^2θ}{sinθcosθ}$

= $\frac{cos^2θ-(1-cos^2θ)}{sinθcosθ}$

= $\frac{cos^2θ-1+cos^2θ}{sinθcosθ}$

= $\frac{2cos^2θ-1}{sinθcosθ}$

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) tan θ – cot θ = $\frac{2sin^2θ-1}{sinθcosθ}$

Solución:

Tenemos,

LHS = tan θ – cuna θ

= sen θ/cos θ – cos θ/sen θ

= $\frac{sin^2θ-cos^2θ}{sinθcosθ}$

= $\frac{sin^2θ-(1-sin^2θ)}{sinθcosθ}$

= $\frac{sin^2θ-1+sin^2θ}{sinθcosθ}$

= $\frac{2sin^2θ-1}{sinθcosθ}$

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 24. (cos ² θ/sen θ) – cosec θ + sen θ = 0

Solución:

Tenemos,

LHS = (cos ² θ/sen θ) – cosec θ + sen θ

= $\frac{cos^2θ}{sinθ}-\frac{1}{sinθ}+sin θ$

= $\frac{(cos^2θ-1)+sin^2θ}{sinθ}$

= $\frac{-sin^2θ+sin^2θ}{sinθ}$

= 0

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 25. $\frac{1}{1+sinA}+\frac{1}{1-sinA}=2sec^2A$

Solución:

Tenemos,

IZQ = $\frac{1}{1+sinA}+\frac{1}{1-sinA}$

= $\frac{1-sinA+1+sinA}{(1+sinA)(1-sinA)}$

= $\frac{2}{1-sin^2A}$

= $\frac{2}{cos^2A}$

= 2 seg ² A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 26. $\frac{1+sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{1+sinθ}=2secθ$

Solución:

Tenemos,

IZQ = $\frac{1+sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{1+sinθ}$

= $\frac{(1+sinθ)^2+cos^2θ}{cosθ(1+sinθ)}$

= $\frac{1+sin^2θ+2sinθ+cos^2θ}{cosθ(1+sinθ)}$

= $\frac{2(1+sinθ)}{cosθ(1+sinθ)}$

= $\frac{2}{cosθ}$

= 2 seg θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 27. $\frac{(1+sinθ)^2+(1-sinθ)^2}{2cos^2θ}=\frac{1+sin^2θ}{1-sin^2θ}$

Solución:

Tenemos,

IZQ = $\frac{(1+sinθ)^2+(1-sinθ)^2}{2cos^2θ}$

= $\frac{1+sin^2θ+2sinθ+1+sin^2θ-2sinθ}{2cos^2θ}$

= $\frac{2(1+sin^2θ)}{2(1-sin^2θ)}$

= $\frac{1+sin^2θ}{1-sin^2θ}$

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 28. $\frac{1+tan^2θ}{1+cot^2θ}=tan^2θ$

Solución:

Tenemos,

IZQ = $\frac{1+tan^2θ}{1+cot^2θ}$

= segundo ² θ/coseg ² θ

= $\frac{1}{cos^2θ}×\frac{sin^2θ}{1}$

= tan ² θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 6 Identidades trigonométricas – Ejercicio 6.1 | Serie 1

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

Pregunta 1. (1 – cos ² A) cosec ² A = 1

Pregunta 2. (1 + cot ² A) sen ² A = 1

Pregunta 3. tan ² θ cos ² θ = 1 − cos ² θ

Pregunta 4. cosec θ √(1 – cos ² θ) = 1

Pregunta 5. (seg ² θ − 1)(coseg ² θ − 1) = 1

Pregunta 6. tan θ + 1/tan θ = sec θ cosec θ

Pregunta 7. cos θ/(1 – sen θ) = (1 + sen θ)/cos θ

Pregunta 8. cos θ/(1 + sen θ) = (1 – sen θ)/cos θ

Pregunta 9. cos ² θ + 1/(1 + cot ² θ) = 1

Pregunta 10. sen ² A + 1/(1 + tan ² A) = 1

Pregunta 11. $\sqrt{\frac{1-cosθ}{1+cosθ}}$ = cosec θ − cot θ

Pregunta 12. (1 – cos θ)/sen θ = sen θ/(1 + cos θ)

Pregunta 13. sen θ/(1 – cos θ) = cosec θ + cot θ

Pregunta 14. (1 – sen θ)/(1 + sen θ) = (seg θ – tan θ) ²

Pregunta 15. $\frac{(1+cot^2θ)tanθ}{sec^2θ}=cotθ$

Pregunta 16. tan ² θ − sen ² θ = tan ² θ sen ² θ

Pregunta 17. (cosec θ + sen θ)(cosec θ – sen θ) = cot ² θ + cos ² θ

Pregunta 18. (sec θ + cos θ) (sec θ – cos θ) = tan ² θ + sen ² θ

Pregunta 19. sec A(1 – sin A) (sec A + tan A) = 1

Pregunta 20. (cosec A – sen A)(sec A – cos A)(tan A + cot A) = 1

Pregunta 21. (1 + tan ² θ)(1 – sen θ)(1 + sen θ) = 1

Pregunta 22. sen ² A cot ² A + cos ² A tan ² A = 1

Pregunta 23.

(i) cot θ – tan θ = $\frac{2cos^2θ-1}{sinθcosθ}$

(ii) tan θ – cot θ = $\frac{2sin^2θ-1}{sinθcosθ}$

Pregunta 24. (cos ² θ/sen θ) – cosec θ + sen θ = 0

Pregunta 25. $\frac{1}{1+sinA}+\frac{1}{1-sinA}=2sec^2A$

Pregunta 26. $\frac{1+sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{1+sinθ}=2secθ$

Pregunta 27. $\frac{(1+sinθ)^2+(1-sinθ)^2}{2cos^2θ}=\frac{1+sin^2θ}{1-sin^2θ}$

Pregunta 28. $\frac{1+tan^2θ}{1+cot^2θ}=tan^2θ$

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

Pregunta 1. (1 – cos 2 A) cosec 2 A = 1

Pregunta 2. (1 + cot 2 A) sen 2 A = 1

Pregunta 3. tan 2 θ cos 2 θ = 1 − cos 2 θ

Pregunta 4. cosec θ √(1 – cos 2 θ) = 1

Pregunta 5. (seg 2 θ − 1)(coseg 2 θ − 1) = 1

Pregunta 6. tan θ + 1/tan θ = sec θ cosec θ

Pregunta 7. cos θ/(1 – sen θ) = (1 + sen θ)/cos θ

Pregunta 8. cos θ/(1 + sen θ) = (1 – sen θ)/cos θ

Pregunta 9. cos 2 θ + 1/(1 + cot 2 θ) = 1

Pregunta 10. sen 2 A + 1/(1 + tan 2 A) = 1

Pregunta 11. = cosec θ − cot θ

Pregunta 12. (1 – cos θ)/sen θ = sen θ/(1 + cos θ)

Pregunta 13. sen θ/(1 – cos θ) = cosec θ + cot θ

Pregunta 14. (1 – sen θ)/(1 + sen θ) = (seg θ – tan θ) 2

Pregunta 15.

Pregunta 16. tan 2 θ − sen 2 θ = tan 2 θ sen 2 θ

Pregunta 17. (cosec θ + sen θ)(cosec θ – sen θ) = cot 2 θ + cos 2 θ

Pregunta 18. (sec θ + cos θ) (sec θ – cos θ) = tan 2 θ + sen 2 θ

Pregunta 19. sec A(1 – sin A) (sec A + tan A) = 1

Pregunta 20. (cosec A – sen A)(sec A – cos A)(tan A + cot A) = 1

Pregunta 21. (1 + tan 2 θ)(1 – sen θ)(1 + sen θ) = 1

Pregunta 22. sen 2 A cot 2 A + cos 2 A tan 2 A = 1

Pregunta 23.

(i) cot θ – tan θ =

(ii) tan θ – cot θ =

Pregunta 24. (cos 2 θ/sen θ) – cosec θ + sen θ = 0

Pregunta 25.

Pregunta 26.

Pregunta 27.

Pregunta 28.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 1. (1 – cos ² A) cosec ² A = 1

Pregunta 2. (1 + cot ² A) sen ² A = 1

Pregunta 3. tan ² θ cos ² θ = 1 − cos ² θ

Pregunta 4. cosec θ √(1 – cos ² θ) = 1

Pregunta 5. (seg ² θ − 1)(coseg ² θ − 1) = 1

Pregunta 9. cos ² θ + 1/(1 + cot ² θ) = 1

Pregunta 10. sen ² A + 1/(1 + tan ² A) = 1

Pregunta 11. $\sqrt{\frac{1-cosθ}{1+cosθ}}$ = cosec θ − cot θ

Pregunta 14. (1 – sen θ)/(1 + sen θ) = (seg θ – tan θ) ²

Pregunta 15. $\frac{(1+cot^2θ)tanθ}{sec^2θ}=cotθ$

Pregunta 16. tan ² θ − sen ² θ = tan ² θ sen ² θ

Pregunta 17. (cosec θ + sen θ)(cosec θ – sen θ) = cot ² θ + cos ² θ

Pregunta 18. (sec θ + cos θ) (sec θ – cos θ) = tan ² θ + sen ² θ

Pregunta 21. (1 + tan ² θ)(1 – sen θ)(1 + sen θ) = 1

Pregunta 22. sen ² A cot ² A + cos ² A tan ² A = 1

(i) cot θ – tan θ = $\frac{2cos^2θ-1}{sinθcosθ}$

(ii) tan θ – cot θ = $\frac{2sin^2θ-1}{sinθcosθ}$

Pregunta 24. (cos ² θ/sen θ) – cosec θ + sen θ = 0

Pregunta 25. $\frac{1}{1+sinA}+\frac{1}{1-sinA}=2sec^2A$

Pregunta 26. $\frac{1+sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{1+sinθ}=2secθ$

Pregunta 27. $\frac{(1+sinθ)^2+(1-sinθ)^2}{2cos^2θ}=\frac{1+sin^2θ}{1-sin^2θ}$

Pregunta 28. $\frac{1+tan^2θ}{1+cot^2θ}=tan^2θ$