Pregunta 1. ¿Cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos?
(yo) 484
Solución:
La factorización prima de 484 es
484 = 2×2×11×11
Agrupando factores primos
= (2×2) × (11×11)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 484 es un cuadrado perfecto.
(ii) 625
Solución:
Factorización prima de 625
625 = 5×5×5×5
Agrupando los factores primos
= (5×5) × (5×5)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 625 es un cuadrado perfecto.
(iii) 576
Solución:
Factorización prima de 576
576 = 2×2×2×2×2×2×3×3
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (2×2) × (2×2) × (3×3)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 576 es un cuadrado perfecto.
(iv) 941
Solución:
Factorización prima de 941
941 = 941 × 1
941 en sí mismo es un factor principal.
Por lo tanto, 941 no es un cuadrado perfecto.
(v) 961
Solución:
Factorización prima de 961
961 = 31×31
Agrupando los factores primos
= (31×31)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 961 es un cuadrado perfecto.
(vi) 2500
Solución:
Factorización prima de
2500 = 2×2×5×5×5×5
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (5×5) × (5×5)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 2500 es un cuadrado perfecto.
Pregunta 2. Demuestre que cada uno de los siguientes números es un cuadrado perfecto. Además , encuentre el número cuyo cuadrado es el número dado en cada caso:
(yo) 1156
Solución:
Factorización prima de 1156
1156 = 2×2×17×17
Agrupando factores primos
= (2×2) × (17×17)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 1156 es un cuadrado perfecto.
Para encontrar de quién es el cuadrado del número dado
1156 = (2×17) × (17×2)
= 34 × 34
= (34) 2
Por lo tanto, 1156 es un cuadrado de 34.
(ii) 2025
Solución:
Factorización prima de 2025
2025 = 3×3×3×3×5×5
Agrupando factores primos
= (3×3) × (3×3) × (5×5)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 2025 es un cuadrado perfecto.
Para encontrar de quién es el cuadrado del número dado
2025 = (3×3×5) × (3×3×5)
= 45 × 45
= (45) 2
Por lo tanto, 2025 es un cuadrado de 45.
(iii) 14641
Solución:
Factorización prima de 14641
14641 = 11×11×11×11
Agrupando factores primos
= (11×11) × (11×11)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 14641 es un cuadrado perfecto.
Para encontrar de quién es el cuadrado del número dado
14641 = (11×11) × (11×11)
= 121 × 121
= (121) 2
Por lo tanto, 14641 es un cuadrado de 121.
(iv) 4761
Solución:
Factorización prima de 4761
4761 = 3×3×23×23
Agrupando los factores primos
= (3×3) × (23×23)
Combinación adecuada de todos los factores.
Por lo tanto, 4761 es un cuadrado perfecto.
Para encontrar de quién es el cuadrado del número dado
4761 = (3×23) × (3×23)
= 69 × 69
= (69) 2
Por lo tanto, 4761 es un cuadrado de 69.
Pregunta 3. Encuentra el número más pequeño por el que se debe multiplicar el número dado para que el producto sea un cuadrado perfecto:
(yo) 23805
Solución:
Factorización prima de 23805
23805 = 3×3×23×23×5
Agrupando los factores primos
= (3×3) × (23×23) × 5
Se omite el factor primo 5.
Multiplicando por 5,
23805 × 5 = (3 × 3) × (23 × 23) × (5 × 5)
= (3×5×23) × (3×5×23)
= 345 × 345
= (345) 2
Por lo tanto, el producto es el cuadrado de 345.
(ii) 12150
Solución:
Factorización prima de 12150
12150 = 2×3×3×3×3×3×5×5
Agrupando los factores primos
= 2×3 × (3×3) × (3×3) × (5×5)
Se omiten los factores primos 2 y 3.
Multiplicando por 2×3 = 6
12150 × 6 = 2 × 3 × (3 × 3) × (3 × 3) × (5 × 5) × 2 × 3
= (2×3×3×3×5) × (2×3×3×3×5)
= 270 × 270
= (270) 2
Por lo tanto, el producto es el cuadrado de 270.
(iii) 7688
Solución:
Factorización prima de 7688
7688 = 2×2×31×31×2
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (31×31) × 2
Se omite el factor primo 2.
Multiplicando por 2
7688 × 2 = (2 × 2) × (31 × 31) × (2 × 2)
= (2×31×2) × (2×31×2)
= 124 × 124
= (124) 2
Por lo tanto, el producto es el cuadrado de 124.
Pregunta 4. Encuentra el número más pequeño por el cual se debe dividir el número dado para que el número resultante sea un cuadrado perfecto:
(yo) 14283
Solución:
Factorización prima de 14283
14283 = 3×3×3×23×23
Agrupando los factores primos
= (3×3) × (23×23) × 3
Se omite el factor primo 3.
dividiendo por 3
14283/3 = (3×3) × (23×23)
= (3×23) × (3×23)
= 69 × 69
= (69) 2
Por lo tanto, la resultante es el cuadrado de 69.
(ii) 1800
Solución:
Factorización prima de 1800
1800 = 2×2×5×5×3×3×2
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (5×5) × (3×3) × 2
Se omite el factor primo 2.
dividiendo por 2
1800/2 = (2×2) × (5×5) × (3×3)
= (2×5×3) × (2×5×3)
= 30 × 30
= (30) 2
Por lo tanto, la resultante es el cuadrado de 30.
(iii) 2904
Solución:
Factorización prima de 2904
2904 = 2×2×11×11×2×3
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (11×11) × 2 × 3
Se omiten los factores primos 2 y 3.
dividiendo por 6
2904/6 = (2×2) × (11×11)
= (2×11) × (2×11)
= 22 × 22
= (22) 2
Por lo tanto, la resultante es el cuadrado de 22.
Pregunta 5. ¿Cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos?
11, 12, 16, 32, 36, 50, 64, 79, 81, 111, 121
Solución:
11 = 1×11
11 es un numero primo
Por lo tanto, 11 no es un cuadrado perfecto.
12 = 2×2×3
3 se queda fuera en el emparejamiento de factores
Por lo tanto, 12 no es un cuadrado perfecto.
16 = 2×2×2×2
= (2×2) × (2×2)
Combinación adecuada de factores.
Por lo tanto, 16 es un cuadrado perfecto.
32 = 2×2×2×2×2
= (2×2) × (2×2) × 2
2 se deja fuera en el emparejamiento de factores
Por lo tanto, 32 no es un cuadrado perfecto.
36 = 2×2×3×3
Combinación adecuada de factores.
Por lo tanto, 36 es un cuadrado perfecto.
50 = 2×5×5
2 se deja fuera en el emparejamiento de factores
Por lo tanto, 50 no es un cuadrado perfecto.
64 = 2×2×2×2×2×2
Combinación adecuada de factores.
Por lo tanto, 64 es un cuadrado perfecto.
79 = 1×79
79 es un numero primo
79 no es un cuadrado perfecto.
81 = 3×3×3×3
Combinación adecuada de factores.
Por lo tanto, 81 es un cuadrado perfecto.
111 = 1×111
111 es un número primo.
Por lo tanto, 111 no es un cuadrado perfecto.
121 = 11×11
Combinación adecuada de factores.
Por lo tanto, 121 es un cuadrado perfecto.
Pregunta 6. Usando el método de descomposición en factores primos, ¿cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos?
189, 225, 2048, 343, 441, 2961, 11025, 3549
Solución:
189 factores primos son
189 = 3×3×3×7
Como, el emparejamiento adecuado de factores no está allí.
Por lo tanto, no es un cuadrado perfecto.
225 factores primos son
225 = (5×5) × (3×3)
El emparejamiento adecuado de factores está ahí.
Por lo tanto, es un cuadrado perfecto.
2048 factores primos son
2048 = (2×2) × (2×2) × (2×2) × (2×2) × (2×2) × 2
2 queda fuera del emparejamiento de factores.
Por lo tanto, 2048 no es un cuadrado perfecto.
343 factores primos son
343 = (7×7) × 7
7 queda fuera del emparejamiento adecuado de factores.
Por lo tanto, 343 no es un cuadrado perfecto.
441 factores primos son
441 = (7×7) × (3×3)
El emparejamiento adecuado de factores está ahí.
Por lo tanto, 441 es un cuadrado perfecto.
2961 factores primos son
2961 = (3×3) × (3×3) × (3×3) × (2×2)
El emparejamiento adecuado de factores está ahí.
Por lo tanto, 2961 es un cuadrado perfecto.
11025 factores primos son
11025 = (3×3) × (5×5) × (7×7)
El emparejamiento adecuado de factores está ahí.
Por lo tanto, 11025 es un cuadrado perfecto.
3549 factores primos son
3549 = (13×13) × 3 × 7
El emparejamiento adecuado de factores no existe.
Por lo tanto, 3549 no es un cuadrado perfecto.
Pregunta 7. ¿Por qué número se debe multiplicar cada uno de los siguientes números para obtener un cuadrado perfecto en cada caso? Encuentra también el número cuyo cuadrado es el nuevo número.
(yo) 8820
Solución:
Factorización prima de 8820
8820 = 2×2×3×3×7×7×5
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (3×3) × (7×7) × 5
Se omite el factor primo 5.
Multiplicando por 5
8820 × 5 = (2 × 2) × (3 × 3) × (7 × 7) × (5 × 5)
= (2×3×7×5) × (2×3×7×5)
= 210 × 210
= (210) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 210.
(ii) 3675
Solución:
Factorización prima de 3675
3675 = 5×5×7×7×3
Agrupando los factores primos
= (5×5) × (7×7) × 3
Se omite el factor primo 3.
Multiplicando por 3
3675 × 3 = (5 × 5) × (7 × 7) × (3 × 3)
= (5×7×3) × (5×7×3)
= 105 × 105
= (105) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 105.
(iii) 605
Solución:
Factorización prima de 605
605 = 5×11×11
Agrupando los factores primos
= (11×11) × 5
Se omite el factor primo 5.
multiplicar por 5
605 × 5 = (11 × 11) × (5 × 5)
= (11×5) × (11×5)
= 55 × 55
= (55) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 55.
(iv) 2880
Solución:
Factorización prima de 2880
2880 = 5×3×3×2×2×2×2×2×2
Agrupando los factores primos
= (3×3) × (2×2) × (2×2) × (2×2) × 5
Se omite el factor primo 5.
multiplicar por 5
2880 × 5 = (3 × 3) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5)
= (3×2×2×2×5) × (3×2×2×2×5)
= 120 × 120
= (120) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 120.
(v) 4056
Solución:
Factorización prima de 4056
4056 = 2×2×13×13×2×3
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (13×13) × 2 × 3
Los factores primos 2 y 3 quedan fuera.
Multiplicando por 6 obtenemos,
4056 × 6 = (2 × 2) × (13 × 13) × (2 × 2) × (3 × 3)
= (2×13×2×3) × (2×13×2×3)
= 156 × 156
= (156) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 156.
(v) 3468
Solución:
Factorización prima de 3468
3468 = 2×2×17×17×3
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (17×17) × 3
Se omite el factor primo 3.
Multiplicando por 3 obtenemos,
3468 × 3 = (2 × 2) × (17 × 17) × (3 × 3)
= (2×17×3) × (2×17×3)
= 102 × 102
= (102) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 102.
(vii) 7776
Solución:
Factorización prima de 7776
7776 = 2×2×2×2×3×3×3×3×2×3
Agrupando los factores primos
= (2×2) × (2×2) × (3×3) × (3×3) × 2 × 3
Los factores primos 2 y 3 quedan fuera.
Multiplicando por 6 obtenemos,
7776 × 6 = (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3) × (3 × 3) × (2 × 2) × (3 × 3)
= (2×2×3×3×2×3) × (2×2×3×3×2×3)
= 216 × 216
= (216) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 216.
Pregunta 8. ¿Por qué números se debe dividir cada uno de los siguientes para obtener un cuadrado perfecto en cada caso? Además, encuentre el número cuyo cuadrado es el nuevo número.
(yo) 16562
Solución:
Factorización prima de 16562
16562 = 7×7×13×13×2
Agrupando los factores primos
= (7×7) × (13×13) × 2
Se omite el factor primo 2.
dividiendo por 2
16562/2 = (7×7) × (13×13)
= (7×13) × (7×13)
= 91 × 91
= (91) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 91.
(ii) 3698
Solución:
Factorización prima de 3698
3698 = 2×43×43
Agrupando los factores primos
= (43×43) × 2
Se omite el factor primo 2.
dividiendo por 2
3698/2 = (43×43)
= (43) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 43.
(iii) 5103
Solución:
Factorización prima de 5103
5103 = 3×3×3×3×3×3×7
Agrupando los factores primos
= (3×3) × (3×3) × (3×3) × 7
Se omite el factor primo 7.
dividiendo por 7
5103/7 = (3×3) × (3×3) × (3×3)
= (3×3×3) × (3×3×3)
= 27 × 27
= (27) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 27.
(iv) 3174
Solución:
Factorización prima de 3174
3174 = 2×3×23×23
Agrupando los factores primos
= (23×23) × 2 × 3
Se omiten los factores primos 2 y 3.
dividiendo por 6
3174/6 = (23×23)
= (23) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 23.
(v) 1575
Solución:
Factorización prima para 1575
1575 = 3×3×5×5×7
Agrupando los factores primos
= (3×3) × (5×5) × 7
Se omite el factor primo 7.
dividiendo por 7
1575/7 = (3×3) × (5×5)
= (3×5) × (3×5)
= 15 × 15
= (15) 2
Por lo tanto, el nuevo número es el cuadrado de 15.
Capítulo 3 Cuadrados y Raíces Cuadradas – Ejercicio 3.1 | conjunto 2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA