Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 13 Números complejos – Ejercicio 13.2

Pregunta 14. Si $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{100}=a+ib$ , encuentra (a, b).

Solución:

Tenemos,

=> $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{100}=a+ib$

=> $\left[\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}\right]^{100}=a+ib$

=> $\left(\frac{1+i^2-2i}{1-i^2}\right)^{100}=a+ib$

=> $\left(\frac{-2i}{2}\right)^{100}=a+ib$

=> (−i) ¹⁰⁰ = a + ib

=> a + ib = 1

Al comparar las partes real e imaginaria en ambos lados, obtenemos,

=> (a, b) = (1, 0)

Pregunta 15. Si a = cos θ + i sen θ, encuentra el valor de $\frac{1+a}{1-a}$ .

Solución:

Dado a = cos θ + i sin θ, obtenemos,

$\frac{1+a}{1-a}$ = $\frac{1+cosθ+isinθ}{1-cosθ-isinθ}$

= $\frac{(1+cosθ+isinθ)(1-cosθ+isinθ)}{(1-cosθ-isinθ)(1-cosθ+isinθ)}$

= $\frac{(1+isinθ)^2-cos^2θ}{(1-cosθ)^2-i^2sin^2θ}$

= $\frac{1+i^2sin^2θ+2isinθ-cos^2θ}{1+cos^2θ-2cosθ-i^2sin^2θ}$

= $\frac{1+2isinθ-sin^2θ-cos^2θ}{1-2cosθ+cos^2θ+sin^2θ}$

= $\frac{1+2isinθ-1}{1-2cosθ+1}$

= $\frac{2isinθ}{2-2cosθ}$

= $\frac{isinθ}{1-cosθ}$

= $\frac{2isin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{2sin^2\frac{θ}{2}}$

= $icot\frac{θ}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\frac{1+a}{1-a}$ es $icot\frac{θ}{2}$ .

Pregunta 16. Evalúa lo siguiente:

(i) 2x ³ + 2x ² − 7x + 72, cuando x = (3−5i)/2

Solución:

Tenemos, x = (3−5i)/2

=> 2x = 3 − 5i

=> 2x − 3 = −5i

=> (2x − 3) ² = 25i ²

=> 4x ² + 9 − 12x = −25

=> 4x ² − 12x + 34 = 0

=> 2x ² − 6x + 17 = 0

Ahora, 2x ³ + 2x ² − 7x + 72 = x (2x ² − 6x + 17) + 6x ² − 17x + 2x ² − 7x + 72

= x (0) + 8x ² − 24x + 72

= 4 (2x ² – 6x + 17) + 4

= 4 (0) + 4

= 4

Por lo tanto, el valor de 2x ³ + 2x ² − 7x + 72 es 4.

(ii) x ⁴ − 4x ³ + 4x ² +8x +44, cuando x = 3 + 2i

Solución:

Tenemos, x = 3 + 2i

=> x − 3 = 2i

=> (x − 3) ² = (2i) ²

=> x2 ⁺ 9 − 6x = 4i ²

=> x2 ⁻ 6x + 9 + 4 = 0

=> x2 ⁻ 6x + 13 = 0

Ahora, x ⁴ − 4x ³ + 4x ² + 8x + 44 = x ² (x ² − 6x + 13) + 6x ³ − 13x ² − 4x ³ + 4x ² + 8x + 44

= 2x ³ − 9x ² + 8x + 44

= 2x (x ² – 6x + 13) + 12x ² – 26x – 9x ² + 8x + 44

= 3x ² − 18x + 44

= 3 (x ² – 6x + 13) + 5

= 5

Por lo tanto, el valor de x ⁴ − 4x ³ + 4x ² + 8x + 44 es 5.

(iii) x ⁴ + 4x ³ + 6x ² + 4x + 9, cuando x = −1 + i√2

Solución:

Tenemos, x = −1 + i√2

=> x + 1 = i√2

=> (x + 1) ² = 2i ²

=> x2 ⁺ 1 + 2x = −2

=> x2 ⁺ 2x + 3 = 0

Ahora, x ⁴ + 4x ³ + 6x ² + 4x + 9 = x ² (x ² + 2x + 3) − 2x ³ − 3x ² + 4x ³ + 6x ² + 4x + 9

= 2x ³ + 3x ² + 4x + 9

= 2x (x ² + 2x + 3) − 4x ² − 6x + 3x ² + 4x + 9

= − x ² − 2x + 9

= − (x2 ⁺ 2x + 3) + 3 + 9

= 3 + 9

= 12

Por lo tanto, el valor de x ⁴ + 4x ³ + 6x ² + 4x + 9 es 12.

(iv) x ⁶ + x ⁴ + x ² + 1, cuando x = (1+i)/√2

Solución:

Tenemos, x = (1+i)/√2

=> √2x = 1 + yo

=> 2x ² = 1 + yo ² + 2i

=> 2x ² = 2i

=> 4x ⁴ = 4i ²

=> x4 = −1

=> x4 ⁺ 1 = 0

Ahora, x ⁶ + x ⁴ + x ² + 1 = (x ⁶ + x ² ) + (x ⁴ +1)

= x ⁶ + x ²

= x2 ⁽ x4 ⁺ 1)

= 0

Por lo tanto, el valor de x ⁶ + x ⁴ + x ² + 1 es 0.

(v) 2x ⁴ + 5x ³ + 7x ² − x + 41, cuando x = −2 − √3i

Solución:

Tenemos, x = −2 − √3i

x2 ⁼ (−2 − √3i) ² = 4 + 4√3i + 3i ² = 1 + 4√3i

x ³ = (1 + 4√3i) (−2 − √3i) = −2 − √3i − 8√3i −12i ² = 10 − 9√3i

x4 = (1 + 4√3i) ² = 1 + 8√3i + 48i ²⁼ −47 + 8√3i

Ahora, 2x ⁴ + 5x ³ + 7x ² − x + 41 se convierte en,

= 2(−47 + 8√3i) + 5(10 − 9√3i) + 7(1 + 4√3i) − (−2 − √3i) + 41

= −94 + 16√3i + 50 − 45√3i + 7 + 28√3i + 2 + √3i + 41

= 6

Por lo tanto, el valor de 2x ⁴ + 5x ³ + 7x ² − x + 41 es 6.

Pregunta 17. Para un entero positivo n, encuentre el valor de (1−i) ⁿ (1−1/i) ⁿ .

Solución:

Tenemos,

(1−i) ^norte (1−1/i) ^norte = (1−i) ^norte $(\frac{i-1}{i})^n$

= $\left[\frac{(1-i)^2}{-i}\right]^n$

= $\left(\frac{1+i^2-2i}{-i}\right)^n$

= $\left(\frac{-2i}{-i}\right)^n$

= 2 ^norte

Por lo tanto, el valor de (1−i) ⁿ (1−1/i) ⁿ es 2 ⁿ .

Pregunta 18. Si (1+i)z = (1−i) $\bar{z}$ , entonces demuestre que z = −i $\bar{z}$ .

Solución:

Tenemos,

=> (1+i)z = (1−i) $\bar{z}$

=> z = $(\frac{1-i}{1+i})\bar{z}$

=> z = $\left[\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}\right]\bar{z}$

=> z = $\left[\frac{1+i^2-2i}{1-i^2}\right]\bar{z}$

=> z = $\left[\frac{-2i}{2}\right]\bar{z}$

=> z = −i $\bar{z}$

Por lo tanto probado.

Pregunta 19. Resuelve el sistema de ecuaciones: Re(z ² ) = 0, |z| = 2

Solución:

Sea z = x + iy.

Ahora z ² = (x + iy) ²

= x ² + yo ² y ² + 2xyi

= x2 ⁻ y2 ⁺ 2xyi

Tenemos, Re(z ² ) = 0

=> X ² – y ² = 0 . . . . (1)

Además, se da, |z| = 2

=> $\sqrt{x^2+y^2}$ = 2

=> x ² + y ² = 4 . . . . (2)

Resolviendo (1) y (2), obtenemos, x = ±√2 y y = ±√2.

Por lo tanto, x + iy = ±√2 ± √2i.

Pregunta 20. Si $\frac{z-1}{z+1}$ es un número puramente imaginario (z≠−1), encuentra el valor de |z|.

Solución:

Sea z = x + iy

Tenemos, $\frac{z-1}{z+1}$

= $\frac{x-1+iy}{x+1+iy}$

= $\frac{(x-1+iy)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)}$

= $\frac{x^2+x-ixy-x-1+iy+ixy+iy+y^2}{(x+1)^2-(iy)^2}$

= $\frac{x^2+y^2-1+2iy}{x^2+y^2+1+2xy}$

= $\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1+2xy}+\frac{2yi}{x^2+y^2+1+2xy}$

Como el número complejo es puramente imaginario, por lo tanto,

=> Re(z) = 0

=> $\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1+2xy}$ = 0

=> x2 ⁺ y2 ⁼ 1

=> $\sqrt{x^2+y^2}$ = 1

=> |z| = 1

Por lo tanto, el valor de |z| es 1

Pregunta 21. Si z ₁ es un número complejo distinto de −1 tal que |z ₁ | = 1 y z ₂ = $\frac{z_1-1}{z_1+1}$ , luego demuestre que las partes reales de z ₂ son cero.

Solución:

Dado |z| = 1

=> |z| ² = 1

=> x ² + y ² = 1 . . . . (1)

Sean z ₁ = x + iy y z ₂ = a + ib.

De acuerdo con la pregunta, tenemos,

=> _z2 = $\frac{z_1-1}{z_1+1}$

=> a + ib = $\frac{x+iy-1}{x+iy+1}$

=> a + ib = $\frac{(x-1+iy)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)}$

=> a + ib = $\frac{x^2-1+y^2-iyx+iy+iyx+iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

=> a + ib = $\frac{(x^2+y^2)-1+2iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

Usando (1) obtenemos,

=> a + ib = $\frac{1-1+2iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

=> a + ib = $\frac{2iy}{(x+1)^2-(iy)^2}$

Al comparar las partes real e imaginaria en ambos lados, obtenemos a = 0.

Por lo tanto, las partes reales de z ₂ son 0. Por lo tanto, se demuestra.

Pregunta 22. Si |z+1| = z + 2(1+i), hallar z.

Solución:

Sea z = x + iy. De acuerdo con la pregunta, tenemos,

=> |x + iy + 1| = x + iy + 2(1 + i)

=> $\sqrt{(x+1)^2+y^2}$ = (x + 2) + i(y + 2)

Al comparar las partes real e imaginaria, obtenemos

=> y + 2 = 0

=> y = −2

Y también,

=> x + 2 = $\sqrt{(x+1)^2+y^2}$

=> (x + 2) ² = (x+1) ² + y ²

=> x ² + 4 + 4x = x ² + 2x + 1+ y ²

=> 2x = y ² − 3

=> 2x = 4 − 3

=> 2x = 1

=> x = 1/2

Por lo tanto, z = x + iy = 1/2 −2i.

Pregunta 23. Resuelve la ecuación: |z| = z + 1 + 2i.

Solución:

Sea z = x + iy. De acuerdo con la pregunta, tenemos,

=> |z| = z + 1 + 2i

=> |x + iy| = x + iy + 1 + 2i

=> $\sqrt{x^2+y^2}$ = (x + 1) + (y + 2)i

=> x ² + y ² = (x+1) ² + (y+2) ² yo ² + 2 (x+1) (y+2) yo

=> x2 ⁺ y2 ⁼ x2 ⁺¹ + 2x − y2 ⁻ 1 + 2y + 2 (x+1) (y+2)i

=> 2y ² − 2x + 4y + 4 = 2i (x+1) (y+2)

=> y ² − x + 2y + 2 = yo (x+1) (y+2)

Al comparar ambos lados, obtenemos,

=> (x+1) (y+2) = 0

=> x = −1 y y = −2

Además, y ² − x + 2y + 2 = 0

Tomando x = −1, obtenemos y ² − (−1) + 2y + 2 = 0

=> y ² + 2y + 3 = 0, que no tiene solución ya que las raíces son imaginarias.

Tomando y = −2, (4 − x −4 + 2) = 0

=> x = 2

Por lo tanto, z = x + iy = 2 − 2i.

Pregunta 24. ¿Cuál es el entero positivo más pequeño n para el cual (1+i) ²ⁿ = (1−i) ²ⁿ ?

Solución:

Se nos da,

=> (1+i) ²ⁿ = (1−i) ²ⁿ

=> $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2n}$ = 1

=> $\left[\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right]^{2n}$ = 1

=> $\left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^{2n}$ = 1

=> $\left[\frac{2i}{2}\right]^{2n}$ = 1

=> yo ²ⁿ = 1

=> yo ²ⁿ = yo ⁴

=> 2n = 4

=> norte = 2

Por lo tanto, el entero positivo más pequeño n para el cual (1+i) ²ⁿ = (1−i) ²ⁿ es 2.

Pregunta 25. Si z ₁ , z ₂ , z ₃ son números complejos tales que |z ₁ | = |z ₂ | = |z ₃ | = $|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|$ = 1, luego encuentre el valor de |z ₁ + z ₂ + z ₃ |.

Solución:

Se nos da,

|z ₁ | = |z ₂ | = |z ₃ | = $|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|$ = 1

Ahora, |z ₁ + z ₂ + z ₃ | = $|\frac{z_1\bar{z_1}}{\bar{z_1}}+\frac{z_2\bar{z_2}}{\bar{z_2}}+\frac{z_3\bar{z_3}}{\bar{z_3}}|$

= $|\frac{|z_1|^2}{\bar{z_1}}+\frac{|z_2|^2}{\bar{z_2}}+\frac{|z_3|^2}{\bar{z_3}}|$

= $|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|$

= 1

Por lo tanto, el valor de |z ₁ + z ₂ + z ₃ | es 1

Pregunta 26. Encuentra el número de soluciones de z ² + |z| ² = 0.

Solución:

Sea z = x + iy. Tenemos,

=> ^z2 + |z| ² = 0

=> (x + iy) ² + |x + iy| ² = 0

=> x ² + yo ² y ² + 2xyi + x ² + y ² = 0

=> x2 ⁻ y2 ⁺ 2xyi + x2 ⁺ y2 ⁼ 0

=> 2×2 ⁺ 2xyi = 0

Al comparar las partes real e imaginaria en ambos lados, obtenemos

=> 2x ² = 0 y 2xy = 0

=> x = 0 y y ∈ R

Por tanto, z = 0 + iy, donde y ∈ R.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 13 Números complejos – Ejercicio 13.2 | conjunto 2

Pregunta 14. Si $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{100}=a+ib$ , encuentra (a, b).

Pregunta 15. Si a = cos θ + i sen θ, encuentra el valor de $\frac{1+a}{1-a}$ .

Pregunta 16. Evalúa lo siguiente:

(i) 2x ³ + 2x ² − 7x + 72, cuando x = (3−5i)/2

(ii) x ⁴ − 4x ³ + 4x ² +8x +44, cuando x = 3 + 2i

(iii) x ⁴ + 4x ³ + 6x ² + 4x + 9, cuando x = −1 + i√2

(iv) x ⁶ + x ⁴ + x ² + 1, cuando x = (1+i)/√2

(v) 2x ⁴ + 5x ³ + 7x ² − x + 41, cuando x = −2 − √3i

Pregunta 17. Para un entero positivo n, encuentre el valor de (1−i) ⁿ (1−1/i) ⁿ .

Pregunta 18. Si (1+i)z = (1−i) $\bar{z}$ , entonces demuestre que z = −i $\bar{z}$ .

Pregunta 19. Resuelve el sistema de ecuaciones: Re(z ² ) = 0, |z| = 2

Pregunta 20. Si $\frac{z-1}{z+1}$ es un número puramente imaginario (z≠−1), encuentra el valor de |z|.

Pregunta 21. Si z ₁ es un número complejo distinto de −1 tal que |z ₁ | = 1 y z ₂ = $\frac{z_1-1}{z_1+1}$ , luego demuestre que las partes reales de z ₂ son cero.

Pregunta 22. Si |z+1| = z + 2(1+i), hallar z.

Pregunta 23. Resuelve la ecuación: |z| = z + 1 + 2i.

Pregunta 24. ¿Cuál es el entero positivo más pequeño n para el cual (1+i) ²ⁿ = (1−i) ²ⁿ ?

Pregunta 25. Si z ₁ , z ₂ , z ₃ son números complejos tales que |z ₁ | = |z ₂ | = |z ₃ | = $|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|$ = 1, luego encuentre el valor de |z ₁ + z ₂ + z ₃ |.

Pregunta 26. Encuentra el número de soluciones de z ² + |z| ² = 0.

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Pregunta 14. Si , encuentra (a, b).

Pregunta 15. Si a = cos θ + i sen θ, encuentra el valor de .

Pregunta 16. Evalúa lo siguiente:

(i) 2x 3 + 2x 2 − 7x + 72, cuando x = (3−5i)/2

(ii) x 4 − 4x 3 + 4x 2 +8x +44, cuando x = 3 + 2i

(iii) x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 9, cuando x = −1 + i√2

(iv) x 6 + x 4 + x 2 + 1, cuando x = (1+i)/√2

(v) 2x 4 + 5x 3 + 7x 2 − x + 41, cuando x = −2 − √3i

Pregunta 17. Para un entero positivo n, encuentre el valor de (1−i) n (1−1/i) n .

Pregunta 18. Si (1+i)z = (1−i) , entonces demuestre que z = −i .

Pregunta 19. Resuelve el sistema de ecuaciones: Re(z 2 ) = 0, |z| = 2

Pregunta 20. Si es un número puramente imaginario (z≠−1), encuentra el valor de |z|.

Pregunta 21. Si z 1 es un número complejo distinto de −1 tal que |z 1 | = 1 y z 2 = , luego demuestre que las partes reales de z 2 son cero.

Pregunta 22. Si |z+1| = z + 2(1+i), hallar z.

Pregunta 23. Resuelve la ecuación: |z| = z + 1 + 2i.

Pregunta 24. ¿Cuál es el entero positivo más pequeño n para el cual (1+i) 2n = (1−i) 2n ?

Pregunta 25. Si z 1 , z 2 , z 3 son números complejos tales que |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = = 1, luego encuentre el valor de |z 1 + z 2 + z 3 |.

Pregunta 26. Encuentra el número de soluciones de z 2 + |z| 2 = 0.

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Pregunta 14. Si $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{100}=a+ib$ , encuentra (a, b).

Pregunta 15. Si a = cos θ + i sen θ, encuentra el valor de $\frac{1+a}{1-a}$ .

(i) 2x ³ + 2x ² − 7x + 72, cuando x = (3−5i)/2

(ii) x ⁴ − 4x ³ + 4x ² +8x +44, cuando x = 3 + 2i

(iii) x ⁴ + 4x ³ + 6x ² + 4x + 9, cuando x = −1 + i√2

(iv) x ⁶ + x ⁴ + x ² + 1, cuando x = (1+i)/√2

(v) 2x ⁴ + 5x ³ + 7x ² − x + 41, cuando x = −2 − √3i

Pregunta 17. Para un entero positivo n, encuentre el valor de (1−i) ⁿ (1−1/i) ⁿ .

Pregunta 18. Si (1+i)z = (1−i) $\bar{z}$ , entonces demuestre que z = −i $\bar{z}$ .

Pregunta 19. Resuelve el sistema de ecuaciones: Re(z ² ) = 0, |z| = 2

Pregunta 20. Si $\frac{z-1}{z+1}$ es un número puramente imaginario (z≠−1), encuentra el valor de |z|.

Pregunta 21. Si z ₁ es un número complejo distinto de −1 tal que |z ₁ | = 1 y z ₂ = $\frac{z_1-1}{z_1+1}$ , luego demuestre que las partes reales de z ₂ son cero.

Pregunta 24. ¿Cuál es el entero positivo más pequeño n para el cual (1+i) ²ⁿ = (1−i) ²ⁿ ?

Pregunta 25. Si z ₁ , z ₂ , z ₃ son números complejos tales que |z ₁ | = |z ₂ | = |z ₃ | = $|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|$ = 1, luego encuentre el valor de |z ₁ + z ₂ + z ₃ |.

Pregunta 26. Encuentra el número de soluciones de z ² + |z| ² = 0.