Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 3 Funciones – Ejercicio 3.1 | conjunto 2

Pregunta 10. Si f, g, h son tres funciones definidas de R a R como sigue:

(yo) f(x) = x 2

(ii) g(x) = senx

(iii) h(x) = x2 + 1

Encuentra el rango de cada función.

Solución:

(yo) tenemos,

f(x) = x2

Rango de f(x) = R+ (conjunto de todos los números reales mayores o iguales a cero)

= {x ∈ R+ | X ≥ 0}

(ii) Tenemos

g(x) = senx

Rango de g(x) = {x ∈ R : -1 ≤ x ≤ 1}

(iii) Tenemos

h(x) = x2 + 1

Rango de h(x) = {x ∈ R : x ≥ 1}

Pregunta 11. Sean X = {1, 2, 3, 4} e Y = {1, 5, 9, 11, 15, 16}

Determine cuáles de los siguientes conjuntos son funciones de X a Y

(a) f 1 = {(1, 1), (2, 11), (3, 1), (4, 15)}

(b) f = {(1, 1), (2, 7), (3, 5)}

(c) f = {(1,5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}

Solución:

(a) Tenemos,

f 1 = {(1, 1), (2, 11), (3, 1), (4, 15)}

f 1 es una función de X a Y

(b) Tenemos,

f 2 = {(1, 1), (2, 7), (3, 5)}

f 2 no es una función de X a Y porque hay un elemento 4 ∈ x que no está asociado a ningún elemento de Y.

c) Tenemos,

f 3 = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}

f 3 no es una función de X a Y porque un elemento 2 ∈ x está asociado a dos elementos 9 y 11 en Y.

Pregunta 12. Sean A = {12, 13, 14, 15, 16, 17} y f : A ⇢ Z una función dada por f(x) = máximo factor primo de x. Encuentre el rango de f.

Solución:

Tenemos,

f(x) = factor primo más alto de x.

Por lo tanto,

12 = 3 × 4,

13 = 13 × 1,

14 = 7 × 2,

15 = 5 × 3,

16 = 2 × 8,

17 = 17 × 1

Por lo tanto,

f = {(12, 3), (13, 3), (14, 7), (15, 5), (16, 2), (17, 17)}

Rango (f) = {3, 13, 7, 5, 2, 17}

Pregunta 13. Si f : R ⇢ R se define por f(x) = x 2 + 1, entonces encuentra f -1 {17} y f -1 {-3}.

Solución:

Lo sabemos,

si f : A ⇢ 13

tal que y ∈ 3. Entonces,

f -1 (y) = {x ∈ A : f(x) = y}. En otras palabras, f -1 (y) es el conjunto de preimágenes de y.

Sea f -1 (17) = x. Entonces, f(x) = 17

⇒x2 + 1 = 17

⇒x2 = 17 – 1 = 16

⇒ x = ±4

Sea f -1 {-3} = x. Entonces, f(x) = -3

⇒x2 + 1 = -3

⇒x2 = -3 – 1 = -4

⇒ x = \sqrt{-4}

Por lo tanto, f-1 {-3} = 0

Pregunta 14. Sean A = {p, q, r, s} y B = {1, 2, 3}. ¿Cuál de las siguientes relaciones de A a B no es una función?

(a) R 1 = R 1 = {(p, 1), (q, 2), (r, 1), (s, 2)}

(b) R 2 = {(p, 1), (q, 1), (r, 1), (s, 2)}

(c) R 3 = {(p, 1), (q, 2), (p, 2), (s, 3)}

(d) R 4 = {(p, 2), (q, 3), (r, 2), (s, 2)}

Solución:

Tenemos

A = {p, q, r, s} y B = {1, 2, 3}

(a) Ahora,

R 1 = {(p, 1), (q, 2), (r, 1), (s, 2)}

R 1 es una función

(b) Ahora,

R 2 = {(p, 1), (q, 2), (r, 1), (s, 1)}

R 2 es una función

c) Ahora,

R 3 = {(p, 2), (q, 3), (r, 2), (s, 2)}

R 3 no es una función porque un elemento p ∈ A está asociado a dos elementos 1 y 2 en B.

(d) Ahora,

R 4 = {(p, 2), (q, 3), (r, 2), (s, 2)}

R 4 es una función

Pregunta 15. Sea A = {9, 10, 11, 12, 13} y sea f : A ⇢ N definida por f(n) = el factor primo más alto de n. Encuentre el rango de f.

Solución:

Tenemos,

f(n) = el factor primo más alto de n.

Ahora,

9 = 3 × 3,

10 = 5 × 2,

11 = 11 × 1,

12 = 3 × 4,

13 = 13 × 1

Por lo tanto,

f = {(9, 3), (10, 5), (11, 11), (12, 3), (13, 13)}

Claramente, rango (f) = {3, 5, 11, 13}

Pregunta 16. La función f está definida por 

f(x)=\begin{cases}x^2,\ 0\le x\le 3\\ 3x,\ 3\le x\le 10\end{cases}

La relación f está definida por 

g(x)=\begin{cases}x^2,\ 0\le x\le 2\\ 3x,\ 2\le x\le 10\end{cases}

Demostrar que f es una función y g no es una función

Solución:

Tenemos,

f(x)=\begin{cases}x^2,\ 0\le x\le 3\\ 3x,\ 3\le x\le 10\end{cases}

y, 

g(x)=\begin{cases}x^2,\ 0\le x\le 2\\ 3x,\ 2\le x\le 10\end{cases}

Ahora, f(3) = (3) 2 = 9 y f(3) = 3 × 3 = 9

y, g(2) = (2) 2 = 4 y g(2) = 3 × 2 = 6

Observamos que f(x) toma un valor único en cada punto de su dominio [0,10]. Sin embargo, g(x) no toma un valor único en cada punto de su dominio [0, 10].

Por tanto, g(x) no es una función.

Pregunta 17. Si f(x) = x 2 , encuentra 

\frac{f(1.1)-f(1)}{(1.1)-1}

Solución:

Dado f(x) = x 2

f(1,1) = 1,21

f(1) = 1

\frac{f(1.1)-f(1)}{(1.1)-1}=\frac{1.21-1}{1.1-1}\\ =\frac{0.21}{0.1}

= 2,1

Pregunta 18. Expresar la función f : X ⇢ R dada por f(x) = x 3 + 1 como conjunto de pares ordenados, donde x = {-1, 0, 3, 9, 7}.

Solución:

f : X ⇢ R dada por f(x) = x 3 + 1

f(-1) = (-1) 3 + 1 = -1 + 1 = 0

f(0) = (0) 3 + 1 = 0 + 1 = 1

f(3) = (3) 3 + 1 = 27 + 1 = 28

f(9) = (9) 3 + 1 = 81 + 1 = 82

f(7) = (7) 3 + 1 = 343 + 1 = 344

El conjunto de pares ordenados son {(-1, 0), (0, 1), (3, 28), (9, 82), (7, 344)}

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashkumar0457 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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