Pregunta 1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Da una razón para apoyar tu respuesta.
(i) Para cualesquiera dos conjuntos A y B AB o B A.
(ii) Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito.
(iii) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.
(iv) Todo conjunto tiene un subconjunto propio.
(v) {a, b, a, b, a, b,….} es un conjunto infinito.
(vi) {a, b, c} y {1, 2, 3} son conjuntos equivalentes.
(vii) Un conjunto puede tener infinitos subconjuntos.
Solución:
(i) Falso
No es obligatorio que dos conjuntos A y B sean AB o B A.
(ii) Falso
Consideremos un conjunto, A = {2,3,4}.
Es un subconjunto finito con un conjunto infinito N de números naturales.
(iii) Verdadero
Un conjunto finito nunca puede tener un subconjunto infinito.
Por tanto, todo subconjunto de un conjunto finito es finito.
(iv) Falso
El conjunto nulo, también conocido como conjunto vacío, no tiene un subconjunto adecuado.
(v) Falso
Un conjunto nunca puede tener entradas duplicadas.
Eliminando las duplicaciones, el conjunto {a, b} se convierte en un conjunto finito.
(vi) Cierto
Los conjuntos equivalentes tienen el mismo número de elementos. Ambos conjuntos tienen tres elementos, por lo tanto, son equivalentes.
(vii) Falso
Consideremos, un conjunto A = {1}
Los subconjuntos de este conjunto A pueden ser ϕ y {1} que son finitos.
Pregunta 2. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(yo) 1 ∈ {1,2,3}
(ii) un ⊂ {b,c,a}
(iii) {a} ∈ {a,b,c}
(iv) {a, b} = {a, a, b, b, a}
(v) El conjunto {x: x + 8 = 8} es el conjunto nulo.
Solución:
(yo) Verdadero
1 es parte del conjunto dado, por lo tanto pertenece a este conjunto {1, 2, 3} .
(ii) Falso
Dado que a es un elemento y no un subconjunto de un conjunto {b, c, a}, esta afirmación es falsa.
(iii) Falso
Dado que {a} no es un elemento sino un subconjunto del conjunto {b, c, a}.
(iv) Verdadero
Un conjunto no puede tener entradas duplicadas. Por lo tanto, al eliminar las entradas duplicadas de RHS, los conjuntos se vuelven equivalentes.
(v) Falso
Dado, x+8 = 8
Resolviendo obtenemos, x = 0
Por lo tanto, el conjunto dado se convierte en un conjunto de una sola tonelada con el único elemento que es {0}. Donde, no es un conjunto nulo.
Pregunta 3. Decida entre los siguientes conjuntos, cuáles son subconjuntos de los cuales:
A = {x: x satisface x 2 – 8x + 12 = 0}, B = {2,4,6}, C = {2,4,6,8,….}, D = {6}
Solución:
Tenemos,
A = x2 – 8x + 12= 0
Resolviendo obtenemos,
⇒ (x–6) (x–2) =0
Resolviendo para x,
⇒ x = 2 o x = 6
Por lo tanto,
A = {2, 6}
Dado,
B = {2, 4, 6}
C = {2, 4, 6, 8}
re = {6}
Por lo tanto,
re ⊂ UN ⊂ segundo ⊂ C
Pregunta 4. Escribe cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifica tu respuesta.
(i) El conjunto de todos los números enteros está contenido en el conjunto de todos los números racionales.
(ii) El conjunto de todos los cuervos está contenido en el conjunto de todas las aves.
(iii) El conjunto de todos los rectángulos está contenido en el conjunto de todos los cuadrados.
(iv) El conjunto de todos los rectángulos está contenido en el conjunto de todos los cuadrados.
(v) Los conjuntos P = {a} y B = {{a}} son iguales.
(vi) Los conjuntos A={x: x es una letra de la palabra “PEQUEÑO”} Y, b = {x: x es una letra de la palabra “TÍTULO”} son iguales.
Solución:
(yo) Verdadero
Un número racional es un número fraccionario que está representado por la forma p/q donde p y q son números enteros donde q no es igual a 0. Sustituyendo, q = 1, obtenemos p=q, que es un número entero.
(ii) Verdadero
Los cuervos también son pájaros, por lo que todos los cuervos están contenidos en el conjunto de todos los pájaros.
(iii) Falso
Cada cuadrado puede ser un rectángulo, donde la longitud y el ancho del rectángulo son iguales. Pero, lo contrario no es cierto, es decir, no todo rectángulo puede ser un cuadrado.
(iv) Falso
Cada cuadrado puede ser un rectángulo, donde la longitud y el ancho del rectángulo son iguales. Pero, lo contrario no es cierto, es decir, no todo rectángulo puede ser un cuadrado.
(v) Falso
Tenemos,
PAG = {a}
B = {{un}}
Pero, {a} = P
B = {P}
Por lo tanto, no son equivalentes.
(vi) Cierto
Tenemos,
A = Para “PEQUEÑO”
A = {L, YO, T, E} = {E, YO, L, T}
B = Para “TÍTULO”
B = {T, YO, L, E} = {E, YO, L, T}
Por lo tanto,
A = B
Pregunta 5. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Escribe una forma correcta de cada una de las afirmaciones incorrectas.
(i) un ⊂ {a, b, c}
(ii) {a} {a, b, c}
(iii) un {{a}, b}
(iv) {a} ⊂ {{a}, b}
(v) {b, c} ⊂ {a, {b, c}}
(vi) {a, b} ⊂ {a, {b, c}}
(vii) ϕ {a, b}
(viii) ϕ ⊂ {a, b, c}
(ix) {x: x + 3 = 3}= ϕ
Solución:
(i) Falso
a no es un subconjunto del conjunto dado sino que pertenece al conjunto dado. Es solo un elemento.
La forma correcta es – a ∈ {a, b, c}
(ii) En este {a} es un subconjunto de {a, b, c}
La forma correcta es – {a} ⊂ {a, b, c}
(iii) Falso
‘a’ no es el elemento del conjunto.
La forma correcta es – {a} ∈ {{a}, b}
(iv) Falso
{a} no es un subconjunto del conjunto dado.
La forma correcta es – {a} ∈ {{a}, b}
(v) {b, c} no es un subconjunto del conjunto dado. Pero pertenece al conjunto dado.
La forma correcta es – {b, c} ∈ {a,{b, c}}
(vi) {a, b} no es un subconjunto de un conjunto dado.
La forma correcta es – {a, b}⊄{a,{b, c}}
(vii) ϕ no pertenece al conjunto dado pero es un subconjunto.
La forma correcta es – ϕ ⊂ {a, b}
(viii) Cierto
Es la forma correcta. ϕ es un subconjunto de todo conjunto.
(ix) x + 3 = 3
Evaluando, obtenemos,
x = 0 = {0}, que no es ϕ
La forma correcta es – {x: x + 3 = 3} ≠ ϕ
Pregunta 6. Sea A = {a, b, {c, d}, e}. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y por qué?
(i) {c, d} ⊂ A
(ii) {c, d} ∈ A
(iii) {{c, d}} ⊂ A
(iv) a ∈ A
(v) un ⊂ A.
(vi) {a, b, e} ⊂ A
(vii) {a, b, e}∈ A
(viii) {a, b, c} ⊂ A
(ix) ϕ∈ A
(x) {ϕ} ⊂ A
Solución:
(i) Falso
{c, d} no es un subconjunto de A pero pertenece al conjunto A.
Por lo tanto,
{c, d} ∈ A
(ii) Verdadero
{c, d} ∈ A
(iii) Verdadero
{c, d} es un subconjunto de A.
(iv) Es cierto que a pertenece a A.
(v) Falso
El elemento a no es un subconjunto de A pero pertenece al conjunto A.
(vi) Cierto
{a, b, e} es un subconjunto de A.
(vii) Falso
{a, b, e} no pertenece a A, {a, b, e} ⊂ A esta es la forma correcta.
(viii) Falso
{a, b, c} no es un subconjunto de A
(ix) Falso
ϕ es un subconjunto de A.
ϕ ⊂ A.
(x) Falso
{ϕ} no es un subconjunto de A, ϕ es un subconjunto de A. Por lo tanto, es falso.
Pregunta 7. Sea A = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}}. Determina cuál de las siguientes es verdadera o falsa:
(yo) 1 ∈ A
(ii) {1, 2, 3} ⊂ A
(iii) {6, 7, 8} ∈ A
(iv) {4, 5} ⊂ A
(v) ϕ ∈ A
(vi) ϕ ⊂ A
Solución:
(i) Falso
1 no es un elemento del conjunto A.
(ii) Verdadero
{1,2,3} ∈ A. esta es la forma correcta.
(iii) Cierto.
El conjunto {6, 7, 8} es un elemento de A, es decir {6, 7, 8} ∈ A.
(iv) Verdadero
{{4, 5}} es un subconjunto del conjunto especificado A={4, 5}.
(v) Falso
Φ es un subconjunto del conjunto dado A, no un elemento de A.
(vi) Cierto
Φ es un subconjunto de todo conjunto, por lo que también es un subconjunto del conjunto dado A.
Pregunta 8. Sea A = {ϕ, {ϕ}, 1, {1, ϕ}, 2}. ¿Cuál de lo siguiente es cierto?
(i) ϕ ∈ A
(ii) {ϕ} ∈ A
(iii) {1} ∈ A
(iv) {2, ϕ} ⊂ A
(v) 2 ⊂ A
(vi) {2, {1}} ⊄A
(vii) {{2}, {1}} ⊄ A
(viii) {ϕ, {ϕ}, {1, ϕ}} ⊂ A
(ix) {{ϕ}} ⊂ A
Solución:
(yo) Verdadero
Φ es un elemento del conjunto A, por lo tanto pertenece al conjunto A. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
(ii) Verdadero
{Φ} es un elemento del conjunto A y no un subconjunto. Por lo tanto, la afirmación dada es verdadera.
(iii) Falso
El subconjunto 1 no es un elemento de A. Por lo tanto, la declaración dada es falsa
(iv) Verdadero
{2, Φ} es un subconjunto del conjunto dado A. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
(v) Falso
2 no es un subconjunto del conjunto A, es un elemento del conjunto A. Por lo tanto, el enunciado dado es falso.
(vi) Cierto
{2, {1}} no es un subconjunto del conjunto dado A. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
(vii) Cierto
Ni {2} ni {1} son subconjuntos del conjunto A. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
(viii) Cierto
Los tres {ϕ, {ϕ}, {1, ϕ}} son subconjuntos del conjunto A. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
(ix) Cierto
{{ϕ}} es un subconjunto del conjunto A. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
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Artículo escrito por mallikagupta90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA