Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 10 Fórmulas de seno y coseno y sus aplicaciones – Ejercicio 10.1

Pregunta 1: Si en △ABC, ∠A=45°, ∠B=60° y ∠C=75°, encuentra la razón de sus lados.

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Por lo tanto, obtenemos

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}45\degree} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}60\degree} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}75\degree} = \lambda$

Usando la fórmula,

sen (A+B) = sen A cos B + cos A sen B

sen (45°+30°) = sen(45°) cos(30°) + cos(45°) sen(30°)

sen 75° = $(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{2})$

sen 75° = $\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sqrt{3}+1)$

$\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{1}{2\sqrt{2}}(1+\sqrt{3})} = \lambda$

Multiplicando el denominador por 2√2, obtenemos

$\frac{a}{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \frac{b}{\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}(1+\sqrt{3})}\\ \frac{a}{2} = \frac{b}{\sqrt{6}} = \frac{c}{(1+\sqrt{3})}$

Por lo tanto, obtenemos

un : segundo : c = 2 : √6 : (√3+1)

Pregunta 2: si en △ABC, ∠C=105°, ∠B=45° y a=2, entonces encuentra b.

Solución:

En la condición dada, ∠C=105° y ∠B=45°

Y como sabemos que,

A+B+C = π (La suma de todos los ángulos en el triángulo es suplementaria)

A = π-(B+C)

A = 180°-(45°+105°)

A = 30°

Ahora, según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B}\\ \frac{2}{sin \hspace{0.1cm}30\degree} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}45\degree}\\ \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ b = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$

Después de racionalizar el denominador, obtenemos

$b = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\\ b = 4\times \frac{\sqrt{2}}{2}\\ b = 2\sqrt{2}$

Pregunta 3: En △ABC, si a=18, b=24 y c=30 y ∠C=90°, encuentra sen A, sen B y sen C.

Solución:

En la condición dada, a=18, b=24 y c=30 y ∠C=90°

Ahora, según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C}\\ sin \hspace{0.1cm}A=\frac{a(sin \hspace{0.1cm}C)}{c}\\ sin \hspace{0.1cm}A=\frac{18(sin \hspace{0.1cm}90\degree)}{30}\\ sin \hspace{0.1cm}A=\frac{18}{30}\\ sin \hspace{0.1cm}A=\frac{3}{5}$

También,

$\frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C}\\ sin \hspace{0.1cm}B=\frac{b(sin \hspace{0.1cm}C)}{c}\\ sin \hspace{0.1cm}B=\frac{24(sin \hspace{0.1cm}90\degree)}{30}\\ sin \hspace{0.1cm}B=\frac{24}{30}\\ sin \hspace{0.1cm}B=\frac{4}{5}\\ sin \hspace{0.1cm}C=90\degree=1$

Pregunta 4: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan(\frac{A-B}{2})}{tan(\frac{A+B}{2})}$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando la LHS de la ecuación, tenemos

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\lambda(sinA-sinB)}{\lambda(sinA+sinB)}$

Usando la fórmula trigonométrica,

sen A – sen B = 2 sen $(\frac{A-B}{2})$ cos $(\frac{A+B}{2})$

sen A + sen B = 2 sen $(\frac{A+B}{2})$ cos $(\frac{A-B}{2})$

$LHS = \frac{2\hspace{0.1cm}sin(\frac{A-B}{2})cos(\frac{A+B}{2})}{2\hspace{0.1cm}sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})}\\ = \frac{tan(\frac{A-B}{2})}{tan(\frac{A+B}{2})}\\ = RHS$

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, probado !!

Pregunta 5: En △ABC, prueba lo siguiente:

(ab) $cos(\frac{C}{2})$ = c $sin(\frac{A-B}{2})$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$(a-b) cos(\frac{C}{2}) = λ(sin A-sin B) cos(\frac{C}{2})$

Usando la fórmula trigonométrica,

sen A – sen B = 2 sen $(\frac{A-B}{2})$ cos $(\frac{A+B}{2})$

= λ $(2 sin (\frac{A-B}{2}) cos (\frac{A+B}{2})) cos(\frac{C}{2})$

A+B+C = π (La suma de todos los ángulos en el triángulo es suplementaria)

= 2λ sen $(\frac{A-B}{2})$ cos $(\frac{A+B}{2})$ cos $(\frac{\pi-(A+B)}{2})$

= 2λ sen $(\frac{A-B}{2})$ cos $(\frac{A+B}{2})$ cos $(\frac{\pi}{2}-(\frac{A+B}{2}))$

= λ sen $(\frac{A-B}{2})$ (2 cos $(\frac{A+B}{2})$ sen $(\frac{A+B}{2})$ )

Usando la fórmula trigonométrica,

2 sen a cos a = sen 2a

= λ sen $(\frac{A-B}{2})$ ( sen $2(\frac{A+B}{2})$ )

= λ sen $(\frac{A-B}{2})$ sen(A+B)

= λ sen $(\frac{A-B}{2})$ sen(π-C) (A+B+C = π)

= λ sen $(\frac{A-B}{2})$ sen(C)

= (λ sen C) sen $(\frac{A-B}{2})$

= c pecado $(\frac{A-B}{2})$

Como, LHS = RHS

Por lo tanto Probado!

Pregunta 6: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{c}{a-b} = \frac{tan(\frac{A}{2})+tan(\frac{B}{2})}{tan(\frac{A}{2})-tan(\frac{B}{2})}$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$\frac{c}{a-b} = \frac{\lambda sinC}{\lambda(sinA-sinB)}$

$\frac{c}{a-b} = \frac{sinC}{sinA-sinB}$

Usando identidades trigonométricas,

sen A – sen B = 2 sen $(\frac{A-B}{2})$ cos $(\frac{A+B}{2})$

sen 2a = 2 sen a cos a

$LHS = \frac{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{2 sin\frac{A-B}{2}cos\frac{A+B}{2}}\\ = \frac{sin\frac{\pi-(A+B)}{2}cos\frac{C}{2}}{sin\frac{A-B}{2}cos\frac{A+B}{2}}\\ = \frac{sin(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2})cos\frac{C}{2}}{sin\frac{A-B}{2}cos\frac{A+B}{2}}\\ = \frac{cos(\frac{A+B}{2})cos\frac{C}{2}}{sin\frac{A-B}{2}cos\frac{A+B}{2}}\\ = \frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{A-B}{2}}$ …………………….(1)

Ahora considerando RHS, tenemos

$RHS = \frac{tan(\frac{A}{2})+tan(\frac{B}{2})}{tan(\frac{A}{2})-tan(\frac{B}{2})}\\ = \frac{\frac{sin(\frac{A}{2})}{cos(\frac{A}{2})}+\frac{sin(\frac{B}{2})}{cos(\frac{B}{2})}}{\frac{sin(\frac{A}{2})}{cos(\frac{A}{2})}-\frac{sin(\frac{B}{2})}{cos(\frac{B}{2})}}$

Multiplicando en cruz obtenemos,

$= \frac{\frac{sin(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})+sin(\frac{B}{2})cos(\frac{A}{2})}{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})}}{\frac{sin(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})-sin(\frac{B}{2})cos(\frac{A}{2})}{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})}}\\ = \frac{sin(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})+sin(\frac{B}{2})cos(\frac{A}{2})}{sin(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})-sin(\frac{B}{2})cos(\frac{A}{2})}$

Usando identidades trigonométricas,

sen a cos b + cos a sen b = sen (a+b)

sen a cos b – cos a sen b = sen (ab)

$= \frac{sin(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}{sin(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}\\ = \frac{sin(\frac{A+B}{2})}{sin(\frac{A-B}{2})}\\ = \frac{sin(\frac{\pi-C}{2})}{sin(\frac{A-B}{2})}\\ = \frac{sin(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})}{sin(\frac{A-B}{2})}\\ = \frac{cos(\frac{C}{2})}{sin(\frac{A-B}{2})}$ …………………….(2)

Como, LHS = RHS

Por lo tanto Probado!

Pregunta 7: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{c}{a+b} = \frac{1-tan(\frac{A}{2})tan(\frac{B}{2})}{1+tan(\frac{A}{2})tan(\frac{B}{2})}$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$\frac{c}{a+b} = \frac{\lambda sinC}{\lambda(sinA+sinB)}\\ \frac{c}{a+b} = \frac{sinC}{sinA+sinB}$

Usando identidades trigonométricas,

sen A + sen B = 2 sen $(\frac{A+B}{2})$ cos $(\frac{A-B}{2})$

sen 2a = 2 sen a cos a

$LHS = \frac{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{2 sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}\\ = \frac{sin(\frac{C}{2})cos(\frac{\pi-(A+B)}{2})}{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}\\ = \frac{sin(\frac{C}{2})cos(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2})}{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}\\ = \frac{sin(\frac{C}{2})sin(\frac{A+B}{2})}{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}\\ = \frac{sin\frac{C}{2}}{cos(\frac{A-B}{2})}$ ………………………….(1)

Ahora considerando RHS, tenemos

$RHS = \frac{1- tan(\frac{A}{2})tan(\frac{B}{2})}{1+tan(\frac{A}{2})tan(\frac{B}{2})}\\ = \frac{1-\frac{sin(\frac{A}{2})}{cos(\frac{A}{2})}\frac{sin(\frac{B}{2})}{cos(\frac{B}{2})}}{1+\frac{sin(\frac{A}{2})}{cos(\frac{A}{2})}\frac{sin(\frac{B}{2})}{cos(\frac{B}{2})}}$

Multiplicando en cruz obtenemos,

$= \frac{\frac{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})-sin(\frac{A}{2})sin(\frac{B}{2})}{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})}}{\frac{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})+sin(\frac{A}{2})sin(\frac{B}{2})}{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})}}\\ = \frac{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})-sin(\frac{A}{2})sin(\frac{B}{2})}{cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})+sin(\frac{A}{2})sin(\frac{B}{2})}$

Usando identidades trigonométricas,

cos a cos b + sen a sen b = cos (ab)

cos a cos b – sen a sen b = cos (a+b)

$= \frac{cos(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}{cos(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}\\ = \frac{cos(\frac{A+B}{2})}{cos(\frac{A-B}{2})}\\ = \frac{cos(\frac{\pi-C}{2})}{cos(\frac{A-B}{2})}\\ = \frac{cos(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})}{cos(\frac{A-B}{2})}\\ = \frac{sin(\frac{C}{2})}{cos(\frac{A-B}{2})}$ …………………….(2)

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 8: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a+b}{c} = \frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{C}{2})}$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$\frac{a+b}{c} = \frac{\lambda(sinA+sinB)}{\lambda sinC}\\ \frac{a+b}{c} = \frac{sinA+sinB}{sinC}$

Usando identidades trigonométricas,

sen A + sen B = 2 sen $(\frac{A+B}{2})$ cos $(\frac{A-B}{2})$

sen 2a = 2 sen a cos a

$LHS = \frac{2 sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}\\ = \frac{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{sin(\frac{C}{2})cos(\frac{\pi-(A+B)}{2})}\\ = \frac{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{sin(\frac{C}{2})cos(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2})}\\ = \frac{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{sin(\frac{C}{2})sin(\frac{A+B}{2})}\\ = \frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin\frac{C}{2}}$

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 9: En △ABC, prueba lo siguiente:

$sin(\frac{B-C}{2}) = (\frac{b-c}{a})cos(\frac{A}{2})$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando RHS, tenemos

$(\frac{b-c}{a})cos(\frac{A}{2}) = (\frac{\lambda(sinB-sinC)}{\lambda sinA})cos(\frac{A}{2})\\ = (\frac{sinB-sinC}{sinA})cos(\frac{\pi-(B+C)}{2})$

Usando identidades trigonométricas,

sen A – sen B = 2 sen $(\frac{A-B}{2})$ cos $(\frac{A+B}{2})$

$LHS = (\frac{2 sin\frac{B-C}{2}cos\frac{B+C}{2}}{sinA})cos(\frac{\pi}{2}-\frac{B+C}{2})\\ = (\frac{2 sin\frac{B-C}{2}cos\frac{B+C}{2}}{sinA})sin(\frac{B+C}{2})\\ = (\frac{[2 sin(\frac{B+C}{2}) cos\frac{B+C}{2}] sin\frac{B-C}{2}}{sinA})$

Usando identidades trigonométricas,

2 sen a cos a = sen 2a

$= (\frac{sin(2(\frac{B+C}{2}))sin(\frac{B-C}{2})}{sinA})\\ = (\frac{sin(B+C)sin(\frac{B-C}{2})}{sinA})\\ = (\frac{sin(\pi-(B+C))sin(\frac{B-C}{2})}{sinA})\\ = (\frac{sin(A)sin(\frac{B-C}{2})}{sinA})\\ = sin(\frac{B-C}{2})$

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 10: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a^2-c^2}{b^2} = \frac{sin(A-C)}{sin(A+B)}$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

$\frac{a^2-c^2}{b^2} = \frac{[\lambda sinA]^2-[\lambda sinC]^2}{[\lambda sinB]^2}\\ = \frac{(\lambda)^2 [sin^2A - sin^2C]}{(\lambda)^2[sin^2B]}\\ = \frac{sin^2A - sin^2C}{sin^2B}$

Usando identidades trigonométricas,

sen ² a – sen ² b = sen (a+b) sen (ab)

$LHS = \frac{sin(A+C) sin(A-C)}{sin^2B}\\ = \frac{sin(A+C) sin(A-C)}{sin^2(\pi-(A+C))}\\ = \frac{sin(A+C) sin(A-C)}{sin^2(A+C)}\\ = \frac{sin(A-C)}{sin(A+C)}\\$

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 11: En △ABC, prueba lo siguiente:

b sen B – c sen C = a sen (BC)

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Y, regla del coseno,

$cos \hspace{0.1cm} a = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Considerando RHS, tenemos

RHS = un pecado (BC)

Usando identidades trigonométricas,

sen(ab) = sen a cos b – cos a sen b

= a (sen B cos C – cos B sen C)

= a ((bλ) $(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})$ – $(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})$ (cλ))

= λ $(\frac{a^2+b^2-c^2}{2} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2})$

= 2λ $(\frac{b^2-c^2}{2})$

= λb ² -λc ²

= b(λb) – c(λc)

= b(sen B) – c(cos C)

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 12: En △ABC, prueba lo siguiente:

a ² sen (BC) = (b ² -c ² ) sen A

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando RHS, tenemos

RHS = (b ² -c ² ) sen A

= λ ² sen A(sen ² B – sen ² C)

Usando identidades trigonométricas,

sen ² a – sen ² b = sen (a+b) sen (ab)

= λ ² sen A(sen(B+C) sen (BC))

= λ ² sin A(sin(\pi-A) sin (BC))

= λ ² sen A(sen(A) sen (BC))

= λ ² sen ² A sen (BC)

= (λ sen A) ² sen (BC)

= a ² pecado (BC)

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 13: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{\sqrt{sin A}-\sqrt{sin B}}{\sqrt{sin A}+\sqrt{sin B}} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$

Solución:

Considerando LHS, tenemos

IZQ = $\frac{\sqrt{sin A}-\sqrt{sin B}}{\sqrt{sin A}+\sqrt{sin B}}$

Racionalizando el denominador, obtenemos

$= \frac{\sqrt{sin A}-\sqrt{sin B}}{\sqrt{sin A}+\sqrt{sin B}} \times \frac{\sqrt{sin A}-\sqrt{sin B}}{\sqrt{sin A}-\sqrt{sin B}}\\ = \frac{(\sqrt{sin A}-\sqrt{sin B})^2}{(\sqrt{sin A})^2-(\sqrt{sin B})^2}\\ = \frac{(\sqrt{sin A})^2+(\sqrt{sin B})^2-2(\sqrt{sin A})(\sqrt{sin B})}{sin A-sin B}\\ = \frac{sin A+sin B-2\sqrt{sin A sin B}}{sin A-sin B}$

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

$= \frac{\frac{a}{\lambda}+\frac{b}{\lambda}-2\sqrt{\frac{a}{\lambda} \frac{b}{\lambda}}}{\frac{a}{\lambda}-\frac{b}{\lambda}}\\ = \frac{\frac{1}{\lambda}(a+b-2\sqrt{ab})}{\frac{1}{\lambda}(a-b)}\\ = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 14: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (sen B – sen C) + b(sen C – sen A) + c (sen A – sen B) = 0

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

LHS = a (sen B – sen C) + b (sen C – sen A) + c (sen A – sen B)

= λ sin A (sin B – sin C) + λ sin B (sin C – sin A) + λ sin C (sin A – sin B)

= λ sen A sen B – λ sen A sen C+ λ sen B sen C – λ sen B sen A) + λ sen C sen A – λ sen C sen B

= 0

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

Pregunta 15: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a^2 sin (B-C)}{sin A} + \frac{b^2 sin (C-A)}{sin B} + \frac{c^2 sin (A-B)}{sin C} = 0$

Solución:

Según la regla del seno

$\frac{a}{sin \hspace{0.1cm}A} = \frac{b}{sin \hspace{0.1cm}B} = \frac{c}{sin \hspace{0.1cm}C} = \lambda$

Considerando LHS, tenemos

IZQ = $\frac{a^2 sin (B-C)}{sin A} + \frac{b^2 sin (C-A)}{sin B} + \frac{c^2 sin (A-B)}{sin C}$

= $\frac{(\lambda sin A) sin (B-C)}{sin A} + \frac{(\lambda sin B) sin (C-A)}{sin B} + \frac{(\lambda sin C) sin (A-B)}{sin C}$

= λ ² sen A sen (BC) + λ ² sen B sen (CA) + λ ² sen C sen (AB)

Usando identidades trigonométricas,

sen(ab) = sen a cos b – cos a sen b

= λ ² (sen A [sen B cos C – cos B sen C] + sen B [sen C cos A – cos C sen A] + sen C [sen A cos B – cos A sen B])

= λ ² (sen A sen B cos C – sen A cos B sen C+ sen B sen C cos A – sen B cos C sen A + sen C sen A cos B – sen C cos A sen B)

= λ2 ( ⁰ )

= 0

Como, LHS = RHS

Por lo tanto, ¡Probado!

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Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 10 Fórmulas de seno y coseno y sus aplicaciones – Ejercicio 10.1 | Serie 1

Pregunta 1: Si en △ABC, ∠A=45°, ∠B=60° y ∠C=75°, encuentra la razón de sus lados.

Pregunta 2: si en △ABC, ∠C=105°, ∠B=45° y a=2, entonces encuentra b.

Pregunta 3: En △ABC, si a=18, b=24 y c=30 y ∠C=90°, encuentra sen A, sen B y sen C.

Pregunta 4: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan(\frac{A-B}{2})}{tan(\frac{A+B}{2})}$

Pregunta 5: En △ABC, prueba lo siguiente:

(ab) $cos(\frac{C}{2})$ = c $sin(\frac{A-B}{2})$

Pregunta 6: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{c}{a-b} = \frac{tan(\frac{A}{2})+tan(\frac{B}{2})}{tan(\frac{A}{2})-tan(\frac{B}{2})}$

Pregunta 7: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{c}{a+b} = \frac{1-tan(\frac{A}{2})tan(\frac{B}{2})}{1+tan(\frac{A}{2})tan(\frac{B}{2})}$

Pregunta 8: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a+b}{c} = \frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{C}{2})}$

Pregunta 9: En △ABC, prueba lo siguiente:

$sin(\frac{B-C}{2}) = (\frac{b-c}{a})cos(\frac{A}{2})$

Pregunta 10: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a^2-c^2}{b^2} = \frac{sin(A-C)}{sin(A+B)}$

Pregunta 11: En △ABC, prueba lo siguiente:

b sen B – c sen C = a sen (BC)

Pregunta 12: En △ABC, prueba lo siguiente:

a ² sen (BC) = (b ² -c ² ) sen A

Pregunta 13: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{\sqrt{sin A}-\sqrt{sin B}}{\sqrt{sin A}+\sqrt{sin B}} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$

Pregunta 14: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (sen B – sen C) + b(sen C – sen A) + c (sen A – sen B) = 0

Pregunta 15: En △ABC, prueba lo siguiente:

$\frac{a^2 sin (B-C)}{sin A} + \frac{b^2 sin (C-A)}{sin B} + \frac{c^2 sin (A-B)}{sin C} = 0$

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Pregunta 1: Si en △ABC, ∠A=45°, ∠B=60° y ∠C=75°, encuentra la razón de sus lados.

Pregunta 2: si en △ABC, ∠C=105°, ∠B=45° y a=2, entonces encuentra b.

Pregunta 3: En △ABC, si a=18, b=24 y c=30 y ∠C=90°, encuentra sen A, sen B y sen C.

Pregunta 4: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 5: En △ABC, prueba lo siguiente:

(ab) = c

Pregunta 6: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 7: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 8: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 9: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 10: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 11: En △ABC, prueba lo siguiente:

b sen B – c sen C = a sen (BC)

Pregunta 12: En △ABC, prueba lo siguiente:

a 2 sen (BC) = (b 2 -c 2 ) sen A

Pregunta 13: En △ABC, prueba lo siguiente:

Pregunta 14: En △ABC, prueba lo siguiente:

a (sen B – sen C) + b(sen C – sen A) + c (sen A – sen B) = 0

Pregunta 15: En △ABC, prueba lo siguiente:

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(ab) $cos(\frac{C}{2})$ = c $sin(\frac{A-B}{2})$

a ² sen (BC) = (b ² -c ² ) sen A