La combinación es una forma de elegir elementos de un conjunto, por lo que (a diferencia de las permutaciones) el orden de selección no importa. En casos más pequeños, es posible contar la cantidad de combinaciones. La combinación se refiere a la mezcla de n cosas k se toman a la vez sin repetición. Para conocer las combinaciones en el caso de que se permita la repetición, se suelen utilizar los términos k-selección o k-combinación junto con repetición. Por ejemplo, si tenemos dos elementos A y B, entonces solo hay una forma de seleccionar dos elementos, seleccionamos ambos.
El número de combinaciones cuando se seleccionan elementos ‘r’ de un conjunto completo de elementos ‘n’ es n C r = n! / [(r !) x (n – r)!]. Por ejemplo, sea n = 4 (E, F, G, H) y r = 2 (que consta de todas las combinaciones de tamaño 2). La respuesta es 4!/((4-2)!*2!) = 6. Las seis combinaciones son EF, EG, EH, FG, FH, GH.
Una combinación es la elección de r cosas de un grupo de n cosas sin reemplazo y donde el orden no importa.
Brevemente, una combinación se refiere a la elección de r cosas de un conjunto de n cosas hechas sin hacer ningún reemplazo y donde el orden no importa.
fórmula de combinación
¿Qué es el problema del apretón de manos?
¿Cuántos apretones de manos se necesitan para que todos le den la mano a los demás? Si tiene una habitación llena de gente, ¿cuántos apretones de manos se requieren para que todos estrechen la mano de los demás exactamente una vez? Ejemplo como en el grupo pequeño.
Grupos pequeños
Dos personas: Apretón de manos AB 1
Tres personas: Apretón de manos AB 3
C.A.
antes de Cristo
Cuatro personas: AB
C.A.
apretón de manos AD 6
antes de Cristo
BD
CD
Esto básicamente significa que cuando hay 2 personas habrá dos apretones de manos y si hay tres personas habrá 3 apretones de manos y así sucesivamente. Podemos contar esta cantidad de personas, pero supongamos que hay miles de personas en una sala, entonces no podemos contar cada apretón de manos aquí si surge la necesidad de la combinación.
combinación de apretón de manos
Significa el número total de personas en una habitación que se saludaron entre sí. Con la ayuda de la combinación, podemos calcularlo de una manera muy simple. Fórmula para calcular los apretones de manos
Total = n × (n – 1)/2
O
Número total de apretones de manos = n C 2
Ejemplos de problemas sobre combinaciones
Varios problemas de apretón de manos circulan en el día a día de la vida, siendo los más comunes los siguientes:
Problema 1: En una habitación de n personas, ¿cuántos apretones de manos son posibles?
Solución:
Para ver a las personas presentes y considerar una persona a la vez. La primera persona le dará la mano a n – 1 personas más. La siguiente persona le dará la mano a n-2 personas más, sin contar nuevamente a la primera persona. A continuación, nos dará un número total de
(n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1
= n(n – 1)/ 2 apretones de manos.
Problema 2: Otro popular problema de apretón de manos comienza de manera similar con n>1 personas en una fiesta. No siendo posible darte la mano a ti mismo, y no contando varios apretones de manos con la misma persona, el problema es demostrar que siempre estarán presentes dos personas en la fiesta, que se han dado la mano el mismo número de veces en la fiesta. .
Solución:
La solución a este problema parte del uso del principio de la caja de Dirichlet. Si existe una persona en la fiesta que se ha dado la mano cero veces, entonces cada persona que está allí en la fiesta se ha dado la mano con un máximo de n-2 personas más en la fiesta.
Hay n-1 apretones de manos posibles ( de 0 a n-2 ), entre n personas debe haber dos que se hayan dado la mano el mismo número de veces. Si hay cero personas que se han dado la mano cero veces, esto significa que todos los invitados a la fiesta se han dado la mano al menos una vez.
Esto también equivale a n-1 posibles apretones de manos (de 1 a n-1).
Problema 3: En la función, si todas las personas se dan la mano con las demás en la fiesta y existe un total de 28 apretones de manos en la fiesta, encuentre el número de personas que estuvieron presentes en la función?
Solución: supongamos que hay n personas presentes en una fiesta y cada persona se da la mano con todas las demás.
Entonces, número total de apretones de manos = n C 2 = n(n – 1)/2
n(n-1)/2 = 28
n(n-1) = 28 × 2
n(n-1) = 56
norte = 8
Problema 4: Como es típico en los problemas con números grandes, siempre debes recurrir a un número más pequeño si no puedes resolver el problema completo. Aquí, 17 personas en la mesa son un poco difíciles de asumir de inmediato. Comencemos con 3 personas en la mesa. ¿Cuántos apretones de manos ahora?
Solución :
Hay cero. Entonces ahora surge la pregunta,
¿Qué pasa con 4 personas:
AB
CD
A no puede temblar con B o C, B no puede con A o D, D no puede con B o C, C no puede con A o D, solo A y D y B y C pueden temblar.
Entonces 2 batidos:
AB
×
CD
5 personas son cuando se pone algo de interés, y cuando deberías poder ver cómo se forma el patrón:
B
una c
DE
Todos tienen 2 personas a las que no se les puede dar la mano, quedando esos dos batidos por persona, pero contamos en exceso con solo multiplicar 5 y 3, ahora tenemos que dividir por dos.
Es más fácil trazar una línea entre las personas que pueden darse la mano:
B
/ \
A———–C (también CD y AE–una estrella de 5 puntas)
/ \
DE
Así que suponemos que la respuesta es n(n – 3)/2. Tenga en cuenta que la fórmula solo es válida para n = 3 y n = 4 también
Una forma final de ver esto es mirar las gráficas nuevamente, puede notar que siempre fueron una gráfica completa (cada vértice conectado a todos los demás vértices) con los bordes exteriores de la gráfica eliminados.
Como hay n(n-1)/2 aristas en un grafo completo en n vértices en los que las n aristas exteriores,
Debe haber n(n – 1)/2 – n = n 2 −n−2n/2 = n(n – 3)/2 apretones de manos.
Como sea que lo corte, hay 17⋅14/2 = 119 apretones de manos en total.
Problema 5: En una fiesta, todos se dan la mano entre sí. Si hubo un total de 26 apretones de manos en la fiesta, ¿cuántas personas estaban presentes en la fiesta?
Solución:
Supongamos que hay n personas presentes en un grupo y cada persona se da la mano con todas las demás personas del grupo. Luego, el número total de apretones de manos se contará como = n C 2 = n(n – 1)/2
n(n-1)/2 = 29
n(n-1) = 26 × 2
n(n-1) = 52
n = 8 personas
Problema 6: 20 personas se dan la mano. ¿Cuántos apretones de manos habrá en total?
Solución:
Sabemos que el número total de personas en el grupo es 20, por lo que cada persona se da la mano con otras 19 personas.
Podemos tener la solución directamente también como, 20 × 19 = 380 apretones de manos.
Pero en cada apretón de manos están involucradas dos personas.
Por eso;
380/2 = 190 apretones de manos
Pero según la fórmula,
dónde,
n = número total de personas
r = número de apretones de manos
norte = 20
r = 2
Introduciendo la fórmula que deberíamos tener;
¡norte! / (n – r)! r!
= 20! / (20 – 2)! 2!
= 20!/18! 2!
= 20 × 19 × 18! / 18!2!
= 20 × 19/12!
= 380/2 × 1
= 380/2
= 190 apretones de manos
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Artículo escrito por pulkitagarwal03pulkit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA