Pregunta 1. Encuentra el conjunto A más pequeño tal que A ∪ {1, 2} = {1, 2, 3, 5, 9}.
Solución:
UN ∪ {1, 2} = {1, 2, 3, 5, 9}
La unión indica que la suma de elementos de ambos conjuntos debe formar RHS.
Los elementos de A y {1, 2} juntos nos dan el conjunto resultante.
Por lo tanto, el conjunto más pequeño será,
A = {1, 2, 3, 5, 9} – {1, 2}
Por lo tanto, A = {3, 5, 9}
Pregunta 2. Sea A = {1, 2, 4, 5} B = {2, 3, 5, 6} C = {4, 5, 6, 7}. Verifique las siguientes identidades:
(i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(iii) A ∩ (B – C) = (A ∩ B) -(A ∩ C)
(iv) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
(v) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
(vi) A ∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C)
Solución:
(i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Teniendo en cuenta LHS,
(B ∩ C) = {x : x ∈ B y x ∈ C}
Por lo tanto, obtenemos,
= {5, 6}
A ∪ (B ∩ C) = {x : x ∈ A o x ∈ (B ∩ C)}
= {1, 2, 4, 5, 6}
Considerando RHS,
(A ∪ B) = {x : x ∈ A o x ∈ B}
= {1, 2, 4, 5, 6}.
(A ∪ C) = {x : x ∈ A o x ∈ C}
= {1, 2, 4, 5, 6, 7}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {x : x ∈ (A ∪ B) y x ∈ (A ∪ C)}
= {1, 2, 4, 5, 6}
Por lo tanto, LHS = RHS
(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Teniendo en cuenta LHS,
(B ∪ C) = {x: x ∈ B o x ∈ C}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7}
(A ∩ (B ∪ C)) = {x : x ∈ A y x ∈ (B ∪ C)}
= {2, 4, 5}
Considerando RHS,
(A ∩ B) = {x : x ∈ A y x ∈ B}
= {2, 5}
(A ∩ C) = {x : x ∈ A y x ∈ C}
= {4, 5}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {x : x ∈ (A∩B) y x ∈ (A ∩ C)}
= {2, 4, 5}
Por lo tanto, LHS = RHS
(iii) A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)
Sabemos,
B – C se define como {x ∈ B : x ∉ C}
Dado,
B = {2, 3, 5, 6}
C = {4, 5, 6, 7}
B-C = {2, 3}
Teniendo en cuenta LHS,
(A ∩ (B – C)) = {x : x ∈ A y x ∈ (B – C)}
= {2}
Considerando RHS,
(A ∩ B) = {x: x ∈ A y x ∈ B}
= {2, 5}
(A ∩ C) = {x : x ∈ A y x ∈ C}
= {4, 5}
(A ∩ B) – (A ∩ C) se define como {x ∈ (A ∩ B) : x ∉ (A ∩ C)}
= {2}
∴ LHS = RHS
(iv) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
Teniendo en cuenta LHS,
(B ∪ C) = {x : x ∈ B o x ∈ C}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A – (B ∪ C) se define como {x ∈ A : x ∉ (B ∪ C)}
A = {1, 2, 4, 5}
(B ∪ C) = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
UN – (B ∪ C) = {1}
Considerando RHS,
(A – B) = A – B se define como {x ∈ A : x ∉ B}
Dado,
A = {1, 2, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 6}
A – B = {1, 4}
(A-C)
A – C se define como {x ∈ A : x ∉ C}
A = {1, 2, 4, 5}
C = {4, 5, 6, 7}
A-C = {1, 2}
(A – B) ∩ (A – C) = {x : x ∈ (A – B) y x ∈ (A – C)}.
= {1}
Por lo tanto, LHS = RHS
(v) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
Teniendo en cuenta LHS,
(B ∩ C) = {x : x ∈ B y x ∈ C}
= {5, 6}
A – (B ∩ C) se define como {x ∈ A : x ∉ (B ∩ C)}
A = {1, 2, 4, 5}
(B ∩ C) = {5, 6}
(A – (B ∩ C)) = {1, 2, 4}
Considerando RHS,
(A – B) = A – B se define como {x ∈ A : x ∉ B}
A = {1, 2, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 6}
A – B = {1, 4}
(A – C) = A – C se define como {x ∈ A : x ∉ C}
A = {1, 2, 4, 5}
C = {4, 5, 6, 7}
A-C = {1, 2}
(A – B) ∪ (A – C) = {x : x ∈ (A – B) O x ∈ (A – C)}.
= {1, 2, 4}
Por lo tanto, LHS = RHS
(vi) A ∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C)
A = {1, 2, 4, 5} B = {2, 3, 5, 6} C = {4, 5, 6, 7}.
Teniendo en cuenta LHS,
A ∩ (B △ C)
segundo △ do = (segundo – do) ∪ (do – segundo) = {2, 3} ∪ {4, 7} = {2, 3, 4, 7}
UN ∩ (B △ C) = {2, 4}
Considerando RHS,
UN ∩ B = {2, 5}
UN ∩ C = {4, 5}
(A ∩ B) △ (A ∩ C) = [(A ∩ B) – (A ∩ C)] ∪ [(A ∩ C) – (A ∩ B)]
= {2} ∪ {4}
= {2, 4}
Por lo tanto, LHS = RHS
Pregunta 3. Si U = {2, 3, 5, 7, 9} es el conjunto universal y A = {3, 7}, B = {2, 5, 7, 9}, entonces prueba que:
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Solución:
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Teniendo en cuenta LHS,
UN ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}
= {2, 3, 5, 7, 9}
(A ∪ B)’ significa Complemento de (A ∪ B) con respecto al conjunto universal U.
Entonces, (A ∪ B)’ = U – (A ∪ B)’
Ahora,
U – (A ∪ B)’ se define como {x ∈ U: x ∉ (A ∪ B)’}
U = {2, 3, 5, 7, 9}
(A ∪ B)’ = {2, 3, 5, 7, 9}
U – (A ∪ B)’ = ϕ
Considerando RHS,
Tenemos, A’ = U – A
(U – A) se define como {x ∈ U : x ∉ A}
U = {2, 3, 5, 7, 9}
A = {3, 7}
A’ = U – A = {2, 5, 9}
Ahora, B’ = U – B
(U – B) se define como {x ∈ U : x ∉ B}
U = {2, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 5, 7, 9}
B’ = U – B = {3}
A’ ∩ B’ = {x : x ∈ A’ y x ∈ C’}.
= ϕ
∴ LHS = RHS
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Teniendo en cuenta LHS,
(A ∩ B)’
(A ∩ B) = {x: x ∈ A y x ∈ B}.
= {7}
También,
(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B)
U – (A ∩ B) se define como {x ∈ U : x ∉ (A ∩ B)’}
U = {2, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ B) = {7}
U – (A ∩ B) = {2, 3, 5, 9}
(A ∩ B)’ = {2, 3, 5, 9}
Considerando RHS,
Entonces, A’ = U – A
(U – A) se define como {x ∈ U : x ∉ A}
U = {2, 3, 5, 7, 9}
A = {3, 7}
A’ = U – A = {2, 5, 9}
Entonces, B’ = U – B
(U – B) se define como {x ∈ U : x ∉ B}
U = {2, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 5, 7, 9}
B’ = U – B = {3}
A’ ∪ B’ = {x : x ∈ A o x ∈ B}
= {2, 3, 5, 9}
∴ LHS = RHS
Pregunta 4. Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestre que
(i) segundo ⊂ un ∪ segundo
(ii) UN ∩ B ⊂ UN
(iii) UN ⊂ segundo ⇒ UN ∩ segundo = UN
Solución:
(i) segundo ⊂ un ∪ segundo
Considerando un elemento ‘p’ perteneciente a B = p ∈ B
pag ∈ segundo ∪ un
segundo ⊂ un ∪ segundo
(ii) UN ∩ B ⊂ UN
Considerando un elemento ‘p’ perteneciente a B = p ∈ B
p ∈ A ∩ B
p ∈ A y p ∈ B
UN ∩ B ⊂ UN
(iii) UN ⊂ segundo ⇒ UN ∩ segundo = UN
Considerando un elemento ‘p’ perteneciente a B = p ∈ B
pag ∈ UN ⊂ segundo
Ahora, x ∈ B
Sea y p ∈ A ∩ B
x ∈ A y x ∈ B
x ∈ A y x ∈ A (ya que, A ⊂ B)
Por lo tanto, (A ∩ B) = A
Pregunta 5. Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) A ⊂ B
(ii) A – B = ϕ
(iii) UN ∪ B = B
(iv) UN ∩ B = UN
Solución:
(i) A ⊂ B
Necesitamos probar (i) = (ii), (ii) = (iii), (iii) = (iv), (iv) = (v)
Probemos, (i) = (ii)
Sabemos, A – B = {x ∈ A : x ∉ B} como A ⊂ B,
Ahora, cada elemento de A es un elemento de B,
∴ A – B = ϕ
Por lo tanto, (i) = (ii)
(ii) A – B = ϕ
Necesitamos demostrar que (ii) = (iii)
Supongamos, A – B = ϕ
∴ Todo elemento de A es un elemento de B
Entonces, A ⊂ B y entonces A ∪ B = B
Por lo tanto, (ii) = (iii)
(iii) UN ∪ B = B
Necesitamos demostrar que (iii) = (iv)
Asumiendo A ∪ B = B
∴ A⊂ B y entonces A ∩ B = A
Por lo tanto, (iii) = (iv)
(iv) UN ∩ B = UN
Finalmente, ahora necesitamos mostrar (iv) = (i)
Asumiendo A ∩ B = A
Dado que A ∩ B = A, entonces A ⊂ B
Por lo tanto, (iv) = (i)
Pregunta 6. Para tres conjuntos A, B y C, demuestre que
(i) A ∩ B = A ∩ C no necesariamente implica B = C.
(ii) A ⊂ B ⇒ C – B ⊂ C – A
Solución:
(i) A ∩ B = A ∩ C no necesariamente implica B = C.
Supongamos, A = {1, 2}
B = {2, 3}
C = {2, 4}
Después,
UN ∩ B = {2}
UN ∩ C = {2}
Por lo tanto, A ∩ B = A ∩ C, donde B no es igual a C
(ii) A ⊂ B ⇒ C – B ⊂ C – A
Dado: A ⊂ B
Supongamos x ∈ C – B
⇒ x ∈ C y x ∉ B [por definición C – B]
⇒ x ∈ C y x ∉ A
⇒ x ∈ C – A
Por lo tanto, x ∈ C – B ⇒ x ∈ C – A para todo x ∈ C – B.
∴ UN ⊂ B ⇒ C – B ⊂ C – UN
Pregunta 7. Para dos conjuntos cualesquiera, demuestre que:
(i) UN ∪ (UN ∩ B) = UN
(ii) A ∩ (A ∪ B) = A
Solución:
(i) UN ∪ (UN ∩ B) = UN
Como la unión es distributiva sobre la intersección, tenemos A ∪ (A ∩ B)
(A ∪ A) ∩ (A ∪ B) [Ya que, A ∪ A = A]
A ∩ (A ∪ B)
= un
(ii) A ∩ (A ∪ B) = A
Como la unión es distributiva sobre la intersección, tenemos, (A ∩ A) ∪ (A ∩ B)
A ∪ (A ∩ B) [Ya que, A ∩ A = A]
= un
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Artículo escrito por mallikagupta90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA