Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Derivadas de orden superior – Ejercicio 12.1

Pregunta 27. Si y = [log{x+(√x ² +1)}] ² , demuestre que (1 + x ² )(d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) = 2.

Solución:

Tenemos,

y = [log{x + (√x ² + 1)}] ²

$\frac{dy}{dx}=2log(x+\sqrt{x^2+1}).\frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2+1})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2log(x+\sqrt{x^2+1})}{(x+\sqrt{x^2+1})}(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2log(x+\sqrt{x^2+1})}{(x+\sqrt{x^2+1})}(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}})$

dy/dx = 2[log{x + (√x ² + 1)}]/(√x ² + 1)

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\frac{2xlog(x+\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}}{x^2+1}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-x\frac{dy}{dx}}{x^2+1}$

(x ² + 1) (d ² y/dx ² ) = 2 – x (dy/dx)

(x ² + 1) (d ² y/dx ² ) + x (dy/dx) = 2

Pregunta 28. Si y = (tan ^-1 x) ² , entonces demuestre que (1 + x ² ) ² y ₂ + 2x(1 + x ² )y ₁ = 2

Solución:

Tenemos,

y = (tan ^-1 x) ²

y ₁ = 2(tan ^-1 x)[1/(1 + x ² )]

(1 + x ² )y ₁ = 2(tan ^-1 x)

(1 + x ² )y ₂ + 2xy ₁ = 2/(1 + x ² )

(1 + x ² ) ² y ₂ + 2x (1 + x ² ) y ₁ = 2

Pregunta 29. Si y = cotx, demuestre que (d ² y/dx ² ) + 2y(dy/dx) = 0.

Solución:

Tenemos,

y = cotx

(dy/dx) = -coseg ² x

d ² y/dx ² = -(2cosec x) × (-cosec x.cot x)

d ² y/dx ² = 2cosec ² x.cot x

d ² y/dx ² = 2(cot x)(cosec ² x)

d ² y/dx ² = -2y(dy/dx)

d ² y/dx ² + 2y(dy/dx) = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 30. Encuentra d ² y/dx ² donde y = log(x ² /e ² ).

Solución:

Tenemos,

y = log(x ² /e ² )

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{x^2}{e^2}}×(\frac{2x}{e^2})$

(dy/dx) = (2/x)

d ² y/dx ² = -(2/x ² )

Por lo tanto probado

Pregunta 31. Si y = ae ^2x + be ^-x , demuestre que (d ² y/dx ² ) – (dy/dx) – 2y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = ae ^2x + be ^-x

yo,

(dy/dx) = 2ae ^2x – ser ^-x

(d ² y/dx ² ) = 4ae ^2x + be ^-x

(d ² y/dx ² ) = 2ae ^2x – ser ^-x + 2(ae ^2x + ser ^-x )

(d ² y/dx ² ) = (dy/dx) + 2y

(d ² y/dx ² ) – (dy/dx) – 2y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 32. Si y = e ^x (senx + cosx), demuestre que d ² y/dx ² – 2(dy/dx) + 2y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = e ^x (senx + cosx)

(dy/dx) = e ^x (senx + cosx) + e ^x (cosx – senx)

(dy/dx) = 2e ^x cosx

(d ² y/dx ² ) = 2e ^x cosx – 2e ^x senx

Tomemos LHS,

= d ² y/dx ² – 2(dy/dx) + 2y

= 2e ^x cosx – 2e ^x senx – 2(2e ^x cosx) + 2e ^x (senx + cosx)

= 4e ^x cosx – 4e ^x cosx – 2e ^x senx + 2e ^x senx

= 0

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 33. Si y = cos ^-1 x, encuentre d ² y/dx ² en términos de y solo.

Solución:

Tenemos,

y = cos ^-1 x

(dy/dx) = -1/√(1-x ² )

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2x}{(2\sqrt{1-x^2})\frac{3}{2}}$ …(i)

y = cos ^-1 x

x = acogedor

Al poner el valor de x en la ecuación (i), obtenemos

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-cosy}{(\sqrt{1-cos^2y})\frac{3}{2}}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-cosy}{(sin^2y)\frac{3}{2}}$

d ² y/dx ² = -cosy/sen ³ y

d ² y/dx ² = -cot y cosec ² y

Pregunta 34. Si y = $e^{acos^{-1}x}$ , demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x(dy/dx) – a ² y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = $e^{acos^{-1}x}$

Tomando registro de ambos lados

logía = acos ^-1 x.loge

logía = acos ^-1 x

(1/y)(dy/dx) = a×[-1/√(1-x ² )]

(dy/dx) = -ay/√(1-x ² )

Al elevar al cuadrado ambos lados, tenemos

(dy/dx) ² = a ² y ² /(1 – x ² )

(1 – x ² )(dy/dx) ² = a ² y ²

2(1 – x ² )(dy/dx)(d ² y/dx ² ) – 2x(dy/dx) ² = 2a ² y(dy/dx)

(1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x(dy/dx) = a ² y

(1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x(dy/dx) – a ² y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 35. Si y = 500e ^7x + 600e ^-7x , demuestre que d ² y/dx ² = 49y.

Solución:

Tenemos,

y = 500e ^7x + 600e ^-7x

θ,

(dy/dx) = 7 × (500e ^7x – 600e ^-7x )

(d ² y/dx ² ) = 49 × (500e ^7x + 600e ^-7x )

(d2y ^/ dx2 ⁾ = 49y

Por lo tanto probado

Pregunta 36. Si x = 2cos t – cos 2t, y = 2sen t – sen 2t, encuentre d ² y/dx ² en t = π/2.

Solución:

Tenemos,

x = 2cos t – cos 2t, y y = 2sen t – sen 2t

yo,

(dx/dt) = -2sen t + 2sen 2t, (dy/dt) = 2cos t – 2cos 2t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = (2cos t – 2cos 2t)/(-2sen t + 2sen 2t)

(dy/dx) = (cos t – cos 2t)/(-sen t + sen 2t)

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(-sin t+2sin 2t)(-sin t+sin 2t)-(cos t-cos 2t)(-cos t+2cos 2t)}{(-sin t+sin 2t)^2}.\frac{dt}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(-sin t+2sin 2t)(-sin t+sin 2t)-(cos t-cos 2t)(-cos t+2cos 2t)}{(-sin t+sin 2t)^2(-2sin t+2sin 2t)}$

En t = π/2

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(-1+0)(-1+0)-(0+1)(0-2)}{(-1+0)^2(-2+0)}$

d ² y/dx ² = (1 + 2)/-2

d ² y/dx ² = -(3/2)

Pregunta 37. Si x = 4z ² + 5, y = 6z ² + 7z + 3, encuentre d ² y/dx ² .

Solución:

Tenemos,

x = 4z ² + 5, y y = 6z ² + 7z + 3

z,

(dx/dz) = 8z, y (dy/dz) = 12z + 7

(dy/dx) = (dy/dz) × (dz/dx)

(dy/dx) = (12z + 7)/8z

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{12×8z-8(12z+7)}{64z^2}.\frac{dz}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{96z-96z-56}{64z^2}.\frac{1}{8z}$

(d ² y/dx ² ) = -7/64z ³

Por lo tanto probado

Pregunta 38. Si y = log(1 + cosx), demuestre que d ³ y/dx ³ + (d ² y/dx ² ).(dy/dx) = 0.

Solución:

Tenemos,

y = log(1 + cosx)

(dy/dx) = -senx/(1 + cosx)

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-cosx(1+cosx)-(-sinx)(-cosx)}{(1+cosx)^2}$

d ² y/dx ² = (-cosx – cos ² x – sen ² x)/(1 + cosx) ²

d ² y/dx ² = -(1 + cosx)/(1 + cosx) ²

d ² y/dx ² = -1/(1 + cosx)

d ³ y/dx ³ = -senx/(1 + cosx) ²

d ³ y/dx ³ + [-1/(1 + cosx)][-senx/(1 + cosx)] = 0

d ³ y/dx ³ + (d ² y/dx ² ).(dy/dx) = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 39. Si y = sin(logx), demuestre que x ² (d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) + y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = sen(logx)

(dy/dx) = cos(logx).(1/x)

x(dy/dx) = cos(logx)

x(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) = -sen(logx).(1/x)

x ² (d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) = -sin(logx)

x ² (d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) = -y

x ² (d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) + y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 40. Si y = 3e ^2x + 2e ^3x , demuestre que d ² y/dx ² – 5(dy/dx) + 6y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = 3e ^2x + 2e ^3x

(dy/dx) = 6e ^2x + 6e ^3x

(dy/dx) = 6(e ^2x + e ^3x )

d ² y/dx ² = 6(2e ^2x + 3e ^3x )

d ² y/dx ² = 12e ^2x + 18e ^3x

d ² y/dx ² = 5(6e ^2x + 6e ^3x ) – 6(3e ^2x + 2e ^3x )

d ² y/dx ² = 5(dy/dx) – 6y

d ² y/dx ² – 5(dy/dx) + 6y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 41. Si y = (cot ^-1 x) ² , demuestre que y ₂ (x ² + 1) ² + 2x(x ² + 1)y ₁ = 2.

Solución:

Tenemos,

y = (cuna ^-1 x) ²

y ₁ = 2(cuna ^-1 x) × [-1/(1 + x ² )]

(1 + x ² )y ₁ = -2cot ^-1 x

(1 + x ² )y ₂ + 2xy ₁ = 2/(1 + x ² )

(1 + x ² ) ² y ₂ + 2x (1 + x ² ) y ₁ = 2

Por lo tanto probado

Pregunta 42. Si y = cosec ^-1 x, entonces demuestre que x(x ² – 1)d ² y/dx ² – (2x ² – 1)(dy/dx) = 0.

Solución:

Tenemos,

y = cosec ^-1 x

(dy/dx) = -1/x√(x ² – 1)

Al cuadrar ambos lados,

(dy/dx) ² = 1/x ² (x ² – 1)

x ² (x ² – 1) (dy/x) ² = 1

(x ⁴ – x ² )(dy/dx) ² = 1

2(dy/dx)(d ² y/dx ² )(x ⁴ – x ² ) + (dy/dx) ² (4x ³ – 2x) = 0

2x ² (x ² – 1)(dy/dx)(d ² y/dx ² ) + 2x(2x ² – 1)(dy/dx) ² = 0

x(x ² – 1)(d ² y/dx ² ) + (2x ² – 1)(dy/dx) = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 43. Si x = cos t + log(tant/2), y = sen t, entonces encuentre el valor de d ² y/dt ² y d ² y/dx ² en t = π/4 en términos de y solo .

Solución:

Tenemos,

y = sen t

yo,

(dy/dt) = cos t

(d ² y/dx ² ) = -sen t

En t = π/4

(d ² y/dx ² ) _t=π/4 = -sen(π/4)

= -1/√2

x = cos t + log(tant/2)

yo,

$\frac{dx}{dt}=-sin t+\frac{1}{tan\frac{t}{2}}.sec^2\frac{t}{2}.\frac{1}{2}$

$\frac{dx}{dt}=-sin t+\frac{1}{2sin\frac{t}{2}cos\frac{t}{2}}$

(dx/dt) = -sen t + (1/sen t)

(dx/dt) = (-sen ² t + 1)/sen t

(dx/dt) = cos ² t/sint

(dx/dt) = cos t × cot t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [cos t] × [1/cos t × cot t]

(dy/dx) = tan t

(d ² y/dx ² ) = seg ² t × (dt/dx)

(d ² y/dx ² ) = seg ² t × [1/cos t × cot t]

(d ² y/dx ² ) = sen t/cos ⁴ t

(d ² y/dx ² ) _t=π/4 = sen(π/4)/cos ⁴ (π/4)

(d ² y/dx ² ) = 2√2

En t = π/4, (d ² y/dx ² ) = -1/√2 y (d ² y/dx ² ) = 2√2

Pregunta 44. Si x = asen t, y = a[cos t + log(tant/2)], encuentre d ² y/dx ² .

Solución:

Tenemos,

x = asen t, y y = a[cos t + log(tant/2)]

yo,

(dx/dt) = acos t y $\frac{dy}{dt}=-asin t+a\frac{1}{tan\frac{t}{2}}.sec^2\frac{t}{2}.\frac{1}{2}$

$\frac{dy}{dt}=-asin t+a\frac{1}{2sin\frac{t}{2}cos\frac{t}{2}}$

(dy/dt) = a[-sen t + (1/sen t)]

(dy/dt) = a[(-sen ² t + 1)/sen t]

(dy/dt) = a[cos ² t/sint]

(dy/dt) = acos t × cot t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [acos t × cot t] × [1/acos t]

(dy/dx) = cuna t

(d ² y/dx ² )=-coseg ² t × (dt/dx)

(d ² y/dx ² ) = -cosec ² t × [1/acos t]

(d ² y/dx ² ) = -(1/asen ² t × cos t)

Pregunta 45. Si x = a(cos t + tsen t), y y = a(sen t – tcos t), entonces encuentre el valor de d 2 ^y /dx ² en t = π/4.

Solución:

Tenemos,

x = a(cos t + tsen t), y y = a(sen t – tcos t)

yo,

(dx/dt) = a(-sen t + sen t + tcos t)

(dx/dt) = atcos t

y = a(sen t – tcos t)

yo,

(dy/dx) = a(cos t – cos t + tsen t)

(dy/dx) = en sen t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [atsen t] × [1/atcos t]

(dy/dx) = tan t

(d ² y/dx ² ) = segundo ² x × (dt/dx)

(d ² y/dx ² ) = seg ² x × (1/atcos t)

(d ² y/dx ² ) = 1/atcos ³ t

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{a.\frac{π}{4}.cos^3\frac{π}{4}}$

(d ² y/dx ² ) = (8√2/aπ)

Pregunta 46. Si x = a[cos t + log(tant/2)], y = asin t, evalúe (d ² y/dx ² ) en t = π/3.

Solución:

Tenemos,

y = asen t

yo,

(dy/dt) = acos t

x = a[cos t + log(tant/2)]

yo,

$\frac{dx}{dt}=a[-sin t+\frac{1}{tan\frac{t}{2}}.sec^2\frac{t}{2}.\frac{1}{2}]$

$\frac{dx}{dt}=a[-sin t+\frac{1}{2sin\frac{t}{2}cos\frac{t}{2}}]$

(dx/dt) = a[-sen t + (1/sen t)]

(dx/dt) = a[(-sen ² t + 1)/sen t]

(dx/dt) = a[cos ² t/sint]

(dx/dt) = acos t × cot t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [cos t] × [1/cos t × cot t]

(dy/dx) = tan t

(d ² y/dx ² ) = seg ² t × (dt/dx)

(d ² y/dx ² ) = sec ² t × [1/acos t × cot t]

(d ² y/dx ² ) = sen t/acos ⁴ t

(d ² y/dx ² ) _t=π/3 = sin(π/3)/acos ⁴ (π/3)

(d ² y/dx ² ) = (8√3/a)

Pregunta 47. Si x = a(cos2t + 2tsen2t) y y = a(sen2t – 2tcos2t), entonces encuentre d ² y/dx ² .

Solución:

Tenemos,

x = a(cos2t + 2tsen2t), y y = a(sen2t – 2tcos2t)

yo,

(dx/dt) = a(-2sen2t + 2sen2t + 4tcos2t), y (dy/dt) = a(2cos2t – 2cos2t + 4tsen2t)

(dy/dt) = a(4tcos2t), y (dy/dt)=a(4tsen2t)

(dy/dx) = (dy/dz) × (dz/dx)

(dy/dx) = a(4tsen2t)/a(4tcos2t)

(dy/dx) = tan2t

(d ² y/dx ² ) = 2 seg ² 2t.(dt/dx)

(d ² y/dx ² ) = 2 s ² 2 t/4 atcos 2 t

(d ² y/dx ² ) = 1/2 atcos ³ 2t

(d ² y/dx ² ) = (1/2 en) × (seg ³ x)

Pregunta 48. Si x = asen t – bcos t, y = acos t + bsen t, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -(x ² + y ² )/y ³

Solución:

Tenemos,

x = asen t – b cos t

yo,

(dx/dt) = acos t + bsen t

y = acos t + b sen t

yo,

(dy/dt) = -asin t + bcos t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [-asin t + bcos t] × [1/(acos t + bsen t)]

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(acost+bsint)(-asint-bcost)-(-asint+bcost)(-asint+bcost)}{(acost+bsint)^2}.\frac{dt}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-(acost+bsint)^2-(-asint+bcost)^2}{(acost+bsint)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-(acost+bsint)^2-(asint-bcost)^2}{(acost+bsint)^3}$

d ² y/dx ² = (-y ² – x ² )/y ³

re ² y/dx ² = -(x ² + y ² )/y ³

Por lo tanto probado

Pregunta 49. Encuentra A y B para que y = Asen3x + Bcos3x, satisfaga la ecuación d ² y/dx ² + 4(dy/dx) + 3y = 10cos3x.

Solución:

Tenemos,

y = Asen3x + Bcos3x,

(dy/dx) = 3Acos3x – 3Bsen3x

d ² y/dx ² = -9Asen3x – 9Bcos3x

d ² y/dx ² + 4(dy/dx) + 3y = (-9Asen3x – 9Bcos3x) + 4(3Acos3x – 3Bsen3x) + 3(Asen3x + Bcos3x)

= -9Asen3x – 9Bcos3x + 12Acos3x – 12Bsen3x + 3Asen3x + 3Bcos3x

= -6Asen3x – 12Bsen3x – 6Bcos3x + 12Acos3x

= (-6A – 12B)sen3x + (-6B + 12A)cos3x …(i)

Dado que

d ² y/dx ² + 4(dy/dx) + 3y = 10 cos 3x …(ii)

Al comparar los coeficientes, obtenemos

(-6A – 12B) = 0 y (-6B + 12A) = 10

Resolviendo ecuación,

A = (2/3) y B = -(1/3)

Pregunta 50. Si y = Ae ^-kt cos(pt + c), demuestre que (d ² y/dt ² ) + 2k(dy/dt) + n ² y = 0, donde n ² = p ² + k ²

Solución:

Tenemos,

y = Ae ^-kt cos(pt + c)

yo,

(dy/dt) = -kAe ^-kt cos(pt + c) – pAe ^-kt sin(pt + c)

(dy/dt) = -ky – pAe ^-kt sin(pt + c)

(d ² y/dt ² ) = -k(dy/dt) + pAke ^-kt sin(pt + c) – p ² Ake ^-kt cos(pt + c)

(d ² y/dt ² ) = -k(dy/dt) + k(-ky – dy/dx) – p ² y

(d ² y/dt ² ) = -k(dy/dt) – k ² y – k(dy/dt) – p ² y

(d ² y/dt ² ) + 2k(dy/dt) + (k ² + p ² )y = 0

(d ² y/dt ² ) + 2k(dy/dt) + n ² y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 51. Si y = x ⁿ {acos(logx) + bsin(logx)}, demuestre que x ² (d ² y/dt ² ) + (1 – 2n) x (dy/dt) + (1 + n ² )y = 0.

Solución:

Tenemos,

y = x ⁿ {acos(logx) + bsen(logx)} …(i)

(dy/dx) = nx ^n-1 {acos(logx) + bsin(logx)} + x ⁿ {-asin(logx).(1/x) + bcos(logx).(1/x)}

x(dy/dx) = nx ⁿ {acos(logx) + bsen(logx)} + x ⁿ {-asin(logx) + bcos(logx)}

x(dy/dx) = ny + x ⁿ {-asin(logx) + bcos(logx)} …(ii)

x ^norte {-asin(logx) + bcos(logx)} = x(dy/dx) – ny …(iii)

x(d ² y/dx ² ) + (dy/dx) = n(dy/dx) + nx ^n-1 {-asin(logx) + bcos(logx)} + x ⁿ {-acos(logx).( 1/x) – bsen(logx).(1/x)}

x ² (d ² y/dx ² ) + (dy/dx) = nx(dy/dx) + nx ⁿ {-asin(logx) + bcos(logx)} – x ⁿ {acos(logx) + bsin(logx )}

x ² (d ² y/dx ² ) = n ^x (dy/dx) + n{x(dy/dx) – ny} – y – (dy/dx) [De la ecuación (ii) y (iii)]

x ² (d ² y/dx ² ) = nx(dy/dx) + nx(dy/dx) – (dy/dx) – n ² y – y

x ² (d ² y/dx ² ) = (dy/dx) x [2n – 1] – (n ² + 1)y

x ² (d ² y/dt ² ) + (1 – 2n) x (dy/dt) + (1 + n ² )y = 0

Por lo tanto probado

Pregunta 52. y = $a[x + \sqrt{x^2+1}]^n+b[x - \sqrt{x^2+1}]^{-n}$ , demuestre que (x ² +1)d ² y/d ² x + xdy/dx – ny = 0.

Solución:

tenemos y = $a[x + \sqrt{x^2+1}]^n+b[x - \sqrt{x^2+1}]^{-n}$

$na[x + \sqrt{x^2+1}]^{n-1}[1+x(x^2+1)]^{\frac{-1}{2}}+nb[x - \sqrt{x^2+1}]^{-n-1}[1-x(x^2+1)]^{\frac{-1}{2}}$

$\frac{na}{\sqrt{x^2+1}}[x + \sqrt{x^2+1}]^{n}+\frac{nb}{\sqrt{x^2+1}}[x - \sqrt{x^2+1}]^{-n}$

$\frac{n}{\sqrt{x^2+1}}[a[x + \sqrt{x^2+1}]^{n}+b[x - \sqrt{x^2+1}]^{-n}$

$\frac{nx}{\sqrt{x^2+1}}y$

d ² y/dx ² = $\frac{nx}{\sqrt{x^2+1}}\frac{dy}{dx}+y[\frac{\sqrt{x^2+1}-x^2(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}}{x^2+1}]$

d ² y/dx ² = $\frac{n^2x^2}{x^2+1}+y[\frac{1}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})}]$

d ² y/dx ² = $\frac{n^2x^2(\sqrt{x^2+1})+y}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})}$

(x ² +1)d ² y/d ² x = $\frac{n^2x^4(\sqrt{x^2+1})+x^2y}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})}-\frac{n^2x^2(\sqrt{x^2+1})+y}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})}$

Ahora pon todos estos valores en esta ecuación

(x ² +1)d ² y/d ² x + xdy/dx – ny

$\frac{n^2x^4(\sqrt{x^2+1})+x^2y}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})}-\frac{n^2x^2(\sqrt{x^2+1})+y}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})}+\frac{nx}{\sqrt{x^2+1}}y-ny=0$

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Derivadas de orden superior – Ejercicio 12.1 | conjunto 2

Pregunta 27. Si y = [log{x+(√x ² +1)}] ² , demuestre que (1 + x ² )(d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) = 2.

Pregunta 28. Si y = (tan ^-1 x) ² , entonces demuestre que (1 + x ² ) ² y ₂ + 2x(1 + x ² )y ₁ = 2

Pregunta 29. Si y = cotx, demuestre que (d ² y/dx ² ) + 2y(dy/dx) = 0.

Pregunta 30. Encuentra d ² y/dx ² donde y = log(x ² /e ² ).

Pregunta 31. Si y = ae ^2x + be ^-x , demuestre que (d ² y/dx ² ) – (dy/dx) – 2y = 0.

Pregunta 32. Si y = e ^x (senx + cosx), demuestre que d ² y/dx ² – 2(dy/dx) + 2y = 0.

Pregunta 33. Si y = cos ^-1 x, encuentre d ² y/dx ² en términos de y solo.

Pregunta 34. Si y = $e^{acos^{-1}x}$ , demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x(dy/dx) – a ² y = 0.

Pregunta 35. Si y = 500e ^7x + 600e ^-7x , demuestre que d ² y/dx ² = 49y.

Pregunta 36. Si x = 2cos t – cos 2t, y = 2sen t – sen 2t, encuentre d ² y/dx ² en t = π/2.

Pregunta 37. Si x = 4z ² + 5, y = 6z ² + 7z + 3, encuentre d ² y/dx ² .

Pregunta 38. Si y = log(1 + cosx), demuestre que d ³ y/dx ³ + (d ² y/dx ² ).(dy/dx) = 0.

Pregunta 39. Si y = sin(logx), demuestre que x ² (d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) + y = 0.

Pregunta 40. Si y = 3e ^2x + 2e ^3x , demuestre que d ² y/dx ² – 5(dy/dx) + 6y = 0.

Pregunta 41. Si y = (cot ^-1 x) ² , demuestre que y ₂ (x ² + 1) ² + 2x(x ² + 1)y ₁ = 2.

Pregunta 42. Si y = cosec ^-1 x, entonces demuestre que x(x ² – 1)d ² y/dx ² – (2x ² – 1)(dy/dx) = 0.

Pregunta 43. Si x = cos t + log(tant/2), y = sen t, entonces encuentre el valor de d ² y/dt ² y d ² y/dx ² en t = π/4 en términos de y solo .

Pregunta 44. Si x = asen t, y = a[cos t + log(tant/2)], encuentre d ² y/dx ² .

Pregunta 45. Si x = a(cos t + tsen t), y y = a(sen t – tcos t), entonces encuentre el valor de d 2 ^y /dx ² en t = π/4.

Pregunta 46. Si x = a[cos t + log(tant/2)], y = asin t, evalúe (d ² y/dx ² ) en t = π/3.

Pregunta 47. Si x = a(cos2t + 2tsen2t) y y = a(sen2t – 2tcos2t), entonces encuentre d ² y/dx ² .

Pregunta 48. Si x = asen t – bcos t, y = acos t + bsen t, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -(x ² + y ² )/y ³

Pregunta 49. Encuentra A y B para que y = Asen3x + Bcos3x, satisfaga la ecuación d ² y/dx ² + 4(dy/dx) + 3y = 10cos3x.

Pregunta 50. Si y = Ae ^-kt cos(pt + c), demuestre que (d ² y/dt ² ) + 2k(dy/dt) + n ² y = 0, donde n ² = p ² + k ²

Pregunta 51. Si y = x ⁿ {acos(logx) + bsin(logx)}, demuestre que x ² (d ² y/dt ² ) + (1 – 2n) x (dy/dt) + (1 + n ² )y = 0.

Pregunta 52. y = $a[x + \sqrt{x^2+1}]^n+b[x - \sqrt{x^2+1}]^{-n}$ , demuestre que (x ² +1)d ² y/d ² x + xdy/dx – ny = 0.

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Pregunta 27. Si y = [log{x+(√x 2 +1)}] 2 , demuestre que (1 + x 2 )(d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) = 2.

Pregunta 28. Si y = (tan -1 x) 2 , entonces demuestre que (1 + x 2 ) 2 y 2 + 2x(1 + x 2 )y 1 = 2

Pregunta 29. Si y = cotx, demuestre que (d 2 y/dx 2 ) + 2y(dy/dx) = 0.

Pregunta 30. Encuentra d 2 y/dx 2 donde y = log(x 2 /e 2 ).

Pregunta 31. Si y = ae 2x + be -x , demuestre que (d 2 y/dx 2 ) – (dy/dx) – 2y = 0.

Pregunta 32. Si y = e x (senx + cosx), demuestre que d 2 y/dx 2 – 2(dy/dx) + 2y = 0.

Pregunta 33. Si y = cos -1 x, encuentre d 2 y/dx 2 en términos de y solo.

Pregunta 34. Si y = , demuestre que (1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x(dy/dx) – a 2 y = 0.

Pregunta 35. Si y = 500e 7x + 600e -7x , demuestre que d 2 y/dx 2 = 49y.

Pregunta 36. Si x = 2cos t – cos 2t, y = 2sen t – sen 2t, encuentre d 2 y/dx 2 en t = π/2.

Pregunta 37. Si x = 4z 2 + 5, y = 6z 2 + 7z + 3, encuentre d 2 y/dx 2 .

Pregunta 38. Si y = log(1 + cosx), demuestre que d 3 y/dx 3 + (d 2 y/dx 2 ).(dy/dx) = 0.

Pregunta 39. Si y = sin(logx), demuestre que x 2 (d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) + y = 0.

Pregunta 40. Si y = 3e 2x + 2e 3x , demuestre que d 2 y/dx 2 – 5(dy/dx) + 6y = 0.

Pregunta 41. Si y = (cot -1 x) 2 , demuestre que y 2 (x 2 + 1) 2 + 2x(x 2 + 1)y 1 = 2.

Pregunta 42. Si y = cosec -1 x, entonces demuestre que x(x 2 – 1)d 2 y/dx 2 – (2x 2 – 1)(dy/dx) = 0.

Pregunta 43. Si x = cos t + log(tant/2), y = sen t, entonces encuentre el valor de d 2 y/dt 2 y d 2 y/dx 2 en t = π/4 en términos de y solo .

Pregunta 44. Si x = asen t, y = a[cos t + log(tant/2)], encuentre d 2 y/dx 2 .

Pregunta 45. Si x = a(cos t + tsen t), y y = a(sen t – tcos t), entonces encuentre el valor de d 2 y /dx 2 en t = π/4.

Pregunta 46. Si x = a[cos t + log(tant/2)], y = asin t, evalúe (d 2 y/dx 2 ) en t = π/3.

Pregunta 47. Si x = a(cos2t + 2tsen2t) y y = a(sen2t – 2tcos2t), entonces encuentre d 2 y/dx 2 .

Pregunta 48. Si x = asen t – bcos t, y = acos t + bsen t, demuestre que (d 2 y/dx 2 ) = -(x 2 + y 2 )/y 3

Pregunta 49. Encuentra A y B para que y = Asen3x + Bcos3x, satisfaga la ecuación d 2 y/dx 2 + 4(dy/dx) + 3y = 10cos3x.

Pregunta 50. Si y = Ae -kt cos(pt + c), demuestre que (d 2 y/dt 2 ) + 2k(dy/dt) + n 2 y = 0, donde n 2 = p 2 + k 2

Pregunta 51. Si y = x n {acos(logx) + bsin(logx)}, demuestre que x 2 (d 2 y/dt 2 ) + (1 – 2n) x (dy/dt) + (1 + n 2 )y = 0.

Pregunta 52. y = , demuestre que (x 2 +1)d 2 y/d 2 x + xdy/dx – ny = 0.

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Pregunta 27. Si y = [log{x+(√x ² +1)}] ² , demuestre que (1 + x ² )(d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) = 2.

Pregunta 28. Si y = (tan ^-1 x) ² , entonces demuestre que (1 + x ² ) ² y ₂ + 2x(1 + x ² )y ₁ = 2

Pregunta 29. Si y = cotx, demuestre que (d ² y/dx ² ) + 2y(dy/dx) = 0.

Pregunta 30. Encuentra d ² y/dx ² donde y = log(x ² /e ² ).

Pregunta 31. Si y = ae ^2x + be ^-x , demuestre que (d ² y/dx ² ) – (dy/dx) – 2y = 0.

Pregunta 32. Si y = e ^x (senx + cosx), demuestre que d ² y/dx ² – 2(dy/dx) + 2y = 0.

Pregunta 33. Si y = cos ^-1 x, encuentre d ² y/dx ² en términos de y solo.

Pregunta 34. Si y = $e^{acos^{-1}x}$ , demuestre que (1 – x ² )(d ² y/dx ² ) – x(dy/dx) – a ² y = 0.

Pregunta 35. Si y = 500e ^7x + 600e ^-7x , demuestre que d ² y/dx ² = 49y.

Pregunta 36. Si x = 2cos t – cos 2t, y = 2sen t – sen 2t, encuentre d ² y/dx ² en t = π/2.

Pregunta 37. Si x = 4z ² + 5, y = 6z ² + 7z + 3, encuentre d ² y/dx ² .

Pregunta 38. Si y = log(1 + cosx), demuestre que d ³ y/dx ³ + (d ² y/dx ² ).(dy/dx) = 0.

Pregunta 39. Si y = sin(logx), demuestre que x ² (d ² y/dx ² ) + x(dy/dx) + y = 0.

Pregunta 40. Si y = 3e ^2x + 2e ^3x , demuestre que d ² y/dx ² – 5(dy/dx) + 6y = 0.

Pregunta 41. Si y = (cot ^-1 x) ² , demuestre que y ₂ (x ² + 1) ² + 2x(x ² + 1)y ₁ = 2.

Pregunta 42. Si y = cosec ^-1 x, entonces demuestre que x(x ² – 1)d ² y/dx ² – (2x ² – 1)(dy/dx) = 0.

Pregunta 43. Si x = cos t + log(tant/2), y = sen t, entonces encuentre el valor de d ² y/dt ² y d ² y/dx ² en t = π/4 en términos de y solo .

Pregunta 44. Si x = asen t, y = a[cos t + log(tant/2)], encuentre d ² y/dx ² .

Pregunta 45. Si x = a(cos t + tsen t), y y = a(sen t – tcos t), entonces encuentre el valor de d 2 ^y /dx ² en t = π/4.

Pregunta 46. Si x = a[cos t + log(tant/2)], y = asin t, evalúe (d ² y/dx ² ) en t = π/3.

Pregunta 47. Si x = a(cos2t + 2tsen2t) y y = a(sen2t – 2tcos2t), entonces encuentre d ² y/dx ² .

Pregunta 48. Si x = asen t – bcos t, y = acos t + bsen t, demuestre que (d ² y/dx ² ) = -(x ² + y ² )/y ³

Pregunta 49. Encuentra A y B para que y = Asen3x + Bcos3x, satisfaga la ecuación d ² y/dx ² + 4(dy/dx) + 3y = 10cos3x.

Pregunta 50. Si y = Ae ^-kt cos(pt + c), demuestre que (d ² y/dt ² ) + 2k(dy/dt) + n ² y = 0, donde n ² = p ² + k ²

Pregunta 51. Si y = x ⁿ {acos(logx) + bsin(logx)}, demuestre que x ² (d ² y/dt ² ) + (1 – 2n) x (dy/dt) + (1 + n ² )y = 0.

Pregunta 52. y = $a[x + \sqrt{x^2+1}]^n+b[x - \sqrt{x^2+1}]^{-n}$ , demuestre que (x ² +1)d ² y/d ² x + xdy/dx – ny = 0.