Pregunta 49. Encuentra la suma de los primeros n números naturales impares.
Solución:
Los primeros números naturales impares son 1, 3, 5, 7, . . .2n – 1.
Primer término (a) = 1, diferencia común (d) = 3 – 1 = 2
y enésimo término (a n ) = 2n – 1.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
= n[1 + 2n – 1] / 2
= 2n 2 / 2
= norte 2
Por lo tanto, la suma de los primeros n números naturales impares es n 2 .
Pregunta 50. Encuentra la suma de
(i) todos los números impares entre 0 y 50.
Solución:
Todos los números impares entre 0 y 50 son 1, 3, 5, 7, . . . 49.
primer término(a) = 1, diferencia común(d) = 3 – 1 = 2
y enésimo término (a n ) = 49.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 49 = 1 + (n – 1)2
=> 2(n – 1) = 48
=> norte – 1 = 24
=> norte = 25
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 25 = 25[1 + 49] / 2
= 25[25]
= 625
Por lo tanto, la suma de todos los números impares entre 0 y 50 es 625.
(ii) todos los números impares entre 100 y 200.
Solución:
Todos los números impares entre 100 y 200 son 101,103,105,107, . . . 199.
Primer término(a) = 101,
diferencia común (d) = 103 – 101 = 2
y enésimo término (a n ) = 199.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 199 = 101 + (n – 1)2
=> 2(n – 1) = 98
=> n – 1 = 49
=> norte = 50
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 50 = 50[101 + 199]/2
= 25[300]
= 7500
Por lo tanto, la suma de todos los números impares entre 100 y 200 es 7500.
Pregunta 51. Demuestre que la suma de todos los números impares entre 1 y 1000 que son divisibles por 3 es 83667.
Solución:
Los enteros impares entre 1 y 1000 que son divisibles por 3 son 3, 9, 15, . . . .999.
Primer término (a) = 3, diferencia común (d) = 9 – 3 = 6
y enésimo término (a n ) = 999.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 999 = 3 + (n – 1)6
=> 6(n – 1) = 996
=> n – 1 = 166
=> n = 167
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 167 = 167[3 + 999] / 2
= 167[501]
= 83667
Por lo tanto Probado.
Pregunta 52. Encuentra la suma de todos los números enteros entre 84 y 719, que son múltiplos de 5.
Solución:
Los enteros entre 84 y 719, que son múltiplos de 5 son 85, 90, 95, 100, . . . . 715.
Primer término (a) = 85, diferencia común (d) = 90 – 85 = 5 y enésimo término (a n ) = 715.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 715 = 85 + (n – 1)5
=> 5(n – 1) = 630
=> n – 1 = 126
=> norte = 127
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 127 = 127[85 + 715] / 2
= 127[400]
= 50800
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 84 y 719, que son múltiplos de 5, es 50800.
Pregunta 53. Encuentra la suma de todos los números enteros entre 50 y 500 que son divisibles por 7.
Solución:
Todos los números enteros entre 50 y 500 que son divisibles por 7 son 56, 63, 70, 77, . . . . 497.
Primer término (a) = 56, diferencia común (d) = 63 – 56 = 7 y enésimo término (a n ) = 497.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 497 = 56 + (n – 1)7
=> 7(n – 1) = 441
=> n – 1 = 63
=> norte = 64
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 64 = 64[56 + 497] / 2
= 64[553]
= 17696
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 50 y 500 que son divisibles por 7 es 17696.
Pregunta 54. Encuentra la suma de todos los números pares entre 101 y 999.
Solución:
Todos los enteros pares entre 101 y 999 son 102, 104, 106, 108, . . . . 998.
Primer término (a) = 102, diferencia común (d) = 104 – 102 = 2 y enésimo término (a n ) = 998.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 998 = 102 + (n – 1)2
=> 2(n – 1) = 896
=> n-1 = 448
=> norte = 449
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 449 = 449[102 + 998] / 2
= 449[550]
= 246950
Por lo tanto, la suma de todos los números pares entre 101 y 999 es 246950.
Pregunta 55. Encuentra la suma de todos los números enteros
(i) entre 100 y 550 que son divisibles por 9
Solución:
Todos los números enteros entre 100 y 550 que son divisibles por 9 son 108, 117, 126, 135, . . . .549.
Primer término (a) = 108, diferencia común (d) = 117 – 108 = 9 y enésimo término (a n ) = 549.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 549 = 108 + (n – 1)9
=> 9(n – 1) = 441
=> n – 1 = 49
=> norte = 50
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 50 = 50[108 + 549]/2
= 25[657]
= 16425
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 100 y 550 que son divisibles por 9 es 16425.
(ii) entre 100 y 550 que no son divisibles por 9
Solución:
Todos los números enteros entre 100 y 550 que son divisibles por 9 son 108, 117, 126, 135, . . . .549.
Primer término (a) = 108, diferencia común (d) = 117 – 108 = 9 y enésimo término (a n ) = 549.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 549 = 108 + (n – 1)9
=> 9(n – 1) = 441
=> n – 1 = 49
=> norte = 50
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 50 = 50[108 + 549] / 2
= 25[657]
= 16425
Ahora sabemos,
Suma de enteros entre 100 y 550 que no son divisibles por 9 = Suma de enteros entre 100 y 550 – Suma de enteros entre 100 y 550 que son divisibles por 9
= [101+102+103+104+. . . . .+549] – S 50
= [1+2+3+4+. . . . +549] – [1+2+3+4+. . . .+100] – 16425
= 549[550]/2 – 100[101]/2 – 16425
= 150975 – 5050 – 16425
= 129500
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 100 y 550 que no son divisibles por 9 es 129500.
(iii) entre 1 y 500 que son múltiplos tanto de 2 como de 5.
Solución:
Todos los números enteros entre 1 y 500 que son múltiplos de 2 y de 5 son 10, 20, 30, 40, . . . .490.
Primer término (a) = 10, diferencia común (d) = 20 – 10 = 10 y enésimo término (a n ) = 490.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 490 = 10 + (n – 1)10
=> 10(n – 1) = 480
=> n – 1 = 48
=> norte = 49
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 49 = 49[10 + 490] / 2
= 49[250]
= 12250
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 1 y 500 que son múltiplos de 2 y de 5 es 12250.
(iv) de 1 a 500 que son múltiplos tanto de 2 como de 5.
Solución:
Todos los números enteros del 1 al 500 que son múltiplos de 2 y de 5 son 10, 20, 30, 40, . . . .500.
Primer término (a) = 10, diferencia común (d) = 20 – 10 = 10 y enésimo término (a n ) = 500.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 500 = 10 + (n – 1)10
=> 10(n – 1) = 490
=> n – 1 = 49
=> norte = 50
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 50 = 50[10 + 500]/2
= 25[510]
= 12750
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros del 1 al 500 que son múltiplos de 2 y de 5 es 12750.
(v) de 1 a 500 que sean múltiplos de 2 o de 5.
Solución:
Los números enteros del 1 al 500 que son múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8, . . . .500.
Primer término (a) = 2, diferencia común (d) = 4 – 2 = 2 y enésimo término (a n ) = 500.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
500 = 2 + (n – 1)2
=> 2(n–1) = 498
=> n–1 = 249
=> n = 250
Sea S 1 la suma de este AP Por lo tanto, S 1 = 250[2 + 500] / 2 = 125[502] = 62750.
Los números enteros del 1 al 500 que son múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, . . . .500.
Primer término (a) = 5, diferencia común (d) = 10 – 5 = 5 y enésimo término (a n ) = 500.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
500 = 5 + (n – 1)5
=> (n – 1)5 = 495
=> n-1 = 99
=> n = 100
Sea S 2 la suma de este AP Por lo tanto, S 2 = 100[5 + 500] / 2 = 50[505] = 25250.
Los enteros del 1 al 500 que son múltiplos de 2 y de 5 son 10, 20, 30. . . .500.
Sabemos, 500 = 10 + (n – 1)10
=> 10(n – 1) = 490
=> n – 1 = 49
=> norte = 50
Sea S 3 la suma de este AP Por lo tanto, S 3 = 50[10 + 500] / 2 = 25[510] = 12750.
Por lo tanto, suma requerida = S 1 + S 2 – S 3
= 62750 + 25250 – 12750
= 75250
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros del 1 al 500 que son múltiplos de 2 o 5 es 75250.
Pregunta 56. Sea un AP con primer término a y diferencia común d. Si a n denota su n-ésimo término y S n es la suma de los primeros n términos, entonces encuentre:
(i) n y S n , si a = 5, d = 3 y a n = 50.
Solución:
Dado AP tiene a = 5, d = 3 y a n = 50.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 50 = 5 + (n – 1)3
=> 3(n – 1) = 45
=> n – 1 = 15
=> n = 16
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
S 16 = 16 [5 + 50] / 2
= 8[55]
= 440
Por lo tanto, el valor de n es 16 y la suma es 440.
(ii) n y a, si a n = 4, d = 2 y S n = –14
Solución:
Dado que AP tiene d = 2, a n = 4 y S n = –14.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 4 = un + (n – 1)2
=> 4 = un + 2n – 2
=> a = 6 – 2n . . . . (1)
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
=> –14 = n[un + 4] / 2
=> n[a + 4] = –28
=> n[6 – 2n + 4] = –28 [Usando la ecuación (1)]
=> 10n – 2n 2 = –28
=> n 2 – 5n – 14 = 0
=> n 2 – 7n + 2n – 14 = 0
=> n(n-7) + 2(n-2) = 0
=> (n – 7) (n + 2) = 0
=> n = 7 o n = –2
Ignorar n = –2 como número de términos no puede ser negativo. Entonces, obtenemos n = 7.
Al poner n = 7 en (1), obtenemos, a = 6 – 2(7) = –8
Por lo tanto, el valor de n es 7 y a es –8.
(iii) d, si a = 3, n = 8 y S n = 192
Solución:
Dado que AP tiene a = 3, n = 8 y S n = 192.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Asi que,
=> 192 = 8[2(3) + (8 – 1)d] / 2
=> 4[6+7d] = 192
=> 6+7d = 48
=> 7d = 42
=> re = 6
Por lo tanto, el valor de d es 6.
(iv) a si a n = 28, S n = 144 y n = 9
Solución:
Dado AP tiene un n = 28, S n = 144 y n = 9.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
=> 144 = 9[un + 28] / 2
=> un + 28 = 32
=> un = 4
Por lo tanto, el valor de a es 4.
(v) n y d si a = 8, a n = 62 y S n = 210
Solución:
Dado que AP tiene a = 8, a n = 62 y S n = 210.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Asi que,
=> 210 = n[8 + 62] / 2
=> 70n = 420
=> norte = 6
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 62 = 8 + (6 – 1)d
=> 5d = 54
=> re = 54/5
Por lo tanto, el valor de n es 6 y d es 54/5.
(vi) n y a n , si a = 2, d = 8 y S n = 90.
Solución:
Dado AP tiene a=2, d=8 y S n =90.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Asi que,
=> 90 = n[2(2) + (n – 1)8] / 2
=> 90 = n[2 + 4n – 4)]
=> 4n 2 – 2n – 90 = 0
=> 4n 2 – 20n + 18n – 90 = 0
=> 4n(n-5) + 18n(n-5) = 0
=> (n – 5) (4n + 18) = 0
=> n = 5 o n = –9/2
Ignorando n = –9/2 ya que n no puede ser una fracción además de negativa. Entonces, obtenemos n = 5.
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
= 2 + (5 – 1)8
= 2 + 32
= 34
Por lo tanto, el valor de n es 5 y an es 34.
(vii) k, si S n = 3n 2 + 5n y a k = 164.
Solución:
Dado S n = 3n 2 + 5n,
Al poner n = 1, obtenemos el primer término(a), S 1 = a = 3(1) 2 + 5(1) = 8
Al poner n = 2 da S 2 = a + a + d = 3(2) 2 + 5(2) = 22
=> re = 22 – 2a
=> d = 22–16 = 6
El k-ésimo término del AP, a k = a + (k – 1)d = 164
=> 8 + (k – 1)6 = 164
=> 6k = 162
=> k = 27
Por lo tanto, el valor de k es 27.
(viii) S 22 , si d = 22 y a 22 = 149
Solución:
Sabemos, a 22 = a + 21d = 149 . . . . (1)
Al poner d = 22 (dado) en la ecuación (1), obtenemos
=> un + 21(22) = 149
=> a = 149 – 462
=> a = –313
Sabemos, S 22 = 22[a + a 22 ] / 2
= 22[–313 + 149] / 2
= 11[164]
= 1804
Por lo tanto, el valor de la suma es 1804.
Pregunta 57. Si S n denota la suma de los primeros n términos de un AP, demuestre que S 12 = 3 (S 8 – S 4 ).
Solución:
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Asi que,
Por lo tanto, LHS = S 12 = 12[2a + (12 – 1)d] / 2
= 6[12a + 11d]
= 12a + 66d
RHS = 3(S 8 – S 4 )
= 3[8(2a + (8 – 1)d) / 2 – 4(2a + (4 – 1)d) / 2]
= 3[4(2a + 7d) – 2(2a + 3d)]
= 3[8a + 28d – 4a – 6d]
= 3[4a + 22d]
= 12a + 66d
= LHS
Por lo tanto probado.
Pregunta 58. Un ladrón, después de cometer un robo, corre a una velocidad uniforme de 50 m/minuto. Después de 2 minutos, un policía corre a atraparlo. Recorre 60 m en el primer minuto y aumenta su velocidad en 5 m/minuto cada minuto subsiguiente. ¿Después de cuántos minutos, el policía atrapará al ladrón?
Solución:
Supongamos que n minutos es el tiempo que tarda el policía en atrapar al ladrón.
Dado que el policía comenzó a correr 2 minutos después, el ladrón corrió durante (n + 2) minutos.
Por lo tanto, distancia recorrida por el ladrón = Velocidad × Tiempo = 50(n + 2) metros.
Velocidad de la policía después de cada minuto son: 60, 65, 70,. . . .
Estos forman un AP con primer término (a) = 60 y diferencia común (d) = 65 – 60 = 5
Distancia total recorrida por la policía en n minutos = n[2(60) + (n – 1)5] / 2
= n[120 + 5n – 5] / 2
= n[115 + 5n] / 2
Ahora, según la pregunta,
Distancia recorrida por el ladrón en (n + 2) minutos = Distancia recorrida por la policía en n minutos
=> 50(n + 2) = n[115 + 5n] / 2
=> 100(n + 2) = 115n +5n 2
=> 5n 2 + 15n – 200 = 0
=> n 2 + 3n + 40 = 0
=> n 2 + 8n – 5n + 40 = 0
=> n(n+8) – 5(n+8)
=> n = 5 o n = – 8
Ignorando n = – 8 como el tiempo no puede ser negativo. Entonces, obtenemos n = 5.
Por lo tanto, después de 5 minutos, el policía atrapará al ladrón.
Pregunta 59. Las sumas de los primeros n términos de tres AP son S 1 , S 2 y S 3 . El primer término de cada uno es 5 y sus diferencias comunes son 2, 4 y 6 respectivamente. Demuestre que S 1 + S 3 = 2S 2 .
Solución:
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Según la pregunta,
S 1 = n[2(5)+(n – 1)2] / 2 = n[8 + 2n] / 2 = 4n + n 2
S 2 = n[2(5) + (n – 1)4] / 2 = n[6 + 4n] / 2 = 3n + 2n 2
S 3 = n[2(5) + (n – 1)6] / 2 = n[4 + 6n] / 2 = 2n + 3n 2
Ahora, LHS = (4n + n 2 ) + (2n + 3n 2 )
= 6n + 4n 2
= 2[3n + 2n 2 ]
= 2S 2
Por lo tanto probado.
Pregunta 60. Resham quería ahorrar al menos Rs. 6500 por enviar a su hija a la escuela el próximo año (después de 12 meses). Ella ahorró Rs. 450 en el primer mes y aumentó su dicho por Rs.20 cada próximo mes. ¿Cuánto podrá ahorrar en los próximos 12 meses? ¿Podrá enviar a su hija a la escuela el próximo año?
Solución:
Dado que Resham ha ahorrado en la siguiente secuencia en un año (registro de cada mes): 450, 470, 490,. . . .
Esta secuencia es un AP con primer término (a) = 450 y diferencia común (d) = 20.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Asi que,
Ahora, la suma de los ahorros después de 12 meses sería S 12 ya que el valor de n en este caso es 12.
S12 = 12 [2(450) + (12 – 1)20] / 2
= 6[900 + 220]
= 6[1120]
= 6720
Entonces, Resham ahorraría Rs 6720 al final de 12 meses, que es más que Rs 6500,
ella podría enviar a su hija a la escuela el próximo año.
Pregunta 61. En una escuela, los estudiantes decidieron plantar árboles dentro y alrededor de la escuela para reducir la contaminación del aire. Se decidió que el número de árboles, que cada sección de cada clase plantará, será el doble de la clase en la que están estudiando. Si hay de 1 a 12 clases en la escuela y cada clase tiene dos secciones, encuentre cuántos árboles plantaron los estudiantes.
Solución:
Árboles plantados por el estudiante en una clase A = 2(A) [Ya que hay 2 secciones para cada clase.]
Los árboles plantados por los estudiantes de la clase 1 a la 12 en secuencia se pueden escribir como:
4, 8, 12,………., 48
Primer término(a) = 4 y diferencia común, d = 8 − 4 = 4
Usando la fórmula del enésimo término de un AP
un norte = un + ( n – 1)d
Asi que,
=> 48 = 4 + (n − 1)4
=> 4(n − 1) = 44
=> norte – 1 = 11
=> norte = 12
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte[un + un norte ] / 2
Según la pregunta,
Número de árboles plantados = Suma de la serie AP = S 12
= 12[4+48]/2 = 6[52] = 312
Por lo tanto, los estudiantes plantaron 312 árboles.
Pregunta 62. Ramkali necesitaría Rs. 1800 para la cuota de admisión y libros, etc., para que su hija comience a ir a la escuela a partir del próximo año. Ella ahorró Rs. 50 en el primer mes de este año y aumentó su ahorro mensual en Rs. 20. Después de un año, ¿cuánto dinero ahorrará? ¿Podrá cumplir su sueño de enviar a su hija a la escuela?
Solución:
Dado que Ramkali ha ahorrado en la siguiente secuencia en un año (registro de cada mes): 50, 70, 90,. . . .
Primer término (a) = 50 y diferencia común (d) = 20.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Asi que,
Ahora, la suma de los ahorros después de 1 año (12 meses) sería S 12 ya que el valor de n en este caso es 12.
S 12 = 12[2(50) + (12 – 1)20] / 2
= 6[100 + 220]
= 6[320]
= 1920
Por lo tanto, Resham ahorraría Rs 1920 al final de 1 año (12 meses), que es
superior a Rs 1800, podría cumplir su sueño de enviar a su hija a la escuela.
Pregunta 63. Un hombre ahorró Rs 16500 en diez años. En cada año después del primero, ahorró 100 rupias más que el año anterior. ¿Cuánto ahorró en el primer año?
Solución:
Entonces, la diferencia común (d) = 100 y la suma de los ahorros hechos en 10 años (S 10 ) = 16500
Tenemos que encontrar los ahorros en el primer año, es decir, el primer término (a).
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Asi que,
=> S 10 = 16500
=> 10[2a + (10 – 1)100] / 2 = 16500
=> 5[2a + 900] = 16500
=> 10a = 16500 – 4500
=> 10a = 12000
=> un = 1200
Por lo tanto, el valor de los ahorros en el primer año es 1200.
Pregunta 64. Un hombre ahorró 32 rupias durante el primer año, 36 rupias durante el segundo año y de esta manera aumenta sus ahorros en 4 rupias por año. ¿En qué tiempo sus ahorros serían Rs 200?
Solución:
Entonces, el primer término (a) = 32 y la diferencia común (d) = 4.
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Aquí, S n = 200
Asi que,
=> n[2(32) + (n – 1)4] / 2 = 200
=> n[64 + 4n – 4] / 2 = 200
=> n[60 + 4n] / 2 = 200
=> 2n 2 + 30n – 200 = 0
=> n 2 + 15n – 100 = 0
=> n 2 + 20n – 5n – 100 = 0
=> n(n+20) – 5(n+20) = 0
=> (n – 5) (n + 20) = 0
=> n = 5 o n = –20
Ignorar n = –20 como número de términos no puede ser negativo. Entonces, obtenemos n = 5.
Por lo tanto, en 5 años sus ahorros serían de 200 rupias.
Pregunta 65. Un hombre se las arregla para pagar su deuda de Rs 3600 en 40 cuotas anuales que forman una serie aritmética. Cuando se pagan 30 de las cuotas, muere dejando un tercio de la deuda sin pagar. Encuentre el valor de la primera cuota.
Solución:
Dado que las cuotas van formando una serie aritmética.
Sea a el primer término del AP y d la diferencia común.
Ahora, cantidad de 40 cuotas = Rs 3600
=> S 40 = 3600
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
=> 40[2a + (40 – 1)d] / 2 = 3600
=> 2a + 39d = 180 . . . . (1)
Monto de 30 cuotas = Rs 3600 – Rs [3600 / 3] = 3600 – 1200 = 2400
=> $30 = 2400
=> 30[2a + (30 – 1)d] / 2 = 2400
=> 2a + 29d = 160 . . . . (2)
Al restar la ecuación (2) de (1), obtenemos,
=> (2a + 39d) – (2a + 29d) = 180 – 160
=> 10 días = 20
=> re = 2
Al poner d = 2 en (1), obtenemos,
=> 2a + 39(2) = 180
=> 2a = 180–78
=> 2a = 102
=> un = 51
Por lo tanto, el valor de la primera cuota es 51.
Pregunta 66. Hay 25 árboles a distancias iguales de 5 metros en una línea con un pozo, la distancia del pozo al árbol más cercano es de 10 metros. Un jardinero riega todos los árboles por separado comenzando por el pozo y regresa al pozo después de regar cada árbol para obtener agua para el siguiente. Halla la distancia total que recorrerá el jardinero para regar todos los árboles.
Solución:
Número dado de árboles (n) = 25.
Distancia recorrida por el jardinero durante el riego del primer árbol = 2(10) = 20 metros
Distancia recorrida por el jardinero durante el riego del segundo árbol = 2(10 + 5) = 30 metros
Distancia recorrida por el jardinero durante el riego del tercer árbol = 2(10 + 5 + 5) = 40 metros
Entonces, primer término (a) = 20 y diferencia común (d) = 30 – 20 = 10 metros.
Distancia total recorrida para regar 25 árboles = Suma de 25 términos de AP = S 25
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
obtenemos
= 25[2(20) + (25 – 1)10] / 2
= 25[40 + 240] / 2
= 25[140]
= 3500 metros
Por lo tanto, la distancia total que recorrerá el jardinero para regar todos los árboles es de 3500 metros.
Pregunta 67. Se emplea a un hombre para contar Rs 10710. Cuenta a razón de Rs 180 por minuto durante media hora. Después de esto, cuenta a razón de 3 rupias menos cada minuto que el minuto anterior. Encuentre el tiempo que tardó en contar la cantidad total.
Solución:
Cantidad total a contar = Rs 10710.
Cantidad que el hombre contaría a razón de 180 rupias por minuto durante 1/2 hora = 180(30) = 5400 rupias
Ahora la cantidad restante antes de que la tasa comience a disminuir = 10710–5400 = Rs 5310
Esta cantidad de 5310 se cuenta a razón de 3 rupias menos cada minuto que el minuto anterior.
Entonces, primer término(a) = 5310/30 = 177, diferencia común = –3 y S n = 5310
Ahora usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Obtenemos
=> n[2(177) + (n – 1)(–3)] / 2 = 5310
=> n[357 – 3n] = 10620
=> 3n 2 – 357n + 10620 = 0
=> n 2 – 119n + 3540 = 0
=> n 2 – 60n – 59n + 3540 = 0
=> n(n-60)-59(n-60) = 0
=> n = 60 o n = 59
Ignorando n = 60 ya que n no puede ser mayor o igual a 60. Entonces, obtenemos n = 59.
Entonces, tiempo total empleado = 30+59 = 89 minutos.
Por lo tanto, el tiempo que tarda en contar la cantidad total es de 89 minutos.
Pregunta 68. Una pieza de equipo le costó a cierta fábrica 600.000 rupias. Si se deprecia en valor, 15% el primero, 13,5% el segundo año, 12% el tercer año y así sucesivamente. ¿Cuál será su valor al final de 10 años, todos los porcentajes se aplican al costo original?
Solución:
Costo del equipo = Rs 600,000
Valor de depreciación en el primer año = 15% de 600,000 = 90,000
Valor de depreciación en el segundo año = 13.5% de 600000 = 81,000
Valor de depreciación en el tercer año = 12% de 600000 = 72,000
Entonces, primer término (a) = 90000 y diferencia común (d) = 81000 – 90000 = –9000.
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Monto total de depreciación en 10 años = S 10
= 10[2(90000) + (10 – 1)(–9000)] / 2
= 5[180000 – 81000]
= 5[99000]
= 495.000 rupias
Valor del equipo = Costo – Depreciación al final de 10 años
= 600000 – 495000
= 105000 rupias
Por lo tanto, el valor al final de 10 años es de 105 000 rupias.
Pregunta 69 Se utilizará una suma de 700 rupias para otorgar siete premios en efectivo a estudiantes de una escuela por su rendimiento académico general. Si cada premio es 20 rupias menos que el premio anterior, encuentre el valor de cada premio.
Solución:
Monto total que se tiene que dar (S 7 ) = Rs 700
Número de premios (n) = 7
Como cada premio es 20 rupias menos que el premio anterior,
estos premios están formando un AP con diferencia común (d) = –20
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
=> 700 = 7[2(a) + (7 – 1)(–20)] / 2
=> 2a – 120 = 200
=> 2a = 320
=> un = 160
El valor del 1er premio = 160
El valor del segundo premio = 160 – 20 = Rs 140
El valor del 3er premio = 140 – 20 = Rs 120
El valor del cuarto premio = 120 – 20 = Rs 100
El valor del quinto premio = 100 – 20 = 80 rupias
El valor del sexto premio = 80 – 20 = Rs 60
El valor del 7mo premio = 60 – 20 = Rs 40
Pregunta 70. Si S n denota la suma de los primeros n términos de un AP, demuestre que S 30 = 3 (S 20 – S 10 ).
Solución:
Tomemos LHS
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Obtenemos
S 30 = 30[2a + (30 – 1)d] / 2
= 15[2a + 29d]
RHS = 3(S 20 – S 10 ).
= 3[20[2a + (20 – 1)d] / 2 – 10[2a + (10 – 1)d] / 2]
= 3[10(2a + 19d) – 5(2a + 9d)]
= 3[20a + 190d – 10a – 45d]
= 3[10a + 145d]
= 3 × 5[2a + 29d]
= 15[2a + 29d]
= $30
Por lo tanto probado.
Pregunta 71. Resuelve la ecuación (-4) + (-1) + 2 + 5 + …. + x = 437.
Solución:
Entonces, primer término (a) = –4, diferencia común (d) = –1 – (–4) = 3, último término (a n ) = x y suma (S n ) = 437.
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Obtenemos
=> 437 = n[2(–4) + (n – 1)3] / 2
=> 874 = n[–8 + 3n – 3]
=> 3n 2 – 11n – 874 = 0
=> 3n 2 – 57n + 46n – 874 = 0
=> 3n(n-19) + 46(n-19) = 0
=> n = 19 o n = –46/3
Ignorando n = –46/3 ya que n no puede ser una fracción además de negativa. Entonces, obtenemos n = 19.
Ahora, sabemos que el término n de un PA viene dado por n = a + (n – 1)d.
=> x = –4 + (19 – 1)3
=> x = –4 + 54
=> x = 50
Por lo tanto, el valor de x es 50.
Pregunta 72. ¿Qué término del AP -2, -7, -12,…, será -77? Encuentre la suma de este AP hasta el término -77.
Solución:
Dado que AP tiene el primer término (a) = –2, diferencia común (d) = –7 – (–2) = –5, y dado el término (a n ) = –77
Ahora, sabemos que el término n de un PA viene dado por n = a + (n – 1)d.
=> –77 = –2 + (n – 1)(–5)
=> –5(n – 1) = –75
=> n – 1 = 15
=> n = 16
Usando la fórmula de la suma de n términos de un AP
S norte = norte [2a + ( n – 1) d] / 2
Entonces, suma hasta el término –77 = S 16
= 16[2(–2) + (16 – 1)(–5)]/2
= 8[–4 – 75]
= 8[–79]
= –632
Por lo tanto, el término 16 de AP será -77 y la suma de este término es -632.
Pregunta 73. La suma de los n primeros términos de un AP cuyo primer término es 8 y la diferencia común es 20 es igual a la suma de los 2n primeros términos de otro AP cuyo primer término es -30 y la diferencia común es 8. Halla n .
Solución:
Supongamos que S 1 es la suma de los primeros n términos de un AP
cuyo primer término es 8 y la diferencia común es 20.
Por lo tanto, S 1 = n[2(8) + (n – 1)20] / 2
= n[16 + 20n – 20] / 2
= n[10n – 2]
Supongamos que S 2 es la suma de los primeros 2n términos de otro AP
cuyo primer término es -30 y la diferencia común es 8.
Por lo tanto, S 2 = 2n[2(–30) + (2n – 1)8] / 2
= n[–60 + 16n – 8]
= n[16n – 68]
De acuerdo con la pregunta, tenemos
=> S 1 = S 2
=> n[10n – 2] = n[16n – 68]
=> 10n – 2 = 16n – 68
=> 6n = 66
=> norte = 11
Por lo tanto, el valor de n es 11.
Pregunta 74. Los estudiantes de una escuela decidieron embellecer la escuela en el día anual colocando banderas de colores en el pasillo recto de la escuela. Disponen de 27 banderas para ser fijadas a intervalos de cada 2 metros. Las banderas se almacenan en la posición de la bandera más central. A Ruchi se le dio la responsabilidad de colocar las banderas. Ruchi guardaba sus libros donde se guardaban las banderas. Solo podía llevar una bandera a la vez. ¿Cuánta distancia recorrió para completar este trabajo y regresar a recoger sus libros? ¿Cuál es la distancia máxima que recorrió con una bandera?
Solución:
Ruchi tiene que fijar 13 banderas a la izquierda de la posición media, 1 bandera en la posición media y
26 banderas restantes a la derecha de la posición media.
Distancia recorrida al fijar la 1.ª bandera a la izquierda de la posición media = 2 + 2 = 4 m
Distancia recorrida fijando la 2ª bandera a la izquierda de la posición media = 4 + 4 = 8m
Distancia recorrida al colocar la tercera bandera a la izquierda de la posición central = 8 + 8 = 16 m
Entonces, primer término (a) = 4, diferencia común (d) = 8 – 4 = 4, número de términos = 13
y último término(a 13 ) = 26+26 = 52m
Así que usamos la suma de n términos de un PA: S n = n[2a + (n – 1)d] / 2.
Entonces, Distancia recorrida al fijar banderas a la izquierda de la posición media = Suma de 13 términos del AP
= 13[2(4) + (13 – 1)4] / 2
= 13[8 + 48]/2
= 13[28]
= 364
Distancia total recorrida = 2 × 364 = 728m
Por lo tanto, la distancia máxima que recorrió Ruchi llevando una bandera
sería la distancia que recorrió llevando la última bandera
a la izquierda o a la derecha, que en nuestro caso son 26m.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA