Clase 8 Soluciones RD Sharma – Capítulo 4 Cubos y raíces cúbicas – Ejercicio 4.1 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra los cubos de los siguientes números:

(i) 7 (ii) 12

(iii) 16 (iv) 21

(v) 40 (vi) 55

(vii) 100 (viii) 302

(ix) 301

Solución:

(yo) 7

cubo de 7 es

7 = 7 × 7 × 7 = 343

(ii) 12

cubo de 12 es

12 = 12 × 12 × 12 = 1728

(iii) 16

cubo de 16 es

16 = 16 × 16 × 16 = 4096

(iv) 21

cubo de 21 es

21 = 21 × 21 × 21 = 9261

(v) 40

cubo de 40 es

40 = 40 × 40 × 40 = 64000

(v) 55

cubo de 55 es

55 = 55× 55× 55 = 166375

(vii) 100

cubo de 100 es

100 = 100 × 100 × 100 = 1000000

(viii) 302

cubo de 302 es

302 = 302 × 302 × 302 = 27543608

(ix) 301

cubo de 301 es

301 = 301 × 301 × 301 = 27270901

Pregunta 2. Escribe los cubos de todos los números naturales entre 1 y 10 y verifica las siguientes afirmaciones:

(i) Los cubos de todos los números naturales impares son impares.
(ii) Los cubos de todos los números naturales pares son pares.

Soluciones:

Hallar el Cubo de los números naturales hasta el 10

1 3  = 1 × 1 × 1 = 1

2 3  = 2 × 2 × 2 = 8

3 3  = 3 × 3 × 3 = 27

4 3  = 4 × 4 × 4 = 64

5 3  = 5 × 5 × 5 = 125

6 3  = 6 × 6 × 6 = 216

7 3  = 7 × 7 × 7 = 343

8 3  = 8 × 8 × 8 = 512

9 3  = 9 × 9 × 9 = 729

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

Por lo tanto, concluimos

(i) Los cubos de todos los números naturales impares son impares.

(ii) Los cubos de todos los números naturales pares son pares.

Pregunta 3. Observa el siguiente patrón:

1 3 = 1

1 3 + 2 3 = (1+2) 2

1 3 + 2 3 + 3 3 = (1+2+3) 2

Escribe las siguientes tres filas y calcula el valor de 1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ 9 3  según el patrón anterior.

Solución:

Del patrón dado,

1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ 9 3

1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ n 3  = (1+2+3+…+n) 2

Entonces cuando n = 10

1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ 9 3 + 10 3  = (1+2+3+…+10) 2

= (55) 2 = 55×55 = 3025

Pregunta 4. Escribe los cubos de 5 números naturales que son múltiplos de 3 y comprueba lo siguiente:
“El cubo de un número natural que es múltiplo de 3 es múltiplo de 27′

Solución:

3, 6, 9, 12 y 15 son los primeros 5 números naturales que son múltiplos de 3

Entonces, veamos cómo encontrar el cubo de 3, 6, 9, 12 y 15

3 3  = 3 × 3 × 3 = 27

6 3  = 6 × 6 × 6 = 216

9 3  = 9 × 9 × 9 = 729

12 3  = 12 × 12 × 12 = 1728

15 3  = 15 × 15 × 15 = 3375

Como podemos ver que todos los cubos son divisibles por 27

Por lo tanto, “El cubo de un número natural que es múltiplo de 3 es un múltiplo de 27′

Pregunta 5. Escribe los cubos de 5 números naturales que son de la forma 3n+1 (ej. 4, 7, 10,…) y verifica lo siguiente:
“El cubo de un número natural de la forma 3n+1 es un número natural de la misma forma es decir cuando se divide por 3 deja el resto 1′

Solución:

4, 7, 10, 13 y 16 son los primeros 5 números naturales en forma de (3n + 1) 

Así que ahora, encontremos el cubo de 4, 7, 10, 13 y 16

4 3  = 4 × 4 × 4 = 64

7 3  = 7 × 7 × 7 = 343

10 3  = 10 × 10 × 10 = 1000

13 3  = 13 × 13 × 13 = 2197

16 3  = 16 × 16 × 16 = 4096

Cuando todos los cubos anteriores se dividen por ‘3’ sale el resto de 1.

Por lo tanto, la afirmación “El cubo de un número natural de la forma 3n+1 es un número natural de la misma forma, es decir, cuando se divide por 3 deja el resto 1′ es verdadera.

Pregunta 6. Escribe los 5 números naturales al cubo de la forma 3n+2(es decir, 5, 8, 11….) y verifica lo siguiente:
“El cubo de un número natural de la forma 3n+2 es un número natural de la misma forma, es decir cuando es dividendo por 3 el resto es 2′

Solución :

5, 8, 11, 14 y 17 son los primeros 5 números naturales en la forma (3n + 2)

Así que ahora, encontremos el cubo de 5, 8, 11, 14 y 17 es

5 3  = 5 × 5 × 5 = 125

8 3  = 8 × 8 × 8 = 512

11 3  = 11 × 11 × 11 = 1331

14 3  = 14 × 14 × 14 = 2744

17 3  = 17 × 17 × 17 = 4913

Cuando todos los cubos anteriores se dividen por ‘3’ sale el resto de 2

Por lo tanto, la afirmación “El cubo de un número natural de la forma 3n+2 es un número natural de la misma forma, es decir, cuando es dividendo por 3 el resto es 2′ es verdadera.

Pregunta 7. Escribe los cubos de 5 números naturales que sean múltiplos de 7 y comprueba lo siguiente:
“El cubo de un múltiplo de 7 es un múltiplo de 7 3 .

Solución:

7, 14, 21, 28 y 35 son los primeros 5 números naturales que son múltiplos de 7

Así que ahora, encontremos el cubo de 7, 14, 21, 28 y 35

7 3  = 7 × 7 × 7 = 343

14 3  = 14 × 14 × 14 = 2744

21 3  = 21 × 21 × 21 = 9261

28 3  = 28 × 28 × 28 = 21952

35 3  = 35 × 35 × 35 = 42875

Podemos ver que todos los cubos anteriores también son múltiplos de 7 3 (343).

Por lo tanto, la afirmación “El cubo de un múltiplo de 7 es un múltiplo de 7 3 es verdadera.

Pregunta 8. ¿Cuáles de los siguientes son cubos perfectos?

(i) 64 (ii) 216
(iii) 243 (iv) 1000
(v) 1728 (vi) 3087
(vii) 4608 (viii) 106480
(ix) 166375 (x) 456533

Solución:

(yo) 64

Encontrar los factores de 64

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 6  = (2 2 ) 3  = 4 3

Por lo tanto, es un cubo perfecto.

(ii) 216

Encontrar los factores de 216

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2 3  × 3 3  = 6 3

Por lo tanto, es un cubo perfecto.

(iii) 243

Encontrar los factores de 243

243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 5  = 3 3  × 3 2

Por lo tanto, no es un cubo perfecto.

(iv) 1000

Encontrar los factores de 1000

1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2 3  × 5 3  = 10 3

Por lo tanto, es un cubo perfecto.

(v) 1728

Encontrar los factores de 1728

1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2 6  × 3 3  = (4 × 3 ) 3  = 12 3

Por lo tanto, es un cubo perfecto.

(v) 3087

Encontrar los factores de 3087

3087 = 3 × 3 × 7 × 7 × 7 = 3 2  × 7 3

Por lo tanto, no es un cubo perfecto.

(vii) 4608

Encontrar los factores de 4608

4608 = 2 × 2 × 3 × 113

Por lo tanto, no es un cubo perfecto.

(viii) 106480

Encontrar los factores de 106480

106480 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 11 × 11 × 11

Por lo tanto, no es un cubo perfecto.

(ix) 166375

Encontrar los factores de 166375

166375= 5 × 5 × 5 × 11 × 11 × 11 = 5 3  × 11 3  = 55 3

Por lo tanto, es un cubo perfecto.

(x) 456533

Encontrar los factores de 456533

456533= 11 × 11 × 11 × 7 × 7 × 7 = 11 3  × 7 3  = 77 3

Por lo tanto, es un cubo perfecto.

Pregunta 9. ¿Cuáles de los siguientes son cubos de números naturales pares?
216, 512, 729, 1000, 3375, 13824

Solución:

(yo) 216 = 2 3  × 3 3  = 6 3

Es un cubo de número natural par.

(ii) 512 = 2 9  = (2 3 ) 3  = 8 3

Es un cubo de número natural par.

(iii) 729 = 3 3  × 3 3  = 9 3

No es un cubo de número natural par.

(iv) 1000 = 10 3

Es un cubo de número natural par.

(v) 3375 = 3 3  × 5 3  = 15 3

No es un cubo de número natural par.

(vi) 13824 = 2 9 × 3 3 = (2 3 ) 3  × 3 3 = 8 3 ×3 3 = 24 3

Es un cubo de número natural par.

Pregunta 10. ¿Cuáles de los siguientes son cubos de números naturales impares?
125, 343, 1728, 4096, 32768, 6859

Solución:

(yo) 125 = 5 × 5 × 5 × 5 = 5 3

Es un cubo de número natural impar.

(ii) 343 = 7 × 7 × 7 = 7 3

Es un cubo de número natural impar.

(iii) 1728 = 2 6  × 3 3  = 4 3  × 3 3  = 12 3

Como el 12 es un número par. No es un cubo de número natural impar. 

(iv) 4096 = 2 12  = (2 6 ) 2  = 64 2

Como 64 es un número par. No es un cubo de número natural impar. 

(v) 32768 = 2 15  = (2 5 ) 3  = 32 3

Como 32 es un número par. No es un cubo de número natural impar. 

(vi) 6859 = 19 × 19 × 19 = 19 3

Es un cubo de número natural impar.

Pregunta 11. ¿Cuál es el número más pequeño por el que se deben multiplicar los siguientes números para que los productos sean cubos perfectos?

(i) 675 (ii) 1323
(iii) 2560 (iv) 7803
(v) 107811 (vi) 35721

Solución:

(yo) 675

Encontrar los factores de 675.

675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5

= 3 3  × 5 2

Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 5.

(ii) 1323

Encontrar los factores de 1323

1323 = 3 × 3 × 3 × 7 × 7

= 3 3  × 7 2

Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 7 para que sea un cubo perfecto.

(iii) 2560

Encontrar los factores de 2560

2560 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5

= 2 3  × 2 3  × 2 3  × 5

Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 5 × 5 = 25 para convertirlo en un cubo perfecto.

(iv) 7803

Encontrar los factores de 7803

7803 = 3 × 3 × 3 × 17 × 17

= 3 3  × 17 2

Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 17 para convertirlo en un cubo perfecto.

(v) 107811

Primero encuentra los factores de 107811

107811 = 3 × 3 × 3 × 3 × 11 × 11 × 11

= 3 3  × 3 × 11 3

Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 3 × 3 = 9 para convertirlo en un cubo perfecto.

(vi) 35721

Primero encuentra los factores de 35721

35721 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 7 × 7

= 3 3  × 3 3  × 7 2

Por lo tanto, necesitamos multiplicar el producto por 7 para que sea un cubo perfecto.

 Capítulo 4 Cubos y Raíces Cúbicas – Ejercicio 4.1 | conjunto 2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por deepanshumehra1410 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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