Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Permutaciones – Ejercicio 16.5 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra el número de palabras formadas al permutar todas las letras de las siguientes palabras:

(i) INDEPENDENCIA

(ii) INTERMEDIO

(iii) ARREGLAR

(iv) INDIA

(v) PAKISTÁN

(vi) RUSIA

(vii) SERIE

(viii) EJERCICIOS

(ix) CONSTANTINOPLA

Solución:

(i) Dado: palabra de 12 letras en la que

N aparecen = 3 veces

E aparece = 4 veces

D aparece = 2 veces

Letras restantes = una vez 

Número de permutaciones de estas letras = 12! / (3! 4! 2! ) = 1663200

(ii) Dado: Total de 12 letras allí 

aparezco = dos veces

T aparece = dos veces

E aparece = tres veces

restante = una vez

Número de permutaciones = 12! / (2! 2! 3!) = 19958400 

(iii) Dado: 7 letras en las que

A aparecer = 2 veces 

R aparece = 2 veces

restante = una vez 

Número de permutaciones = 7! / (2! 2!) = 1260

(iv) Dado: 5 letras en las que

aparezco = dos veces

restante = una vez

Número de permutaciones = 5! / 2! = 60 

(v) Dado: 8 letras en las que

A aparecer = 2 veces

restante = una vez 

Número de permutaciones = 8! / 2! = 20160

(vi) Dado: 6 letras en las que 

S aparece = dos veces 

restante = una vez 

Número de permutaciones = 6!/2! = 360

(vii) Dado: 6 letras en las que

S aparece = dos veces

E aparece = dos veces 

restante = una vez 

Número de permutaciones = 6! / (2! 2!) = 180

(viii) Dado: 9 letras en las que

E aparece = 3 veces 

S aparece = 2 veces

restante = una vez 

Número de permutaciones = 9! / (3! 2!) = 30240

(ix) Dado: 14 letras en las que

T aparece = 2 veces 

O aparece = 2 veces 

N aparecen = 3 veces 

El resto aparece = 1 vez 

Número de permutaciones = 14! / (2! 2! 3!) = 3632428800                          

Pregunta 2. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra ‘ÁLGEBRA’ sin cambiar el orden relativo de las vocales y las consonantes?

Solución:

Dado: 3 vocales y 4 consonantes presentes en la palabra dada

Vocales (A, E, A) = 3!/2! = 3 formas de permutaciones

Consonantes = 4! = 24 permutaciones    

Permutaciones para que se cumpla la condición dada = 3 x 24 = 72 

Pregunta 3. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra ‘UNIVERSIDAD’, permaneciendo juntas las vocales?

Solución:

4 vocales presentes se pueden ordenar en = 4!/2! maneras  

La primera vocal puede tener las posiciones números 1 a 7 y 

el resto seguirá después de eso en orden consecutivo = ⁷ C ₁ = 7 formas 

Permutaciones de las consonantes = 6! 

¡Total de palabras que satisfacen las condiciones dadas = 6! x 7 x 4!/2! = 60480    

Pregunta 4. Encuentra el número total de arreglos de las letras en la expresión a ³ b ² c ⁴ cuando se escribe en toda su extensión.

Solución:

En a ³ b ² c ⁴ ,

a aparecer = 3 veces 

b aparece = 2 veces

c aparece = 4 veces 

Entonces, los arreglos totales = 9! / (3! 2! 4!) = 1260

Pregunta 5. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra ‘PARALELO’ para que no se junten todas las L?

Solución:

¡Permutaciones totales = 8! / (3! 2!) = 3360

Número de palabras en las que todas las L juntas (Reemplazar 3 L por un símbolo 

entonces este 1 símbolo y otras 5 letras quedan) 

= 6! / 2! = 360

Palabras deseadas = 3360 – 360 = 3000   

Pregunta 6. ¿Cuántas palabras se pueden formar ordenando las letras de la palabra ‘MUMBAI’ de modo que todas las M se junten?

Solución:

Número total de letras presentes en la palabra MUMBAI = 6

Reemplace 2 M por 1 símbolo = quedan 5 letras allí 

Número de palabras = 5! = 120 

Pregunta 7. ¿Cuántos números se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 para que los dígitos impares ocupen siempre los lugares impares?

Solución:

Dado: 4 dígitos son impares y 4 posiciones impares  

Coloca estos 4 dígitos impares en 4 posiciones = 4!/(2! 2!) = 6     

Ordene los 3 dígitos restantes = 3!/2! = 3 

Permutaciones totales = 6 x 3 = 18

Pregunta 8. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 4 banderas rojas, 2 blancas y 3 verdes colocándolas todas verticalmente en un asta?

Solución:

Dado: Número total de banderas = 9 banderas. En el cual 

rojo aparece = 4

blanco aparece = 2

verde aparece = 3 

Entonces, ¡el número de señales diferentes = 9! / (4! 2! 3!) = 1260

Pregunta 9. ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con los dígitos 1, 3, 3, 0?

Solución:

Dado: Número total = 4 dígitos en los que

3 aparecen = dos veces 

Números diferentes totales = 4! / 2! = 12

Pero también tendrá algunos de 3 dígitos. 

Números de 3 dígitos = 3!/2! = 3 

Números de 4 dígitos = 12 – 3 = 9 

Pregunta 10. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra ‘ARRANGE’ de modo que las dos R nunca estén juntas?

Solución:

¡Permutaciones totales de las letras de la palabra dada = 7! / (2! 2!) = 1260   

Permutaciones con R juntas (reemplazar dos R por 1 letra) = 6! / 2! = 360 

Permutaciones totales que satisfacen los criterios dados = 1260 – 360 = 900

Pregunta 11. ¿Cuántos números diferentes, mayores de 50000, se pueden formar con los dígitos 0, 1, 1, 5, 9?

Solución:

En la primera posición, solo pueden estar 5 o 9 = 2 formas 

Los 4 dígitos restantes se pueden organizar en 4 posiciones en 4!/2! maneras 

Número de números diferentes = 2 x 4!/2! = 24    

Pregunta 12. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra ‘SERIES’ que comienzan con S y terminan con S?

Solución:

En la primera y última posición, S y S están fijos, de modo que estos dos S son de 1 vía. 

En las posiciones 2, 3, 4 y 5 = E, R, I, E 

entonces, número de arreglos posibles = 4!/2! = 12

Entonces, el número deseado de tales palabras = 1 x 4!/2! = 12  

Pregunta 13. ¿Cuántas permutaciones de las letras de la palabra ‘MADHUBANI’ no comienzan con M sino que terminan con I?

Solución:

Arreglamos una I al final para que las primeras 8 letras queden para ser tratadas

Número total de palabras que terminan en I = 8!/2!

Número de palabras que comienzan con la letra M = 7!/2!

Número de palabras deseadas = 8!/2! – 7!/2! = 17640      

Pregunta 14. Encuentra la cantidad de números, mayores a un millón, que se pueden formar con el dígito 2, 3, 0, 3, 4, 2, 3?

Solución:

Para tener un número mayor a un millón debe tener al menos 7 de largo. 

Por lo tanto, ningún número que comience con el dígito 0 se puede contar. 

¡Los arreglos totales de los dígitos dados son = 7! / (3! 2!) = 420

Arreglos que tienen 0 en la primera posición = 6! / (3! 2!) = 60

Arreglos deseados = 420 – 60 = 360