Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 33 Distribución binomial – Ejercicio 33.2 | conjunto 2

Pregunta 15. Se lanza un dado tres veces. Un éxito es 1 o 6 en un tiro. Encuentre la media y la varianza del número de éxitos.

Solución:

Sea p el éxito y q el fracaso de un evento.

Ahora, el espacio muestral cuando se lanza un dado está dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Por lo tanto, p = 2/6 = 1/3 y q = 1 – 1/3 = 2/3

Por lo tanto, Media = np = 3 × 1/3 = 1 y Varianza = npq = 1 × 2/3 = 2/3

Pregunta 16. Si una variable aleatoria X sigue una distribución binomial con media 3 y varianza 3/2, encuentre P (X ≤ 5).

Solución:

Nos dan la media (np) = 3 y la varianza (npq) = 3/2.

Resolviendo para el valor de q, 

q = 1/2, por lo que podemos concluir que p = 1 – 1/2 = 1/2

Ahora poniendo el valor de p en relación, np = 3, obtenemos n = 6

Sabemos que una distribución binomial sigue la relación:

PAGS(X = r) =  ^norte C _r pags ^r (q) ^nr

Por tanto, en este caso P(X = r) = ⁶ C _r (1/2) ^r (1/2) ^6-r 

P(X = r) =  ⁶ C _r (1/2) ⁶  

Estamos obligados a calcular el valor de P(X ≤ 5) = 1 – P(X = 6)

P(X ≤ 5) = 1 –  ⁶ C _r (1/2) ⁶ 

P(X ≤ 5) = 1 – (1/64) 

P(X ≤ 5) = 63/64 

Pregunta 17. Si X sigue una distribución binomial con media 4 y varianza 2, encuentre P(X ≥ 5).

Solución:

Nos dan la media (np) = 4 y la varianza (npq) = 2.

Resolviendo para el valor de q, npq/np = 2/4 

q = 1/2, por lo que podemos concluir que p = 1 – 1/2 = 1/2

Ahora poniendo el valor de p en relación, np = 4, obtenemos n = 8

Sabemos que una distribución binomial sigue la relación: P(X = r) =  ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

Por tanto, en este caso P(X = r) =  ⁸ C _r (1/2) ^r (1/2) ^8-r  

P(X = r) =  ⁸ C _r (1/2) ⁸  

Estamos obligados a calcular el valor 

P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)

P(X ≥ 5) =  ⁸ C ₅ (1/2) ⁸ + ⁸ C ₆ (1/2) ⁸ + ⁸ C ₇ (1/2) ⁸ + ⁸ C ₈ (1/2) ⁸  

P(X ≥ 5) = (1/2) ⁸ [ ⁸ C ₅ + ⁸ C ₆ + ⁸ C ₇ + ⁸ C ₈ ]

P(X ≥ 5) = (56 + 28 + 8 + 1)/256

P(X ≥ 5) = 93/256 

Pregunta 18. La media y la varianza de una distribución binomial son 4/3 y 8/9 respectivamente. Encuentre P(X ≥ 1).

Solución:

Nos dan la media (np) = 4 y la varianza (npq) = 2

Resolviendo para el valor de q, npq/np = 

q = 2/3, por lo que podemos concluir que p = 1 – 2/3 = 1/3

Ahora poniendo el valor de p en relación, np = 4/3, obtenemos n = 4

Sabemos que una distribución binomial sigue la relación: P(X = r) =  ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

Por tanto, en este caso P(X = r) =  ⁴ C _r (1/3) ^r (2/3) ^4-r  

Estamos obligados a calcular el valor de P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)

P(X ≥ 1) = 1 – ⁴ C ₀ (1/3) ⁰ (2/3) ⁴  

P(X ≥ 1) = 1 – 16/81

P(X ≥ 1) = 65/81

Pregunta 19. Si la suma de la media y la varianza de una distribución binomial para 6 intentos es 10/3, encuentra la distribución.

Solución:

Dado n = 6 y np + npq = 10/3

np (1 + q) = 10/3

6p (1 + 1 – p) = 10/3

12p – 6p ² = 10/3

18p ² – 36p + 10 = 0

Resolviendo para el valor de p obtendremos p = 1/3 o p = 5/3. 

Como el valor de p no puede exceder de 1, consideraremos p = 1/3.

Por lo tanto, q = 1 – 1/3 = 2/3

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación:  ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) =  ⁶ C _r (1/3) ^r (2/3) ^6-r para r = 0,1,2,….,6

Pregunta 20. Se lanza un par de dados 4 veces. Si obtener un doblete se considera un éxito, encuentre la distribución de probabilidad del número de éxitos y, por lo tanto, encuentre su media.

Solución:

Nos dan n = 4 y 

un doblete en el lanzamiento de un dado ocurre cuando obtenemos (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

Por lo tanto, la probabilidad de éxito, p = 6/36 = 1/6, entonces q = 1 – 1/6 = 5/6

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ⁴ C _r (1/6) ^r (5/6) ^4-r para r = 0, 1, 2, 3, 4

Por lo tanto, la distribución de probabilidad se da como:

X	0	1	2	3	4
P(X)	625/1296	500/1296	150/1296	20/1296	1/1296

Media = 0 × (625/1296) + 1 × (500/1296) + 2 × (150/1296) + 3 × (20/1296) + 0 × (1/1296)

= 864/ 1296

= 2/3

Pregunta 21. Encuentra la distribución de probabilidad del número de dobletes en tres lanzamientos de un par de dados y encuentra su media.

Solución:

Nos dan n = 3 y 

un doblete en el lanzamiento de un dado ocurre cuando obtenemos (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

Por lo tanto, la probabilidad de éxito, p = 6/36 = 1/6, entonces q = 1 – 1/6 = 5/6

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ³ C _r (1/6) ^r (5/6) ^3-r para r = 0, 1, 2, 3

Por lo tanto, la distribución de probabilidad se da como:

X	0	1	2	3
P(X)	125/216	75/216	15/216	1/216

Media = 0 × (125/216) + 1 × (75/216) + 2 × (15/216) + 3 × (1/216) 

= 108/216

= 1/2

Pregunta 22. De un lote de 15 bombillas que incluye 5 defectuosas, se extrae una muestra de 4 bombillas una a una con recambio. Encuentre la distribución de probabilidad del número de bombillas defectuosas. Por lo tanto, encuentre la media de la distribución.

Solución:

Número total de bombillas = 15 y total de bombillas defectuosas = 5 

Por lo tanto, la probabilidad de obtener una bombilla defectuosa con reemplazo, p = 5/15 = 1/3

 Por lo tanto, q = 1 – 1/3 = 2/3.

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ⁴ C _r (1/3) ^r (2/3) ^4-r para r = 0, 1, 2, 3, 4

Por lo tanto, la distribución de probabilidad se da como:

X	0	1	2	3	4
P(X)	16/81	32/81	24/81	8/81	1/81

Media = 0 × (16/81) + 1 × (32/81) + 2 × (24/81) + 3 × (8/81) + 4 × (1/81) 

= 108/81

= 4/3

Pregunta 23. Se lanza un dado tres veces. Sea X ‘el número de dos vistos’. Encuentre la esperanza de X.

Solución:

Nos dan el número de lanzamientos, n = 3

Sea p la probabilidad de obtener un 2 en el lanzamiento de un dado, entonces p = 1/6

Por lo tanto, podemos concluir 1 = 1 – 1/6 = 5/6

Ahora, la expectativa de X denota media por lo tanto, E(X) = np = 3 × 1/6 = 1/2

Pregunta 24. Se lanza un dado dos veces. Un ‘éxito’ es obtener un número par en un lanzamiento. Encuentre la varianza del número de éxitos.

Solución:

Nos dan el número de veces que se lanza la moneda, n = 2

Denote con p la probabilidad de obtener un número par en los dados al lanzarlos, lo cual es un éxito.

Por lo tanto, p = 3/6 = 1/2, por lo tanto podemos concluir q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2

Ahora, la varianza viene dada por npq.

Varianza = 2 × 1/2 × 1/2 = 1/2

Pregunta 25. Se sacan tres cartas sucesivamente con reemplazo de un paquete bien barajado de 52 cartas. Encuentre la distribución de probabilidad del número de picas. Por lo tanto, encuentre la media de la distribución. 

Solución:

Número de cartas extraídas con reemplazo, n = 3

p = Probabilidad de obtener una carta de espadas al retirar = 13/52 = 1/4

Por lo tanto, podemos concluir, q = 1 – 1/4 = 3/4

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ³ C _r (1/4) ^r (3/4) ^3-r para r = 0, 1, 2, 3 

Por lo tanto, la distribución de probabilidad se da como:

X	0	1	2	3
P(X)	27/64	27/64	9/64	1/64

Media = 0 × (27/64) + 1 × (27/64) + 2 × (9/64) + 3 × (1/64) 

= (27 + 18 + 3)/64

= 48/64 

= 3/4

Pregunta 26. Una urna contiene 3 bolas blancas y 6 rojas. Se extraen cuatro bolas una a una con reposición de la urna. Encuentre la distribución de probabilidad del número de bolas rojas extraídas. Además, encuentre la media y la varianza de la distribución.

Solución:

Sea p la probabilidad de sacar una bola roja que se considera un éxito, p = 6/9 = 2/3

Y la probabilidad de sacar una bola blanca que se considera fallida, q = 3/9 = 1/3

Tenemos que sacar cuatro bolas, entonces n = 4.

Por lo tanto, la media de la distribución de probabilidad = np = 4 × 2/3 = 8/3

Y varianza = npq = 8/3 × 1/3 = 8/9

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación:  ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ⁴ C _r (2/3) ^r (1/3) ^4-r para r = 0, 1, 2, 3, 4

Por lo tanto, la distribución de probabilidad se da como:

X	0	1	2	3	4
P(X)	1/81	8/81	24/81	32/81	16/81

Pregunta 27. Cinco naranjas malas se mezclan accidentalmente con 20 buenas. Si se extraen cuatro naranjas una por una sucesivamente con reemplazo, encuentre la distribución de probabilidad del número de naranjas malas extraídas. Por lo tanto, encuentre la media y la varianza de la distribución.

Solución:

Sea p la probabilidad de sacar una mala naranja que se considera un éxito, p = 5/25 = 1/5

Y la probabilidad de sacar una buena naranja que se considere fallida, q = 20/25 = 4/5

Tenemos que dibujar cuatro naranjas, entonces n = 4

Por lo tanto, la media de la distribución de probabilidad = np = 4 × 1/5 = 4/5

Y la varianza = npq = 4/5 × 4/5 = 16/25

Ahora, una distribución binomial viene dada por la relación: ⁿ C _r p ^r (q) ^nr

P(x = r) = ⁴ C _r (1/5) ^r (4/5) ^4-r para r = 0, 1, 2, 3, 4

Por lo tanto, la distribución de probabilidad se da como:

X	0	1	2	3	4
P(X)	256/625	256/625	96/625	16/625	1/625