Pregunta 1. Encuentra los cubos de los siguientes números:
(i) 7 (ii) 12
(iii) 16 (iv) 21
(v) 40 (vi) 55
(vii) 100 (viii) 302
(ix) 301
Solución:
(yo) 7
cubo de 7 es
7 = 7 × 7 × 7 = 343
(ii) 12
cubo de 12 es
12 = 12 × 12 × 12 = 1728
(iii) 16
cubo de 16 es
16 = 16 × 16 × 16 = 4096
(iv) 21
cubo de 21 es
21 = 21 × 21 × 21 = 9261
(v) 40
cubo de 40 es
40 = 40 × 40 × 40 = 64000
(v) 55
cubo de 55 es
55 = 55× 55× 55 = 166375
(vii) 100
cubo de 100 es
100 = 100 × 100 × 100 = 1000000
(viii) 302
cubo de 302 es
302 = 302 × 302 × 302 = 27543608
(ix) 301
cubo de 301 es
301 = 301 × 301 × 301 = 27270901
Pregunta 2. Escribe los cubos de todos los números naturales entre 1 y 10 y verifica las siguientes afirmaciones:
(i) Los cubos de todos los números naturales impares son impares.
(ii) Los cubos de todos los números naturales pares son pares.
Soluciones:
Hallar el Cubo de los números naturales hasta el 10
1 3 = 1 × 1 × 1 = 1
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
3 3 = 3 × 3 × 3 = 27
4 3 = 4 × 4 × 4 = 64
5 3 = 5 × 5 × 5 = 125
6 3 = 6 × 6 × 6 = 216
7 3 = 7 × 7 × 7 = 343
8 3 = 8 × 8 × 8 = 512
9 3 = 9 × 9 × 9 = 729
10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000
Por lo tanto, concluimos
(i) Los cubos de todos los números naturales impares son impares.
(ii) Los cubos de todos los números naturales pares son pares.
Pregunta 3. Observa el siguiente patrón:
1 3 = 1
1 3 + 2 3 = (1+2) 2
1 3 + 2 3 + 3 3 = (1+2+3) 2
Escribe las siguientes tres filas y calcula el valor de 1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ 9 3 según el patrón anterior.
Solución:
Del patrón dado,
1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ 9 3
1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ n 3 = (1+2+3+…+n) 2
Entonces cuando n = 10
1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ 9 3 + 10 3 = (1+2+3+…+10) 2
= (55) 2 = 55×55 = 3025
Pregunta 4. Escribe los cubos de 5 números naturales que son múltiplos de 3 y comprueba lo siguiente:
“El cubo de un número natural que es múltiplo de 3 es múltiplo de 27′
Solución:
3, 6, 9, 12 y 15 son los primeros 5 números naturales que son múltiplos de 3
Entonces, veamos cómo encontrar el cubo de 3, 6, 9, 12 y 15
3 3 = 3 × 3 × 3 = 27
6 3 = 6 × 6 × 6 = 216
9 3 = 9 × 9 × 9 = 729
12 3 = 12 × 12 × 12 = 1728
15 3 = 15 × 15 × 15 = 3375
Como podemos ver que todos los cubos son divisibles por 27
Por lo tanto, “El cubo de un número natural que es múltiplo de 3 es un múltiplo de 27′
Pregunta 5. Escribe los cubos de 5 números naturales que son de la forma 3n+1 (ej. 4, 7, 10,…) y verifica lo siguiente:
“El cubo de un número natural de la forma 3n+1 es un número natural de la misma forma es decir cuando se divide por 3 deja el resto 1′
Solución:
4, 7, 10, 13 y 16 son los primeros 5 números naturales en forma de (3n + 1)
Así que ahora, encontremos el cubo de 4, 7, 10, 13 y 16
4 3 = 4 × 4 × 4 = 64
7 3 = 7 × 7 × 7 = 343
10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000
13 3 = 13 × 13 × 13 = 2197
16 3 = 16 × 16 × 16 = 4096
Cuando todos los cubos anteriores se dividen por ‘3’ sale el resto de 1.
Por lo tanto, la afirmación “El cubo de un número natural de la forma 3n+1 es un número natural de la misma forma, es decir, cuando se divide por 3 deja el resto 1′ es verdadera.
Pregunta 6. Escribe los 5 números naturales al cubo de la forma 3n+2(es decir, 5, 8, 11….) y verifica lo siguiente:
“El cubo de un número natural de la forma 3n+2 es un número natural de la misma forma, es decir cuando es dividendo por 3 el resto es 2′
Solución :
5, 8, 11, 14 y 17 son los primeros 5 números naturales en la forma (3n + 2)
Así que ahora, encontremos el cubo de 5, 8, 11, 14 y 17 es
5 3 = 5 × 5 × 5 = 125
8 3 = 8 × 8 × 8 = 512
11 3 = 11 × 11 × 11 = 1331
14 3 = 14 × 14 × 14 = 2744
17 3 = 17 × 17 × 17 = 4913
Cuando todos los cubos anteriores se dividen por ‘3’ sale el resto de 2
Por lo tanto, la afirmación “El cubo de un número natural de la forma 3n+2 es un número natural de la misma forma, es decir, cuando es dividendo por 3 el resto es 2′ es verdadera.
Pregunta 7. Escribe los cubos de 5 números naturales que sean múltiplos de 7 y comprueba lo siguiente:
“El cubo de un múltiplo de 7 es un múltiplo de 7 3 .
Solución:
7, 14, 21, 28 y 35 son los primeros 5 números naturales que son múltiplos de 7
Así que ahora, encontremos el cubo de 7, 14, 21, 28 y 35
7 3 = 7 × 7 × 7 = 343
14 3 = 14 × 14 × 14 = 2744
21 3 = 21 × 21 × 21 = 9261
28 3 = 28 × 28 × 28 = 21952
35 3 = 35 × 35 × 35 = 42875
Podemos ver que todos los cubos anteriores también son múltiplos de 7 3 (343).
Por lo tanto, la afirmación “El cubo de un múltiplo de 7 es un múltiplo de 7 3 es verdadera.
Pregunta 8. ¿Cuáles de los siguientes son cubos perfectos?
(i) 64 (ii) 216
(iii) 243 (iv) 1000
(v) 1728 (vi) 3087
(vii) 4608 (viii) 106480
(ix) 166375 (x) 456533
Solución:
(yo) 64
Encontrar los factores de 64
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 6 = (2 2 ) 3 = 4 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
(ii) 216
Encontrar los factores de 216
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2 3 × 3 3 = 6 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
(iii) 243
Encontrar los factores de 243
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 5 = 3 3 × 3 2
Por lo tanto, no es un cubo perfecto.
(iv) 1000
Encontrar los factores de 1000
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2 3 × 5 3 = 10 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
(v) 1728
Encontrar los factores de 1728
1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2 6 × 3 3 = (4 × 3 ) 3 = 12 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
(v) 3087
Encontrar los factores de 3087
3087 = 3 × 3 × 7 × 7 × 7 = 3 2 × 7 3
Por lo tanto, no es un cubo perfecto.
(vii) 4608
Encontrar los factores de 4608
4608 = 2 × 2 × 3 × 113
Por lo tanto, no es un cubo perfecto.
(viii) 106480
Encontrar los factores de 106480
106480 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 11 × 11 × 11
Por lo tanto, no es un cubo perfecto.
(ix) 166375
Encontrar los factores de 166375
166375= 5 × 5 × 5 × 11 × 11 × 11 = 5 3 × 11 3 = 55 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
(x) 456533
Encontrar los factores de 456533
456533= 11 × 11 × 11 × 7 × 7 × 7 = 11 3 × 7 3 = 77 3
Por lo tanto, es un cubo perfecto.
Pregunta 9. ¿Cuáles de los siguientes son cubos de números naturales pares?
216, 512, 729, 1000, 3375, 13824
Solución:
(yo) 216 = 2 3 × 3 3 = 6 3
Es un cubo de número natural par.
(ii) 512 = 2 9 = (2 3 ) 3 = 8 3
Es un cubo de número natural par.
(iii) 729 = 3 3 × 3 3 = 9 3
No es un cubo de número natural par.
(iv) 1000 = 10 3
Es un cubo de número natural par.
(v) 3375 = 3 3 × 5 3 = 15 3
No es un cubo de número natural par.
(vi) 13824 = 2 9 × 3 3 = (2 3 ) 3 × 3 3 = 8 3 ×3 3 = 24 3
Es un cubo de número natural par.
Pregunta 10. ¿Cuáles de los siguientes son cubos de números naturales impares?
125, 343, 1728, 4096, 32768, 6859
Solución:
(yo) 125 = 5 × 5 × 5 × 5 = 5 3
Es un cubo de número natural impar.
(ii) 343 = 7 × 7 × 7 = 7 3
Es un cubo de número natural impar.
(iii) 1728 = 2 6 × 3 3 = 4 3 × 3 3 = 12 3
Como el 12 es un número par. No es un cubo de número natural impar.
(iv) 4096 = 2 12 = (2 6 ) 2 = 64 2
Como 64 es un número par. No es un cubo de número natural impar.
(v) 32768 = 2 15 = (2 5 ) 3 = 32 3
Como 32 es un número par. No es un cubo de número natural impar.
(vi) 6859 = 19 × 19 × 19 = 19 3
Es un cubo de número natural impar.
Pregunta 11. ¿Cuál es el número más pequeño por el que se deben multiplicar los siguientes números para que los productos sean cubos perfectos?
(i) 675 (ii) 1323
(iii) 2560 (iv) 7803
(v) 107811 (vi) 35721
Solución:
(yo) 675
Encontrar los factores de 675.
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 3 3 × 5 2
Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 5.
(ii) 1323
Encontrar los factores de 1323
1323 = 3 × 3 × 3 × 7 × 7
= 3 3 × 7 2
Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 7 para que sea un cubo perfecto.
(iii) 2560
Encontrar los factores de 2560
2560 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5
= 2 3 × 2 3 × 2 3 × 5
Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 5 × 5 = 25 para convertirlo en un cubo perfecto.
(iv) 7803
Encontrar los factores de 7803
7803 = 3 × 3 × 3 × 17 × 17
= 3 3 × 17 2
Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 17 para convertirlo en un cubo perfecto.
(v) 107811
Primero encuentra los factores de 107811
107811 = 3 × 3 × 3 × 3 × 11 × 11 × 11
= 3 3 × 3 × 11 3
Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 3 × 3 = 9 para convertirlo en un cubo perfecto.
(vi) 35721
Primero encuentra los factores de 35721
35721 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 7 × 7
= 3 3 × 3 3 × 7 2
Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 7 para que sea un cubo perfecto.
Capítulo 4 Cubos y Raíces Cúbicas – Ejercicio 4.1 | conjunto 2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por deepanshumehra1410 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA