Sector se define como la porción dentro de un círculo delimitada entre dos radios y el arco del círculo. El área de este sector depende del ángulo correspondiente entre los dos radios.
Propiedades:
- Un sector de un círculo siempre se origina en el centro del círculo.
- El semicírculo es el sector más común de un círculo, con el ángulo entre los radios igual a 180°.
- El área del semicírculo depende de los radios del círculo.
Tipos de Sectores
Hay tres tipos de sectores dependiendo del ángulo entre los dos radios correspondientes del sector. Están:
- Sector menor: Cuando el ángulo encerrado entre los dos radios es menor de 180°. El área encerrada también es más pequeña que un semicírculo.
- Semicírculo: Cuando el ángulo encerrado entre los dos radios es igual a 180°.
- Sector mayor: Cuando el ángulo encerrado entre los dos radios es mayor de 180°. El área encerrada también es mayor que un semicírculo.
Fórmula para el Área de un Sector
Para un círculo que tiene un radio igual a ‘r’ unidades y el ángulo del sector es θ (en grados) , el área está dada por,
Un círculo con radio r
Área del sector = θ / 360° × πr 2
Cuando θ se da en radianes, el área viene dada por
Área del sector = 1/2 × r 2 θ
Prueba:
Para un círculo con radio r unidades, el área está dada por πr 2 .
Ahora la fracción del área encerrada por el sector será la misma que la fracción del ángulo encerrado por el sector en el círculo.
Por lo tanto, la fracción de área encerrada = θ / 360°
Entonces, el área encerrada por el sector = (θ / 360°) × πr 2
Problemas de muestra
Pregunta 1. Encuentra el área del sector de un círculo cuyo ángulo encerrado es igual a 60 o y el radio del círculo es de 5 unidades. ¿Es un sector mayor o menor?
Solución:
Dar, el ángulo del sector = θ = 60 °
El radio del círculo = 5 unidades
Así, el área del sector = 60 ° /360 ° × π × 5 2 = 25π/6
Aproximando el valor de π = 3.14, obtenemos,
Área del sector = 25 × 3,14 / 6 = 13,08 unidades cuadradas
Dado que el ángulo del sector es inferior a 180°, es un sector menor.
Pregunta 2. Encuentra el área de un sector cuyo ángulo se da como π/2 radianes y el radio del círculo es de 8 cm.
Solución:
Como el ángulo del sector se da en radianes, podemos escribir,
Área del sector = 1/2 × r 2 × θ
Dado, el radio del círculo es de 8 cm. De este modo,
Área del sector = 1/2 × 8 2 × π/2 = 16π cm 2
Aproximando el valor de π = 3.14, obtenemos,
Área del sector = 16 × 3,14 = 50,24 cm 2
Pregunta 3. Para un círculo de un área dada de 50 cm 2 , hay tres sectores de área de 25 cm 2 , 45 cm 2 y 13 cm 2 . Clasifique los sectores dados entre el sector menor, el semicírculo y el sector mayor.
Solución:
El área del círculo es de 50 cm 2 .
Así, la mitad del área del círculo es 50/2 = 25 cm 2 .
Así, el sector con un área de 25 cm 2 es un semicírculo .
El sector con un área de 45 cm 2 tiene un área mayor que un semicírculo. Por lo tanto, es un sector importante .
Por último, el sector con un área de 13 cm 2 tiene un área menor que un semicírculo. Por lo tanto, es un sector menor .
Pregunta 4. Si una pizza de 5 pulgadas de radio se divide en 6 rebanadas iguales, encuentre el área encerrada y el ángulo de cada rebanada de pizza.
Solución:
Como dividimos una pizza en 6 partes iguales, cada parte representa un sector con un ángulo igual a la sexta parte del ángulo total de la pizza, es decir 360 ° .
Entonces, el ángulo de cada rebanada de pizza = 360 ° /6 = 60°.
Entonces, el área de cada sector está dada por,
Área de cada corte = (θ / 360°) × πr 2 ,
dónde,
θ = 60 °
r = 5 pulgadas
Por lo tanto, obtenemos el área de cada rebanada = 60 ° /360 ° × π × 5 2 = 25π/6 pulgadas cuadradas
Poniendo el valor de π = 3.14, obtenemos
Área de cada rebanada = 25 × 3,14 / 6 = 13,08 pulgadas cuadradas