Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Funciones crecientes y decrecientes – Ejercicio 17.2

Pregunta 1. Encuentra los intervalos en los que las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.

(yo) f(x) = 10 – 6x – 2x ²

Solución:

Se nos da,

f(x) = 10 – 6x – 2x ²

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(10 - 6x - 2x^2)$

f'(x) = 0 – 6 – 4x

f'(x) = – 6 – 4x

Para que f(x) sea creciente, debemos tener,

=> f'(x) > 0

=> – 6 – 4x > 0

=> – 4x > 6

=> x < –6/4

=> x < –3/2

=> x ∈ (–∞, –3/2)

Para que f(x) sea decreciente, debemos tener,

=> f'(x) < 0

=> – 6 – 4x < 0

=> – 4x <6

=> x > –6/4

=> x > –3/2

=> x ∈ ( –3/2, ∞)

Así, f(x) es creciente en el intervalo x ∈ (–∞, –3/2) y decreciente en el intervalo x ∈ (–3/2, ∞).

(ii) f(x) = x2 ⁺ 2x – 5

Solución:

Se nos da,

f(x) = x2 ⁺ 2x – 5

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^2 + 2x - 5)$

f'(x) = 2x + 2 – 0

f'(x) = 2x + 2

Para que f(x) sea creciente, debemos tener,

=> f'(x) > 0

=> 2x + 2 > 0

=> 2x > –2

=> x > –2/2

=> x > –1

=> x ∈ (–1, ∞)

Para que f(x) sea decreciente, debemos tener,

=> f'(x) < 0

=> 2x + 2 < 0

=> 2x < –2

=> x < –2/2

=> x < –1

=> x ∈ (–∞, –1)

Así, f(x) es creciente en el intervalo x ∈ (–1, ∞) y decreciente en el intervalo x ∈ (–∞, –1).

(iii) f(x) = 6 – 9x – x ²

Solución:

Se nos da,

f(x) = 6 – 9x – x ²

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(6 - 9x - x^2)$

f'(x) = 0 – 9 – 2x

f'(x) = – 9 – 2x

Para que f(x) sea creciente, debemos tener,

=> f'(x) > 0

=> –9 – 2x > 0

=> –2x > 9

=> x > –9/2

=> x ∈ (–9/2, ∞)

Para que f(x) sea decreciente, debemos tener,

=> f'(x) < 0

=> –9 – 2x < 0

=> –2x < 9

=> x < –9/2

=> x ∈ (–∞, –9/2)

Así, f(x) es creciente en el intervalo x ∈ (–9/2, ∞) y decreciente en el intervalo x ∈ (–∞, –9/2).

(iv) f(x) = 2x ³ – 12x ² + 18x + 15

Solución:

Se nos da,

f(x) = 2x ³ – 12x ² + 18x + 15

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(2x^3 - 12x^2 + 18x + 15)$

f'(x) = 6x ² – 24x + 18 + 0

f'(x) = 6x ² – 24x + 18

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6x ² – 24x + 18 = 0

=> 6 (x ² – 4x + 3) = 0

=> x2 – 4x ⁺ 3 = 0

=> x2 – 3x – x + 3 = ⁰

=> x (x – 3) – 1 (x – 3) = 0

=> (x-1) (x-3) = 0

=> x = 1, 3

Claramente, f'(x) > 0 si x < 1 y x > 3.

Además, f'(x) < 0, si 1 < x < 3.

Así, f(x) es creciente en el intervalo x ∈ (–∞, 1)∪ (3, ∞) y decreciente en el intervalo x ∈ (1, 3).

(v) f(x) = 5 + 36x + 3x ² – 2x ³

Solución:

Se nos da,

f(x) = 5 + 36x + 3x ² – 2x ³

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(5 + 36x + 3x^2 - 2x^3)$

f'(x) = 0 + 36 + 6x – 6x ²

f'(x) = 36 + 6x – 6x ²

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 36 + 6x – 6x ² = 0

=> 6 (– x ² + x + 6) = 0

=> 6 (–x ² + 3x – 2x + 6) = 0

=> –x ² + 3x – 2x + 6 = 0

=> x ² – 3x + 2x – 6 = 0

=> (x – 3) (x + 2) = 0

=> x = 3, – 2

Claramente, f'(x) > 0 si –2 < x < 3.

También f'(x) < 0 si x < –2 y x > 3.

Así, f(x) crece en x ∈ (–2, 3) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –2) ∪ (3, ∞).

(vi) f(x) = 8 + 36x + 3x ² – 2x ³

Solución:

Se nos da,

f(x) = 8 + 36x + 3x ² – 2x ³

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(8 + 36x + 3x^2 - 2x^3)$

f'(x) = 0 + 36 + 6x – 6x ²

f'(x) = 36 + 6x – 6x ²

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 36 + 6x – 6x ² = 0

=> 6 (– x ² + x + 6) = 0

=> 6 (–x ² + 3x – 2x + 6) = 0

=> –x ² + 3x – 2x + 6 = 0

=> x ² – 3x + 2x – 6 = 0

=> (x – 3) (x + 2) = 0

=> x = 3, –2

Claramente, f'(x) > 0 si –2 < x < 3.

También f'(x) < 0 si x < –2 y x > 3.

Así, f(x) crece en x ∈ (–2, 3) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –2) ∪ (3, ∞).

(vii) f(x) = 5x ³ – 15x ² – 120x + 3

Solución:

Se nos da,

f(x) = 5x ³ – 15x ² – 120x + 3

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(5x^3 - 15x^2 - 120x + 3)$

f'(x) = 15x ² – 30x – 120 + 0

f'(x) = 15x ² – 30x – 120

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 15x ² – 30x – 120 = 0

=> 15(x ² – 2x – 8) = 0

=> 15(x ² – 4x + 2x – 8) = 0

=> x ² – 4x + 2x – 8 = 0

=> (x – 4) (x + 2) = 0

=> x = 4, –2

Claramente, f'(x) > 0 si x < –2 y x > 4.

También f'(x) < 0 si –2 < x < 4.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–∞,–2) ∪ (4, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (–2, 4).

(viii) f(x) = x ³ – 6x ² – 36x + 2

Solución:

Se nos da,

f(x) = x ³ – 6x ² – 36x + 2

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 - 36x + 2)$

f'(x) = 3x ² – 12x – 36 + 0

f'(x) = 3x ² – 12x – 36

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 3x ² – 12x – 36 = 0

=> 3(x ² – 4x – 12) = 0

=> 3(x ² – 6x + 2x – 12) = 0

=> x ² – 6x + 2x – 12 = 0

=> (x – 6) (x + 2) = 0

=> x = 6, –2

Claramente, f'(x) > 0 si x < –2 y x > 6.

También f'(x) < 0 si –2< x < 6

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–∞,–2) ∪ (6, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (–2, 6).

(ix) f(x) = 2x ³ – 15x ² + 36x + 1

Solución:

Se nos da,

f(x) = 2x ³ – 15x ² + 36x + 1

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x + 1)$

f'(x) = 6x ² – 30x + 36 + 0

f'(x) = 6x ² – 30x + 36

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6x ² – 30x + 36 = 0

=> 6 (x ² – 5x + 6) = 0

=> 6(x ² – 3x – 2x + 6) = 0

=> x ² – 3x – 2x + 6 = 0

=> (x-3) (x-2) = 0

=> x = 3, 2

Claramente, f'(x) > 0 si x < 2 y x > 3.

También f'(x) < 0 si 2 < x < 3.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–∞, 2) ∪ (3, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (2, 3).

(x) f(x) = 2x ³ + 9x ² + 12x + 1

Solución:

Se nos da,

f(x) = 2x ³ + 9x ² + 12x + 1

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 + 12x + 1)$

f'(x) = 6x ² + 18x + 12 + 0

f'(x) = 6x ² + 18x + 12

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6×2 ⁺ 18x + 12 = 0

=> 6 (x2 + 3x + 2) = ⁰

=> 6(x2 + 2x + x + 2) = ⁰

=> x2 + 2x + x + 2 = ⁰

=> (x + 2) (x + 1) = 0

=> x = –1, –2

Claramente, f'(x) > 0 si –2 < x < –1.

También f'(x) < 0 si x < –1 y x > –2.

Así, f(x) crece en x ∈ (–2,–1) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –2) ∪ (–2, ∞).

(xi) f(x) = 2x ³ – 9x ² + 12x – 5

Solución:

Se nos da,

f(x) = 2x ³ – 9x ² + 12x – 5

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}( 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5)$

f'(x) = 6x ² – 18x + 12 – 0

f'(x) = 6x ² – 18x + 12

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6x ² – 18x + 12 = 0

=> 6 (x ² – 3x + 2) = 0

=> 6(x ² – 2x – x + 2) = 0

=> x2 – 2x – x + 2 = ⁰

=> (x-2) (x-1) = 0

=> x = 1, 2

Claramente, f'(x) > 0 si x < 1 y x > 2.

También f'(x) < 0 si 1 < x < 2.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–∞, 1) ∪ (2, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (1, 2).

(xii) f(x) = 6 + 12x + 3x ² – 2x ³

Solución:

Se nos da,

f(x) = 6 + 12x + 3x ² – 2x ³

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(6 + 12x + 3x^2 - 2x^3)$

f'(x) = 0 + 12 + 6x – 6x ²

f'(x) = 12 + 6x – 6x ²

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 12 + 6x – 6x ² = 0

=> 6 (–x ² + x + 2) = 0

=> x2 – x – 2 = ⁰

=> x2 – 2x + x – 2 = ⁰

=> (x – 2) (x + 1) = 0

=> x = 2, –1

Claramente, f'(x) > 0 si –1 < x < 2.

También f'(x) < 0 si x < –1 y x > 2.

Así, f(x) crece en x ∈ (–1, 2) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –1) ∪ (2, ∞).

(xiii) f(x) = 2x ³ – 24x + 107

Solución:

Se nos da,

f(x) = 2x ³ – 24x + 107

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(2x^3 - 24x + 107)$

f'(x) = 6x ² – 24 + 0

f'(x) = 6x ² – 24

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6x ² – 24 = 0

=> 6×2 ⁼ 24

=> x2 = ⁴

=> x = 2, –2

Claramente, f'(x) > 0 si x < –2 y x > 2.

También f'(x) < 0 si –2 < x < 2.

Así, f(x) crece en x ∈ (–∞, –2) ∪ (2, ∞), y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–2, 2).

(xiv) f(x) = –2x ³ – 9x ² – 12x + 1

Solución:

Se nos da,

f(x) = –2x ³ – 9x ² – 12x + 1

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(-2x^3 - 9x^2 - 12x + 1)$

f'(x) = –6x ² – 18x – 12 + 0

f'(x) = –6x ² – 18x – 12

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> –6x ² – 18x – 12 = 0

=> 6 (–x ² – 3x – 2) = 0

=> x2 + 3x + 2 = ⁰

=> x2 + 2x + x + 2 = ⁰

=> (x + 2) (x + 1) = 0

=> x = –2, –1

Claramente, f'(x) > 0 si x < –1 yx > –2.

Además, f'(x) < 0 si –2 < x < –1.

Así, f(x) crece en x ∈ (–2, –1) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –2) ∪ (–1, ∞).

(xv) f(x) = (x – 1) (x – 2) ²

Solución:

Se nos da,

f(x) = (x – 1) (x – 2) ²

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}((x - 1) (x - 2)^2)$

f'(x) = (x – 2) ² + 2 (x – 1) (x – 2)

f'(x) = (x – 2) (x – 2 + 2x – 2)

f'(x) = (x – 2) (3x – 4)

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> (x – 2) (3x – 4) = 0

=> x = 2, 4/3

Claramente, f'(x) > 0 si x < 4/3 y x > 2.

Además, f'(x) < 0 si 4/3 < x < 2.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–∞, 4/3) ∪ (2, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (4/3, 2).

(xvi) f(x) = x ³ – 12x ² + 36x + 17

Solución:

Se nos da,

f(x) = x3 ^– 12×2 ⁺ 36x + 17

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^3 - 12x^2 + 36x + 17)$

f'(x) = 3x ² – 24x + 36 + 0

f'(x) = 3x ² – 24x + 36

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 3x ² – 24x + 36 = 0

=> 3 (x ² – 8x + 12) = 0

=> x2 ^– 8x + 12 = 0

=> x ² – 6x – 2x + 12 = 0

=> (x-6) (x-2) = 0

=> x = 6, 2

Claramente, f'(x) > 0 si x < 2 y x > 6.

Además, f'(x) < 0 si 2 < x < 6.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–∞, 2) ∪ (6, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (2, 6).

(xvii) f(x) = 2x ³ – 24x + 7

Solución:

Se nos da,

f(x) = 2x ³ – 24x + 7

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(2x^3 - 24x + 7)$

f'(x) = 6x ² – 24 + 0

f'(x) = 6x ² – 24

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6x ² – 24 = 0

=> 6×2 ⁼ 24

=> x2 = ⁴

=> x = 2, –2

Claramente, f'(x) > 0 si x < –2 y x > 2.

También f'(x) < 0 si –2 < x < 2.

Así, f(x) crece en x ∈ (–∞, –2) ∪ (2, ∞), y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–2, 2).

(xviii) f(x) = 3x ⁴ /10 – 4x ³ /5 -3x ² + 36x/5 + 11

Solución:

Se nos da,

f(x) = 3x ⁴ /10 – 4x ³ /5 -3x ² + 36x/5 + 11

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(\frac{3}{10}x^4-\frac{4}{5}x^3-3x^2+\frac{36}{5}x+11)$

f'(x) = 6x ^3/5 – 12x ^2/5 -3(2x) + 36/5

f'(x) = 6/5[(x – 1)(x + 2)(x – 3)]

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6/5[(x – 1)(x + 2)(x – 3)] = 0

=> x = 1, –2, 3

Claramente, f'(x) > 0 si –2 < x < 1 y si x > 3

También f'(x) < 0 si 1 < x < 3.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (3, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (1, 3).

(xix) f(x) = x ⁴ – 4x

Solución:

Se nos da,

f(x) = x4 – ^4x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^4 - 4x)$

f'(x) = 4x ³ – 4

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 4x ³ – 4 = 0

=> 4 (x ³ – 1) = 0

=> x ³ – 1 = 0

=>x3 ⁼ 1

=> x = 1

Claramente, f'(x) > 0 si x > 1.

También f'(x) < 0 si x < 1.

Así, f(x) crece en x ∈ (1, ∞), y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, 1).

(xx) f(x) = x ⁴ /4 + 2/3x ³ – 5/2x ² – 6x + 7

Solución:

Tenemos,

f(x) = x ⁴ /4 + 2/3x ³ – 5/2x ² – 6x + 7

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(\frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-6x+7)$

f'(x) = 4x ³ /4 + 6x ² /3 – 10x/2 – 6 + 0

f'(x) = x ³ + 2x ² – 5x – 6

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> x3 ⁺ 2×2 – 5x – 6 = ⁰

=> (x + 1) (x + 3) (x – 2) = 0

=> x = –1, –3, 2

Claramente f'(x) > 0 si –3 < x < –1 y x > 2.

También f'(x) < 0 si x < –3 y –1 < x < 2.

Así, f(x) crece en x ∈ (–3, –1) ∪ (2, ∞) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –3) ∪ (–1, 2).

(xxi) f(x) = x ⁴ – 4x ³ + 4x ² + 15

Solución:

Tenemos,

f(x) = x ⁴ – 4x ³ + 4x ² + 15

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 15)$

f'(x) = 4x ³ – 12x ² + 8x + 0

f'(x) = 4x ³ – 12x ² + 8x

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 4x ³ – 12x ² + 8x = 0

=> 4x (x2 – 3x + 2) = ⁰

=> 4x (x – 2) (x – 1) = 0

=> x = 0, 1, 2

Claramente f'(x) > 0 si 0 < x < 1 y x > 2.

También f'(x) < 0 si x < 0 y 1 < x < 2.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (0, 1) ∪ (2, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (–∞, 0) ∪ (1, 2).

(xxii) f(x) = $5x^{\frac{3}{2}}-3x^\frac{5}{2}$ , x > 0

Solución:

Tenemos,

f(x) = $5x^{\frac{3}{2}}-3x^\frac{5}{2}$

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(5x^{\frac{3}{2}}-3x^\frac{5}{2})$

f'(x) = $\frac{15}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{15}{2}x^{\frac{3}{2}}$

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> $\frac{15}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{15}{2}x^{\frac{3}{2}}$ = 0

=> $x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}$ = 0

=> x ^1/2 (1 – x) = 0

=> x = 0, 1

Claramente f'(x) > 0 si 0 < x < 1.

También f'(x) < 0 si x > 0.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (0, 1) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (1, ∞).

(xxiii) f(x) = x ⁸ + 6x ²

Solución:

Tenemos,

f(x) = x ⁸ + 6x ²

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^8 + 6x^2)$

f'(x) = 8x ⁷ + 12x

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 8x ⁷ + 12x = 0

=> 4x (2x ⁶ + 3) = 0

=> x = 0

Claramente f'(x) > 0 si x > 0.

También f'(x) < 0 si x < 0.

Así, f(x) crece en x ∈ (0, ∞) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, 0).

(xxiv) f(x) = x ³ – 6x ² + 9x + 15

Solución:

Se nos da,

f(x) = x3 ^– 6×2 ⁺ 9x + 15

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 15)$

f'(x) = 3x ² – 12x + 9 + 0

f'(x) = 3x ² – 12x + 9

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 3x ² – 12x + 9 = 0

=> 3 (x ² – 4x + 3) = 0

=> x2 – 4x ⁺ 3 = 0

=> x2 – 3x – x + 3 = ⁰

=> (x-3) (x-1) = 0

=> x = 3, 1

Claramente f'(x) > 0 si x < 1 y x > 3.

También f'(x) < 0 si 1 < x < 3.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (–∞, 1) ∪ (3, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (1, 3).

(xxv) f(x) = [x(x – 2)] ²

Solución:

Se nos da,

f(x) = [x(x – 2)] ²

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}[x(x - 2)]^2$

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^2-2x)^2$

f'(x) = 2 (x ² – 2x) (2x – 2)

f'(x) = 4x (x – 2) (x – 1)

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 4x (x – 2) (x – 1) = 0

=> x = 0, 1, 2

Claramente f'(x) > 0 si 0 < x < 1 y x > 2.

También f'(x) < 0 si x < 0 y 1< x < 2.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (0, 1) ∪ (2, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (–∞, 0) ∪ (1, 2).

(xxvii) f(x) = 3x ⁴ – 4x ³ – 12x ² + 5

Solución:

Se nos da,

f(x) = 3x ⁴ – 4x ³ – 12x ² + 5

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5)$

f'(x) = 12x ³ – 12x ² – 24x

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 12x ³ – 12x ² – 24x = 0

=> 12x (x ² – x – 2) = 0

=> 12x (x + 1) (x – 2) = 0

=> x = 0, –1, 2

Claramente f'(x) > 0 si –1 < x < 0 y x > 2.

También f'(x) < 0 si x < –1 y 0< x < 2.

Así, f(x) crece en x ∈ (–1, 0) ∪ (2, ∞) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –1) ∪ (0, 2).

(xxvii) f(x) = 3x ⁴ /2 – 4x ³ – 45x ² + 51

Solución:

Tenemos,

f(x) = 3x ⁴ /2 – 4x ³ – 45x ² + 51

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(\frac{3}{2}x^4-4x^3-45x^2+51)$

f'(x) = 6x ³ – 12x ² – 90x

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 6x ³ – 12x ² – 90x = 0

=> 6x (x2 – ^2x – 15) = 0

=> 6x (x + 3) (x – 5) = 0

=> x = 0, –3, 5

Claramente f'(x) > 0 si –3 < x < 0 y x > 5.

También f'(x) < 0 si x < –3 y 0< x < 5.

Así, f(x) crece en x ∈ (–3, 0) ∪ (5, ∞) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, –3) ∪ (0, 5).

(xxvii) f(x) = $\log(2+x)-\frac{2x}{2+x}$

Solución:

Tenemos,

f(x) = $\log(2+x)-\frac{2x}{2+x}$

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(\log(2+x)-\frac{2x}{2+x})$

f'(x) = $\frac{1}{2+x}-\frac{(2+x)2-2x}{(2+x)^2}$

f'(x) = $\frac{1}{2+x}-\frac{4+2x-2x}{(2+x)^2}$

f'(x) = $\frac{1}{2+x}-\frac{4}{(2+x)^2}$

f'(x) = $\frac{2+x-4}{(2+x)^2}$

f'(x) = $\frac{x-2}{(2+x)^2}$

Claramente f'(x) > 0 si x > 2.

También f'(x) < 0 si x < 2

Así, f(x) es creciente en x ∈ (2, ∞) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (–∞, 2).

Pregunta 2. Determine los valores de x para los cuales la función f(x) = x ² – 6x + 9 es creciente o decreciente. Además, encuentre las coordenadas del punto en la curva y = x ² – 6x + 9 donde la normal es paralela a la línea y = x + 5.

Solución:

Dado f(x) = x ² – 6x + 9

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

=> f'(x) = 2x – 6

=> f'(x) = 2(x – 3)

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> 2(x-3) = 0

=> (x-3) = 0

=> x = 3

Claramente, f'(x) > 0 si x > 3.

También f'(x) < 0 si x < 3.

Así, f(x) crece en (3, ∞) y f(x) decrece en el intervalo x ∈ (–∞, 3).

La ecuación de la curva dada es f(x) = x ² – 6x + 9.

La pendiente de esta curva está dada por,

=> m ₁ = dy/dx

=> metro ₁ = 2x – 6

Y la pendiente de la recta es y = x + 5

La pendiente de esta curva está dada por,

=> m ₂ = dy/dx

=> metro ₂ = 1

Ahora de acuerdo con la pregunta,

=> metro ₁ metro ₂ = –1

=> 2x – 6 = –1

=> 2x = 5

=> x = 5/2

Poniendo x = 5/2 en la curva y = x ² – 6x + 9, obtenemos,

=> y = (5/2) ² – 6 (5/2) + 9

=> y = 25/4 – 15 + 9

=> y = 1/4

Por lo tanto, las coordenadas requeridas son (5/2, 1/4).

Pregunta 3. Encuentra los intervalos en los que f(x) = sen x – cos x, donde 0 < x < 2π es creciente o decreciente.

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen x – cos x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(sen x – cos x)

f'(x) = cos x + sen x

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> cos x + sen x = 0

=> 1 + tan x = 0

=> tan x = –1

=> x = 3π/4, 7π/4

Claramente f'(x) > 0 si 0 < x < 3π/4 y 7π/4 < x < 2π.

También f'(x) < 0 si 3π/4 < x < 7π/4.

Así, f(x) es creciente en x ∈ (0, 3π/4) ∪ (7π/4, 2π) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (3π/4, 7π/4).

Pregunta 4. Muestre que f(x) = e ^2x es creciente en R.

Solución:

Tenemos,

=> f(x) = e ^2x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(e^{2x})$

f'(x) = 2e ^2x

Para que f(x) sea creciente, debemos tener

=> f'(x) > 0

=> 2e ^2x > 0

=> e ^2x > 0

Ahora sabemos que el valor de e se encuentra entre 2 y 3. Por lo tanto, f(x) siempre será mayor que cero.

Por tanto, f(x) es creciente en el intervalo R.

Por lo tanto probado.

Pregunta 5. Muestre que f(x) = e ^1/x , x ≠ 0 es una función decreciente para todo x ≠ 0.

Solución:

Tenemos,

=> f(x) = e ^1/x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(e^{\frac{1}{x}})$

f'(x) = -e ^x /x ²

Como x ∈ R, tenemos,

=> e ^x > 0

Además, obtenemos,

=> 1/x ² > 0

Esto significa, e ^x /x ² > 0

=> -e ^x /x ² < 0

Así, f(x) es una función decreciente para todo x ≠ 0.

Por lo tanto probado.

Pregunta 6. Muestre que f(x) = log _a x, 0 < a < 1 es una función decreciente para todo x > 0.

Solución:

Tenemos,

=> f(x) = log _a x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(log_a x)$

f'(x) = 1/xloga

Como se nos da 0 < a < 1,

=> registrar un < 0

Y para x > 0, 1/x > 0

Por lo tanto, f'(x) es,

=> 1/xloga < 0

=> f'(x) < 0

Por tanto, f(x) es una función decreciente para todo x > 0.

Por lo tanto probado.

Pregunta 7. Muestre que f(x) = sen x crece en (0, π/2) y decrece en (π/2, π) y no crece ni decrece en (0, π).

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(\sin x)$

f'(x) = cos x

Ahora para 0 < x < π/2,

=> cos x > 0

=> f'(x) > 0

Y para π/2 < x < π,

=> porque x < 0

=> f'(x) < 0

Así, f(x) es creciente en x ∈ (0, π/2) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (π/2, π).

Por tanto, f(x) no es ni creciente ni decreciente en (0, π).

Por lo tanto probado.

Pregunta 8. Muestre que f(x) = log sen x es creciente en (0, π/2) y decreciente en (π/2, π).

Solución:

Tenemos,

f(x) = log sen x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(\log\sin x)$

f'(x) = (1/senx)cosx

f'(x) = cuna x

Ahora para 0 < x < π/2,

=> cuna x > 0

=> f'(x) > 0

Y para π/2 < x < π,

=> porque x < 0

=> f'(x) < 0

Así, f(x) es creciente en x ∈ (0, π/2) y f(x) es decreciente en el intervalo x ∈ (π/2, π).

Por lo tanto probado.

Pregunta 9. Demuestra que f(x) = x – sen x es creciente para todo x ∈ R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = x – sen x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x - sin x)$

f'(x) = 1 – cos x

Ahora, nos dan x ∈ R, obtenemos

=> –1 < cos x < 1

=> –1 > cos x > 0

=> f'(x) > 0

Por tanto, f(x) es creciente en el intervalo x ∈ R.

Por lo tanto probado.

Pregunta 10. Muestre que f(x) = x ³ – 15x ² + 75x – 50 es una función creciente para todo x ∈ R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = x ³ – 15x ² + 75x – 50

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = $\frac{d}{dx}(x^3 - 15x^2 + 75x - 50)$

f'(x) = 3x ² – 30x + 75 – 0

f'(x) = 3x ² – 30x + 75

f'(x) = 3(x ² – 10x + 25)

f'(x) = 3(x – 5) ²

Ahora, como nos dan x ϵ R, obtenemos

=> (x – 5) ² > 0

=> 3(x – 5) ² > 0

=> f'(x) > 0

Por tanto, f(x) es creciente en el intervalo x ∈ R.

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Funciones crecientes y decrecientes – Ejercicio 17.2 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra los intervalos en los que las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.

(yo) f(x) = 10 – 6x – 2x ²

(ii) f(x) = x2 ⁺ 2x – 5

(iii) f(x) = 6 – 9x – x ²

(iv) f(x) = 2x ³ – 12x ² + 18x + 15

(v) f(x) = 5 + 36x + 3x ² – 2x ³

(vi) f(x) = 8 + 36x + 3x ² – 2x ³

(vii) f(x) = 5x ³ – 15x ² – 120x + 3

(viii) f(x) = x ³ – 6x ² – 36x + 2

(ix) f(x) = 2x ³ – 15x ² + 36x + 1

(x) f(x) = 2x ³ + 9x ² + 12x + 1

(xi) f(x) = 2x ³ – 9x ² + 12x – 5

(xii) f(x) = 6 + 12x + 3x ² – 2x ³

(xiii) f(x) = 2x ³ – 24x + 107

(xiv) f(x) = –2x ³ – 9x ² – 12x + 1

(xv) f(x) = (x – 1) (x – 2) ²

(xvi) f(x) = x ³ – 12x ² + 36x + 17

(xvii) f(x) = 2x ³ – 24x + 7

(xviii) f(x) = 3x ⁴ /10 – 4x ³ /5 -3x ² + 36x/5 + 11

(xix) f(x) = x ⁴ – 4x

(xx) f(x) = x ⁴ /4 + 2/3x ³ – 5/2x ² – 6x + 7

(xxi) f(x) = x ⁴ – 4x ³ + 4x ² + 15

(xxii) f(x) = $5x^{\frac{3}{2}}-3x^\frac{5}{2}$ , x > 0

(xxiii) f(x) = x ⁸ + 6x ²

(xxiv) f(x) = x ³ – 6x ² + 9x + 15

(xxv) f(x) = [x(x – 2)] ²

(xxvii) f(x) = 3x ⁴ – 4x ³ – 12x ² + 5

(xxvii) f(x) = 3x ⁴ /2 – 4x ³ – 45x ² + 51

(xxvii) f(x) = $\log(2+x)-\frac{2x}{2+x}$

Pregunta 2. Determine los valores de x para los cuales la función f(x) = x ² – 6x + 9 es creciente o decreciente. Además, encuentre las coordenadas del punto en la curva y = x ² – 6x + 9 donde la normal es paralela a la línea y = x + 5.

Pregunta 3. Encuentra los intervalos en los que f(x) = sen x – cos x, donde 0 < x < 2π es creciente o decreciente.

Pregunta 4. Muestre que f(x) = e ^2x es creciente en R.

Pregunta 5. Muestre que f(x) = e ^1/x , x ≠ 0 es una función decreciente para todo x ≠ 0.

Pregunta 6. Muestre que f(x) = log _a x, 0 < a < 1 es una función decreciente para todo x > 0.

Pregunta 7. Muestre que f(x) = sen x crece en (0, π/2) y decrece en (π/2, π) y no crece ni decrece en (0, π).

Pregunta 8. Muestre que f(x) = log sen x es creciente en (0, π/2) y decreciente en (π/2, π).

Pregunta 9. Demuestra que f(x) = x – sen x es creciente para todo x ∈ R.

Pregunta 10. Muestre que f(x) = x ³ – 15x ² + 75x – 50 es una función creciente para todo x ∈ R.

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Pregunta 1. Encuentra los intervalos en los que las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.

(yo) f(x) = 10 – 6x – 2x 2

(ii) f(x) = x2 + 2x – 5

(iii) f(x) = 6 – 9x – x 2

(iv) f(x) = 2x 3 – 12x 2 + 18x + 15

(v) f(x) = 5 + 36x + 3x 2 – 2x 3

(vi) f(x) = 8 + 36x + 3x 2 – 2x 3

(vii) f(x) = 5x 3 – 15x 2 – 120x + 3

(viii) f(x) = x 3 – 6x 2 – 36x + 2

(ix) f(x) = 2x 3 – 15x 2 + 36x + 1

(x) f(x) = 2x 3 + 9x 2 + 12x + 1

(xi) f(x) = 2x 3 – 9x 2 + 12x – 5

(xii) f(x) = 6 + 12x + 3x 2 – 2x 3

(xiii) f(x) = 2x 3 – 24x + 107

(xiv) f(x) = –2x 3 – 9x 2 – 12x + 1

(xv) f(x) = (x – 1) (x – 2) 2

(xvi) f(x) = x 3 – 12x 2 + 36x + 17

(xvii) f(x) = 2x 3 – 24x + 7

(xviii) f(x) = 3x 4 /10 – 4x 3 /5 -3x 2 + 36x/5 + 11

(xix) f(x) = x 4 – 4x

(xx) f(x) = x 4 /4 + 2/3x 3 – 5/2x 2 – 6x + 7

(xxi) f(x) = x 4 – 4x 3 + 4x 2 + 15

(xxii) f(x) = , x > 0

(xxiii) f(x) = x 8 + 6x 2

(xxiv) f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 15

(xxv) f(x) = [x(x – 2)] 2

(xxvii) f(x) = 3x 4 – 4x 3 – 12x 2 + 5

(xxvii) f(x) = 3x 4 /2 – 4x 3 – 45x 2 + 51

(xxvii) f(x) =

Pregunta 2. Determine los valores de x para los cuales la función f(x) = x 2 – 6x + 9 es creciente o decreciente. Además, encuentre las coordenadas del punto en la curva y = x 2 – 6x + 9 donde la normal es paralela a la línea y = x + 5.

Pregunta 3. Encuentra los intervalos en los que f(x) = sen x – cos x, donde 0 < x < 2π es creciente o decreciente.

Pregunta 4. Muestre que f(x) = e 2x es creciente en R.

Pregunta 5. Muestre que f(x) = e 1/x , x ≠ 0 es una función decreciente para todo x ≠ 0.

Pregunta 6. Muestre que f(x) = log a x, 0 < a < 1 es una función decreciente para todo x > 0.

Pregunta 7. Muestre que f(x) = sen x crece en (0, π/2) y decrece en (π/2, π) y no crece ni decrece en (0, π).

Pregunta 8. Muestre que f(x) = log sen x es creciente en (0, π/2) y decreciente en (π/2, π).

Pregunta 9. Demuestra que f(x) = x – sen x es creciente para todo x ∈ R.

Pregunta 10. Muestre que f(x) = x 3 – 15x 2 + 75x – 50 es una función creciente para todo x ∈ R.

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(yo) f(x) = 10 – 6x – 2x ²

(ii) f(x) = x2 ⁺ 2x – 5

(iii) f(x) = 6 – 9x – x ²

(iv) f(x) = 2x ³ – 12x ² + 18x + 15

(v) f(x) = 5 + 36x + 3x ² – 2x ³

(vi) f(x) = 8 + 36x + 3x ² – 2x ³

(vii) f(x) = 5x ³ – 15x ² – 120x + 3

(viii) f(x) = x ³ – 6x ² – 36x + 2

(ix) f(x) = 2x ³ – 15x ² + 36x + 1

(x) f(x) = 2x ³ + 9x ² + 12x + 1

(xi) f(x) = 2x ³ – 9x ² + 12x – 5

(xii) f(x) = 6 + 12x + 3x ² – 2x ³

(xiii) f(x) = 2x ³ – 24x + 107

(xiv) f(x) = –2x ³ – 9x ² – 12x + 1

(xv) f(x) = (x – 1) (x – 2) ²

(xvi) f(x) = x ³ – 12x ² + 36x + 17

(xvii) f(x) = 2x ³ – 24x + 7

(xviii) f(x) = 3x ⁴ /10 – 4x ³ /5 -3x ² + 36x/5 + 11

(xix) f(x) = x ⁴ – 4x

(xx) f(x) = x ⁴ /4 + 2/3x ³ – 5/2x ² – 6x + 7

(xxi) f(x) = x ⁴ – 4x ³ + 4x ² + 15

(xxii) f(x) = $5x^{\frac{3}{2}}-3x^\frac{5}{2}$ , x > 0

(xxiii) f(x) = x ⁸ + 6x ²

(xxiv) f(x) = x ³ – 6x ² + 9x + 15

(xxv) f(x) = [x(x – 2)] ²

(xxvii) f(x) = 3x ⁴ – 4x ³ – 12x ² + 5

(xxvii) f(x) = 3x ⁴ /2 – 4x ³ – 45x ² + 51

(xxvii) f(x) = $\log(2+x)-\frac{2x}{2+x}$

Pregunta 2. Determine los valores de x para los cuales la función f(x) = x ² – 6x + 9 es creciente o decreciente. Además, encuentre las coordenadas del punto en la curva y = x ² – 6x + 9 donde la normal es paralela a la línea y = x + 5.

Pregunta 4. Muestre que f(x) = e ^2x es creciente en R.

Pregunta 5. Muestre que f(x) = e ^1/x , x ≠ 0 es una función decreciente para todo x ≠ 0.

Pregunta 6. Muestre que f(x) = log _a x, 0 < a < 1 es una función decreciente para todo x > 0.

Pregunta 10. Muestre que f(x) = x ³ – 15x ² + 75x – 50 es una función creciente para todo x ∈ R.