Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 28 Introducción a la geometría de coordenadas 3D – Ejercicio 28.2

Pregunta 13. Demuestra que el tetraedro con vértices en los puntos O(0,0,0), A(0,1,1), B(1,0,1) y C(1,1,0) es regular .

Solución:

Dado: Los puntos O(0,0,0), A(0,1,1), B(1,0,1) y C(1,1,0).

Un tetraedro regular tiene todos los lados y diagonales iguales.

Sabemos que la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) viene dada de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(0 − 1)^2 + (1 − 0)^2 + (1 −1)^2}$

$= \sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(1 − 1)^2 + (0 −1)^2 + (1 −0)^2}$

$= \sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(1 − 0)^2 + (1 −1)^2 + (0 −1)^2}$

$= \sqrt{2}$

$OA = \sqrt{(0 − 0)^2 + (0 −1)^2 + (0 −1)^2}$

$= \sqrt{2}$

$OB = \sqrt{(0 − 1)^2 + (0 − 0)^2 + (0 −1)^2}$

$= \sqrt{2}$

$OC = \sqrt{(0 − 1)^2 + (0 −1)^2 + (0 −0)^2}$

$= \sqrt{2}$

Claramente, OA = OB = OC = AB = BC = CA.

Por tanto, O, A, B y C representan un tetraedro regular.

Pregunta 14. Demuestra que los puntos (3,2,2), (-1,1,3), (0,5,6), (2,1,2) se encuentran en una esfera cuyo centro es (1,3 ,4). Halla también su radio.

Solución:

Dado: Los puntos A(3,2,2), B(-1,1,3), C(0,5,6), D(2,1,2) y E(1,3,4)

Sabemos que la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) viene dada de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$EA = \sqrt{(1 − 3)^2 + (3 − 2)^2 + (4 − 2)^2}$

= 3

$EB = \sqrt{(1 + 1)^2 + (3 − 1)^2 + (4 − 3)^2}$

= 3

$EC = \sqrt{(1 − 0)^2 + (3 − 5)^2 + (4 − 6)^2}$

= 3

$ED = \sqrt{(1 − 2)^2 + (3 − 1)^2 + (4 − 2)^2}$

= 3

Como EA = EB = EC = ED, los puntos se encuentran en una esfera de centro E.

Radio de la esfera = 3 unidades.

Pregunta 15. Encuentra las coordenadas del punto que equidista de los cuatro puntos O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,8) ).

Solución:

Dado: Puntos O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,8).

Sea el punto requerido P(x,y,z).

Nos dan que OP = PA ⇒ OP ² = PA ²

Usando fórmula, tenemos:

$\sqrt{(x − 0)^2 + (y − 0)^2 + (z − 0)^2} = \sqrt{(x − 2)^2 + (y − 0)^2 + (z − 0)^2}$

⇒ x ² + y ² + z ² = x ² − 4x + 4 + y ² + z ²

⇒ 4x = 4

⇒ x = 1

Del mismo modo, OP ² = PB ²

⇒ $\sqrt{(x − 0)^2 + (y − 0)^2 + (z − 0)^2} = \sqrt{(x − 0)^2 + (y − 3)^2 + (z − 0)^2}$

⇒ x2 + ^y2⁺ z2 = x2 ⁺^y2⁻ 6y +9 + ^z2

⇒ 6y = 9

⇒ y = 3/2

Además, OP ² = PC ²

⇒ $\sqrt{(x − 0)^2 + (y − 0)^2 + (z − 0)^2} = \sqrt{(x − 0)^2 + (y − 0)^2 + (z − 8)^2}$

⇒ x2 + ^y2⁺ z2 = x2 ⁺^y2 + z2 ⁻ 16z ⁺ 64

⇒ 16z = 64

⇒ z = 4

Por lo tanto, el punto es P[1, 3/2, 4].

Pregunta 16. Si A(-2,2,3) y B(13,-3,13) son dos puntos, encuentra el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal manera que 3PA = 2PB.

Solución:

Dado: A(-2,2,3) y B(13,-3,13)

Sea P = (x, y, z) el punto requerido.

Nos dan 3PA = 2PB

Usando la fórmula, $\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$ , tenemos:

$3\sqrt{(x + 2)^2+(y − 2)^2+(z − 3)^2} = 2\sqrt{(x − 13)^2+(y + 3)^2+(z − 13)^2}$

Elevando al cuadrado ambos lados, tenemos;

9(x ² + 4x +4 + y ² + 4 − 4y + z ² + 9 − 6z) = 4(x ² + 169 − 26x + y ² +9 + 6y + z ² + 169 − 26z)

⇒ 5(x ² + y ² + z ² ) + 140x − 60y + 50z − 1235 = 0.

Pregunta 17. Encuentra el lugar geométrico de P si PA ² + PB ² = 2k ² , donde A y B son los puntos (3,4,5) y (-1,3,-7).

Solución:

Dado: A(3,4,5) y B(-1,3,-7)

Sea P(x, y, z) el punto requerido.

PA ² + PB ² = 2k ² . Usando la fórmula, $\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2},$ tenemos:

$\sqrt{(x − 3)^2 + (y − 4)^2 + (z − 5)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + (y − 3)^2 + (z+7)^2} = 2k^2$

⇒ 2x ² + 2y ² + 2z ² − 4x −14y + 4z + 109 − 2k ² = 0

⇒ 2(x ² + y ² +z ² ) − 4x −14y + 4z + 109 − 2k2 = 0.

Pregunta 18. Demuestra que los puntos A(a, b, c), B(b, c, a) y C(c, a, b) son vértices de un triángulo equilátero.

Solución:

Dado: puntos A(a, b, c), B(b, c, a) y C(c, a, b)

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(a − b)^2 + (b − c)^2 + (c − a)^2}$

$= \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab + b^2 + c^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac}$

$= \sqrt{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac}$

$BC = \sqrt{(b − c)^2 + (c − a)^2 + (a − b)^2}$

$= \sqrt{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac}$

$CA = \sqrt{(a − c)^2 + (b − a)^2 + (c − b)^2}$

$= \sqrt{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac}$

Como AB = BC = CA

ABC es un triángulo equilátero.

Pregunta 19. ¿Son los puntos A(3,6,9), B(10,20,30) y C(25,41,5) los vértices de un triángulo rectángulo ?

Solución:

Dado: A(3,6,9), B(10,20,30) y C(25,41,5)

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(3 − 10)^2 + (6 − 20)^2 + (9 − 30)^2}$

$= \sqrt{49 + 196 + 441}$

⇒ AB2 ⁼ 586

$BC = \sqrt{(10 − 25)^2 + (20 + 41)^2 + (30 − 5)^2}$

$= \sqrt{225 + 3721 + 625}$

⇒ ² aC = 4571

$CA = \sqrt{(3 − 25)^2 + (6 + 41)^2 + (9 − 5)^2}$

$= \sqrt{484 + 2209 + 16}$

⇒ CA2 ⁼ 2709

Como, AB ² + BC ² ≠ AC ²

AB ² + AC ² ≠ BC ²

BC ² + AC ² ≠ AB ²

ABC no es un triángulo rectángulo.

Pregunta 20. Verifique que:

(i) (0,7,-10), (1,6,-6) y (4,9,-6) son los vértices de un triángulo isósceles.

Solución:

Dado: A(0,7,-10), B(1,6,-6) y C(4,9,-6)

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(0 − 1)^2 + (7 − 6)^2 + (-10 + 6)^2}$

$= \sqrt{1 + 1 + 16} = 3\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(1 − 4)^2 + (6 − 9)^2 + (6 − 6)^2}$

$= \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(0 − 4)^2 + (7 − 9)^2 + (-10 + 6)^2}$

= 6

Como AB = BC, ABC es un triángulo isósceles.

(ii) (0,7,-10), (-1,6,6) y (4,9,-6) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Solución:

Dado: Dado: A(0,7,-10), B(1,6,-6) y C(4,9,-6)

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(0 + 1)^2 + (7 − 6)^2 + (10 - 6)^2}$

$= \sqrt{1 + 1 + 16} = 3\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (6 − 9)^2 + (6 − 6)^2}$

$= \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(-4 − 0)^2 + (9 − 7)^2 + (6 + 10)^2}$

= 6

Como AB ² + BC ² = AC ² , ABC es un triángulo rectángulo.

(iii) (-1,2,1), (1,-2,5), (4,-7,8) y (2,-3,4) son los vértices de un paralelogramo.

Solución:

Dado: A(-1,2,1), B(1,-2,5), C(4,-7,8) y D(2,-3,4)

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 + 2)^2 + (1 - 5)^2}$

$= \sqrt{36} = 6$

$BC = \sqrt{(1 − 4)^2 + (-2 + 7)^2 + (5− 8)^2}$

$= \sqrt{43}$

$CD = \sqrt{(4 − 2)^2 + (-7 + 3)^2 + (8 − 4)^2}$

$= \sqrt{36} = 6$

$DA = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 − 2)^2 + (4− 1)^2}$

$= \sqrt{43}$

Como los lados opuestos son iguales, ABCD es un paralelogramo.

(iv) (5,-1,1), (7,-4,7), (1,-6,10) y (-1,-3,4) son vértices de un rombo.

Solución:

Dado: A(5,-1,1), B(7,-4,7), C(1,-6,10) y D(-1,-3,4)

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(7 − 5)^2 + (-4 + 1)^2 + (7 − 1)^2}$

$= \sqrt{49} = 7$

$BC = \sqrt{(1 − 7)^2 + (-6 + 4)^2 + (10 − 7)^2}$

$= \sqrt{49} = 7$

$CD = \sqrt{(-1 − 1)^2 + (-3 + 6)^2 + (4 − 10)^2}$

$= \sqrt{49} = 7$

$AD = \sqrt{(-1 − 5)^2 + (-3 + 1)^2 + (4 − 1)^2}$

$= \sqrt{49} = 7$

Como AB = BC = CA = AD

ABCD es un rombo.

Pregunta 21. Encuentra el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos (1,2,3) y (3,2,-1).

Solución:

Sea P(x, y, z) el punto equidistante de los puntos A(1,2,3) y B(3,2,-1).

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

⇒ PA = PA o PA ² = PA ²

⇒ (x − 1) ² + (y − 2) ² + (z − 3) ² = (x − 3) ² + (y − 2) ² + (z + 1) ²

⇒ 4x − 8z = 14 − 14

⇒ x − 2z = 0.

Pregunta 22. Demostrar que los puntos A(1,2,3), B(-1.-2,-1), C(2,3,2) y D(7,4,6) son los vértices de un paralelogramo ABCD.

Solución:

Usando la fórmula, la distancia entre dos puntos (a, b, c) y (d, e, f) se da de la siguiente manera:

$\sqrt{(a − d)^2 + (b − e)^2 + (c − f)^2}$

$AB = \sqrt{(1 + 1)^2 + (2 + 2)^2 + (3 + 1)^2}$

$= \sqrt{36} = 6$

$BC = \sqrt{(-1 − 2)^2 + (-2 − 3)^2 + (-1− 2)^2}$

$= \sqrt{43}$

$CD = \sqrt{(2 − 4)^2 + (3 − 7)^2 + (2 − 6)^2}$

$= \sqrt{36} = 6$

$DA = \sqrt{(4 − 1)^2 + (7 − 2)^2 + (6− 3)^2}$

$= \sqrt{43}$

$AC = \sqrt{(1 -2)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 2)^2}$

$= \sqrt{3}$

$BD = \sqrt{(-1− 4)^2 + (-2 − 7)^2 + (-1 − 6)^2}$

$= \sqrt{155}$

Como los lados opuestos son iguales, ABCD es un paralelogramo.

Pregunta 23: Encuentra el lugar geométrico del punto, la suma de cuyas distancias a los puntos A(4,0,0) y B(-4,0,0) es igual a 10.

Solución:

Sea P(x, y, z) el lugar geométrico requerido.

Dado: PA + PB = 10. Usando la fórmula de la distancia,

$\sqrt{(x − 4)^2+(y − 0)^2+(z − 0)^2} + \sqrt{(x + 4)^2+(y − 0)^2+(z − 0)^2} = 10$

$⇒ 4x + 25 = 5\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16}$

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

16×2 ⁺ 625 + 200x = 25(x2 + ^y2⁺ z2 ⁺ 8x + 16)

⇒ 9x ² + 25y ² + 25z ² – 225 = 0

Pregunta 24. Encuentra la ecuación del conjunto de puntos P tal que sus distancias a los puntos A(3,4,-5) y B(-2,1,4) sean iguales.

Solución:

Dado: A(3,4,-5) y B(-2,1,4)

Sea P(x, y, z) el punto requerido, se da que PA = PB.

Por lo tanto, PA ² = PB ²

Usando la fórmula de la distancia, tenemos,

$⇒ \sqrt{(x − 3)^2+(y − 4)^2+(z + 5)^2} = \sqrt{(x + 2)^2+(y − 1)^2+(z − 4)^2}$

⇒ -6x + 9 – 8y + 16 + 10z + 25 = 4x + 4 – 2y +1 – 8z +16

⇒ 10x + 6y – 18z -29 = 0.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 28 Introducción a la geometría de coordenadas 3D – Ejercicio 28.2 | conjunto 2

Pregunta 13. Demuestra que el tetraedro con vértices en los puntos O(0,0,0), A(0,1,1), B(1,0,1) y C(1,1,0) es regular .

Pregunta 14. Demuestra que los puntos (3,2,2), (-1,1,3), (0,5,6), (2,1,2) se encuentran en una esfera cuyo centro es (1,3 ,4). Halla también su radio.

Pregunta 15. Encuentra las coordenadas del punto que equidista de los cuatro puntos O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,8) ).

Pregunta 16. Si A(-2,2,3) y B(13,-3,13) son dos puntos, encuentra el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal manera que 3PA = 2PB.

Pregunta 17. Encuentra el lugar geométrico de P si PA ² + PB ² = 2k ² , donde A y B son los puntos (3,4,5) y (-1,3,-7).

Pregunta 18. Demuestra que los puntos A(a, b, c), B(b, c, a) y C(c, a, b) son vértices de un triángulo equilátero.

Pregunta 19. ¿Son los puntos A(3,6,9), B(10,20,30) y C(25,41,5) los vértices de un triángulo rectángulo ?

Pregunta 20. Verifique que:

(i) (0,7,-10), (1,6,-6) y (4,9,-6) son los vértices de un triángulo isósceles.

(ii) (0,7,-10), (-1,6,6) y (4,9,-6) son los vértices de un triángulo rectángulo.

(iii) (-1,2,1), (1,-2,5), (4,-7,8) y (2,-3,4) son los vértices de un paralelogramo.

(iv) (5,-1,1), (7,-4,7), (1,-6,10) y (-1,-3,4) son vértices de un rombo.

Pregunta 21. Encuentra el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos (1,2,3) y (3,2,-1).

Pregunta 22. Demostrar que los puntos A(1,2,3), B(-1.-2,-1), C(2,3,2) y D(7,4,6) son los vértices de un paralelogramo ABCD.

Pregunta 23: Encuentra el lugar geométrico del punto, la suma de cuyas distancias a los puntos A(4,0,0) y B(-4,0,0) es igual a 10.

Pregunta 24. Encuentra la ecuación del conjunto de puntos P tal que sus distancias a los puntos A(3,4,-5) y B(-2,1,4) sean iguales.

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Pregunta 13. Demuestra que el tetraedro con vértices en los puntos O(0,0,0), A(0,1,1), B(1,0,1) y C(1,1,0) es regular .

Pregunta 14. Demuestra que los puntos (3,2,2), (-1,1,3), (0,5,6), (2,1,2) se encuentran en una esfera cuyo centro es (1,3 ,4). Halla también su radio.

Pregunta 15. Encuentra las coordenadas del punto que equidista de los cuatro puntos O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,8) ).

Pregunta 16. Si A(-2,2,3) y B(13,-3,13) son dos puntos, encuentra el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal manera que 3PA = 2PB.

Pregunta 17. Encuentra el lugar geométrico de P si PA 2 + PB 2 = 2k 2 , donde A y B son los puntos (3,4,5) y (-1,3,-7).

Pregunta 18. Demuestra que los puntos A(a, b, c), B(b, c, a) y C(c, a, b) son vértices de un triángulo equilátero.

Pregunta 19. ¿Son los puntos A(3,6,9), B(10,20,30) y C(25,41,5) los vértices de un triángulo rectángulo ?

Pregunta 20. Verifique que:

(i) (0,7,-10), (1,6,-6) y (4,9,-6) son los vértices de un triángulo isósceles.

(ii) (0,7,-10), (-1,6,6) y (4,9,-6) son los vértices de un triángulo rectángulo.

(iii) (-1,2,1), (1,-2,5), (4,-7,8) y (2,-3,4) son los vértices de un paralelogramo.

(iv) (5,-1,1), (7,-4,7), (1,-6,10) y (-1,-3,4) son vértices de un rombo.

Pregunta 21. Encuentra el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos (1,2,3) y (3,2,-1).

Pregunta 22. Demostrar que los puntos A(1,2,3), B(-1.-2,-1), C(2,3,2) y D(7,4,6) son los vértices de un paralelogramo ABCD.

Pregunta 23: Encuentra el lugar geométrico del punto, la suma de cuyas distancias a los puntos A(4,0,0) y B(-4,0,0) es igual a 10.

Pregunta 24. Encuentra la ecuación del conjunto de puntos P tal que sus distancias a los puntos A(3,4,-5) y B(-2,1,4) sean iguales.

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Pregunta 17. Encuentra el lugar geométrico de P si PA ² + PB ² = 2k ² , donde A y B son los puntos (3,4,5) y (-1,3,-7).