Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Funciones crecientes y decrecientes – Ejercicio 17.2

Pregunta 11. Muestre que f(x) = cos ² x es una función decreciente en (0, π/2).

Solución:

Tenemos,

f(x) = cos ² x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(cos^2 x)$

f'(x) = 2 cos x (– sen x)

f'(x) = – sen 2x

Ahora para 0 < x < π/2,

=> sen 2x > 0

=> – sen 2x < 0

=> f'(x) < 0

Por tanto, f(x) es decreciente en x ∈ (0, π/2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 12. Demuestra que f(x) = sen x es una función creciente en (–π/2, π/2).

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(sin x)$

f'(x) = cos x

Ahora para –π/2 < x < π/2,

=> cos x > 0

=> f'(x) > 0

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–π/2, π/2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 13. Demostrar que f(x) = cos x es una función decreciente en (0, π), creciente en (–π, 0) y ni creciente ni decreciente en (–π, π).

Solución:

Tenemos,

f(x) = cos x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(cos x)$

f'(x) = – sen x

Ahora para 0 < x < π,

=> sen x > 0

=> – sen x < 0

=> f'(x) < 0

Y para –π < x < 0,

=> sen x < 0

=> – sen x > 0

=> f'(x) > 0

Por lo tanto, f(x) es decreciente en (0, π) y creciente en (–π, 0).

Por tanto, f(x) no es ni creciente ni decreciente en (–π, π).

Por lo tanto probado.

Pregunta 14. Muestre que f(x) = tan x es una función creciente en (–π/2, π/2).

Solución:

Tenemos,

f(x) = tan x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(tan x)$

f'(x) = segundo ² x

Ahora para –π/2 < x < π/2,

=> segundo ² x > 0

=> f'(x) > 0

Por lo tanto, f(x) crece en el intervalo (–π/2, π/2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 15. Muestre que f(x) = tan ^–1 (sen x + cos x) es una función decreciente en el intervalo (π/4, π /2).

Solución:

Tenemos,

f(x) = tan ^–1 (sen x + cos x)

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(tan^{-1} (sin x + cos x))$

f'(x) = $\frac{1}{1+(sinx+cosx)^2}(cosx-sinx)$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{1+(sinx+cosx)^2}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{1+sin^2x+cos^2+2sinxcosx}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{1+1+2sinxcosx}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{2+2sinxcosx}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{2(1+sinxcosx)}$

Ahora para π/4 < x < π/2,

=> $\frac{cosx-sinx}{2(1+sinxcosx)}$ < 0

=> f'(x) < 0

Por lo tanto, f(x) es decreciente en el intervalo (π/4, π/2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 16. Demuestra que la función f(x) = sen (2x + π/4) es decreciente en (3π/8, 5π/8).

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen (2x + π/4)

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(sin (2x + π/4))$

f'(x) = 2 cos (2x + π/4)

Ahora tenemos, 3π/8 < x < 5π/8

=> 3π/4 < 2x < 5π/4

=> 3π/4 + π/4 < 2x + π/4 < 5π/4 + π/4

=> π < 2x + π/4 + 3π/2

Como 2x + π/4 se encuentra en el tercer cuadrante, obtenemos,

=> porque (2x + π/4) < 0

=> 2 porque (2x + π/4) < 0

=> f'(x) < 0

Por lo tanto, f(x) es decreciente en el intervalo (3π/8, 5π/8).

Por lo tanto probado.

Pregunta 17. Muestre que la función f(x) = cot ^–1 (sen x + cos x) es creciente en (0, π/4) y decreciente en (π/4, π/2).

Solución:

Tenemos,

f(x) = cot ^–1 (sen x + cos x)

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(cot^{-1} (sin x + cos x))$

f'(x) = $\frac{1}{1+(sinx+cosx)^2}(cosx-sinx)$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{1+(sinx+cosx)^2}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{1+sin^2x+cos^2+2sinxcosx}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{1+1+2sinxcosx}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{2+2sinxcosx}$

f'(x) = $\frac{cosx-sinx}{2(1+sinxcosx)}$

Ahora para π/4 < x < π/2,

=> $\frac{cosx-sinx}{2(1+sinxcosx)}$ < 0

=> cos x – sen x < 0

=> f'(x) < 0

También para 0 < x < π/4,

=> $\frac{cosx-sinx}{2(1+sinxcosx)}$ > 0

=> cos x – sen x > 0

=> f'(x) > 0

Por lo tanto, f(x) crece en el intervalo (0, π/4) y disminuye en los intervalos (π/4, π/2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 18. Muestre que f(x) = (x – 1) e ^x + 1 es una función creciente para todo x > 0.

Solución:

Tenemos,

f(x) = (x – 1) e ^x + 1

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}((x - 1) e^x + 1)$

f'(x) = e ^x + (x – 1) e ^x

f'(x) = e ^x (1+ x – 1)

f'(x) = xe ^x

Ahora para x > 0,

⇒ e ^x > 0

⇒ xe ^x > 0

⇒ f'(x) > 0

Por tanto, f(x) crece en el intervalo x > 0.

Por lo tanto probado.

Pregunta 19. Muestre que la función x ² – x + 1 no es ni creciente ni decreciente en (0, 1).

Solución:

Tenemos,

f(x) = x2 – x ⁺ 1

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^2 - x + 1)$

f'(x) = 2x – 1 + 0

f'(x) = 2x – 1

Ahora para 0 < x < 1/2, tenemos

=> 2x – 1 < 0

=> f(x) < 0

También para 1/2 < x < 1,

=> 2x – 1 > 0

=> f(x) > 0

Por lo tanto, f(x) crece en el intervalo (1/2, 1) y disminuye en el intervalo (0, 1/2).

Por tanto, la función no es ni creciente ni decreciente en (0, 1).

Por lo tanto probado.

Pregunta 20. Demuestra que f(x) = x ⁹ + 4x ⁷ + 11 es una función creciente para todo x ∈ R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = x ⁹ + 4x ⁷ + 11

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^9 + 4x^7 + 11)$

f'(x) = 9x ⁸ + 28x ⁶ + 0

f'(x) = 9x ⁸ + 28x ⁶

f'(x) = x ⁶ (9x ² + 28)

Dado que x ∈ R, obtenemos,

=> x ⁶ > 0

Asimismo, podemos concluir que,

=> 9x ² + 28 > 0

Esto nos da, f'(x) > 0.

Por tanto, la función es creciente en el intervalo x ∈ R.

Por lo tanto probado.

Pregunta 21. Muestre que f(x) = x ³ – 6x ² + 12x – 18 es creciente en R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = x ³ – 6x ² + 12x – 18

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 12x - 18)$

f'(x) = 3x ² – 12x + 12 – 0

f'(x) = 3x ² – 12x + 12

f'(x) = 3 (x2 ^– 4x + 4)

f'(x) = 3 (x – 2) ²

Ahora para x ∈ R, obtenemos,

=> (x – 2) ² > 0

=> 3 (x – 2) ² > 0

=> f'(x) > 0

Por tanto, la función es creciente en el intervalo x ∈ R.

Por lo tanto probado.

Pregunta 22. Indica cuándo se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo [a, b]. Pruebe si la función f(x) = x ² – 6x + 3 es creciente en el intervalo [4, 6].

Solución:

Se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo [a, b] si f(x) > 0.

Tenemos,

f(x) = x2 ^– 6x + 3

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 3)$

f'(x) = 2x – 6 + 0

f'(x) = 2x – 6

f'(x) = 2(x – 3)

Ahora para x ∈ [4, 6], obtenemos,

=> 4 ≤ X ≤ 6

=> 1 ≤ (x – 3) ≤ 3

=> x – 3 > 0

=> f'(x) > 0

Por tanto, la función es creciente en el intervalo [4, 6].

Por lo tanto probado.

Pregunta 23. Demuestra que f(x) = sen x – cos x es una función creciente en (–π/4, π/4).

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen x – cos x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(sin x - cos x)$

f'(x) = cos x + sen x

f'(x) = $\sqrt{2}[\frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx]$

f'(x) = $\sqrt{2}[sin\frac{\pi}{4}cosx+cos\frac{\pi}{4}sinx]$

f'(x) = $\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}+x)$

Ahora tenemos, x ∈ (–π/4, π/4)

=> –π/4 < x < π/4

=> 0 < (x + π/4) < π/2

=> sen 0 < sen (x + π/4) < sen π/2

=> 0 < sen (x + π/4) < 1

=> sen (x + π/4) > 0

=> √2 sen (x + π/4) > 0

=> f'(x) > 0

Por tanto, la función es creciente en el intervalo (–π/4, π/4).

Por lo tanto probado.

Pregunta 24. Muestre que f(x) = tan ^–1 x – x es una función decreciente en R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = tan ^–1 x – x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(tan^{-1} x - x)$

f'(x) = $\frac{1}{1+x^2}-1$

f'(x) = $\frac{1-1-x^2}{1+x^2}$

f'(x) = $\frac{-x^2}{1+x^2}$

Ahora para x ∈ R, tenemos,

=> x2 > ⁰ y 1 + x2 > ⁰

=> $\frac{x^2}{1+x^2}$ > 0

=> $\frac{-x^2}{1+x^2}$ < 0

=> f'(x) < 0

Así, f(x) es una función decreciente en el intervalo x ∈ R.

Por lo tanto probado.

Pregunta 25. Determine si f(x) = –x/2 + sen x es una función creciente o decreciente en (–π/3, π/3).

Solución:

Tenemos,

f(x) = –x/2 + sen x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(\frac{-x}{2} + sin x)$

f'(x) = $\frac{-1}{2} + cosx$

Ahora tenemos

=> x ∈ (–π/3, π/3)

=> –π/3 < x < π/3

=> coseno (–π/3) < coseno x < coseno (π/3)

=> 1/2 < cos x < 1/2

=> $\frac{-1}{2} + cosx$ > 0

=> f'(x) > 0

Así, f(x) es una función creciente en el intervalo x ∈ (–π/3, π/3).

Por lo tanto probado.

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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Funciones crecientes y decrecientes – Ejercicio 17.2 | conjunto 2

Pregunta 11. Muestre que f(x) = cos ² x es una función decreciente en (0, π/2).

Pregunta 12. Demuestra que f(x) = sen x es una función creciente en (–π/2, π/2).

Pregunta 13. Demostrar que f(x) = cos x es una función decreciente en (0, π), creciente en (–π, 0) y ni creciente ni decreciente en (–π, π).

Pregunta 14. Muestre que f(x) = tan x es una función creciente en (–π/2, π/2).

Pregunta 15. Muestre que f(x) = tan ^–1 (sen x + cos x) es una función decreciente en el intervalo (π/4, π /2).

Pregunta 16. Demuestra que la función f(x) = sen (2x + π/4) es decreciente en (3π/8, 5π/8).

Pregunta 17. Muestre que la función f(x) = cot ^–1 (sen x + cos x) es creciente en (0, π/4) y decreciente en (π/4, π/2).

Pregunta 18. Muestre que f(x) = (x – 1) e ^x + 1 es una función creciente para todo x > 0.

Pregunta 19. Muestre que la función x ² – x + 1 no es ni creciente ni decreciente en (0, 1).

Pregunta 20. Demuestra que f(x) = x ⁹ + 4x ⁷ + 11 es una función creciente para todo x ∈ R.

Pregunta 21. Muestre que f(x) = x ³ – 6x ² + 12x – 18 es creciente en R.

Pregunta 22. Indica cuándo se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo [a, b]. Pruebe si la función f(x) = x ² – 6x + 3 es creciente en el intervalo [4, 6].

Pregunta 23. Demuestra que f(x) = sen x – cos x es una función creciente en (–π/4, π/4).

Pregunta 24. Muestre que f(x) = tan ^–1 x – x es una función decreciente en R.

Pregunta 25. Determine si f(x) = –x/2 + sen x es una función creciente o decreciente en (–π/3, π/3).

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Pregunta 11. Muestre que f(x) = cos 2 x es una función decreciente en (0, π/2).

Pregunta 12. Demuestra que f(x) = sen x es una función creciente en (–π/2, π/2).

Pregunta 13. Demostrar que f(x) = cos x es una función decreciente en (0, π), creciente en (–π, 0) y ni creciente ni decreciente en (–π, π).

Pregunta 14. Muestre que f(x) = tan x es una función creciente en (–π/2, π/2).

Pregunta 15. Muestre que f(x) = tan –1 (sen x + cos x) es una función decreciente en el intervalo (π/4, π /2).

Pregunta 16. Demuestra que la función f(x) = sen (2x + π/4) es decreciente en (3π/8, 5π/8).

Pregunta 17. Muestre que la función f(x) = cot –1 (sen x + cos x) es creciente en (0, π/4) y decreciente en (π/4, π/2).

Pregunta 18. Muestre que f(x) = (x – 1) e x + 1 es una función creciente para todo x > 0.

Pregunta 19. Muestre que la función x 2 – x + 1 no es ni creciente ni decreciente en (0, 1).

Pregunta 20. Demuestra que f(x) = x 9 + 4x 7 + 11 es una función creciente para todo x ∈ R.

Pregunta 21. Muestre que f(x) = x 3 – 6x 2 + 12x – 18 es creciente en R.

Pregunta 22. Indica cuándo se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo [a, b]. Pruebe si la función f(x) = x 2 – 6x + 3 es creciente en el intervalo [4, 6].

Pregunta 23. Demuestra que f(x) = sen x – cos x es una función creciente en (–π/4, π/4).

Pregunta 24. Muestre que f(x) = tan –1 x – x es una función decreciente en R.

Pregunta 25. Determine si f(x) = –x/2 + sen x es una función creciente o decreciente en (–π/3, π/3).

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Pregunta 11. Muestre que f(x) = cos ² x es una función decreciente en (0, π/2).

Pregunta 15. Muestre que f(x) = tan ^–1 (sen x + cos x) es una función decreciente en el intervalo (π/4, π /2).

Pregunta 17. Muestre que la función f(x) = cot ^–1 (sen x + cos x) es creciente en (0, π/4) y decreciente en (π/4, π/2).

Pregunta 18. Muestre que f(x) = (x – 1) e ^x + 1 es una función creciente para todo x > 0.

Pregunta 19. Muestre que la función x ² – x + 1 no es ni creciente ni decreciente en (0, 1).

Pregunta 20. Demuestra que f(x) = x ⁹ + 4x ⁷ + 11 es una función creciente para todo x ∈ R.

Pregunta 21. Muestre que f(x) = x ³ – 6x ² + 12x – 18 es creciente en R.

Pregunta 22. Indica cuándo se dice que una función f(x) es creciente en un intervalo [a, b]. Pruebe si la función f(x) = x ² – 6x + 3 es creciente en el intervalo [4, 6].

Pregunta 24. Muestre que f(x) = tan ^–1 x – x es una función decreciente en R.