Los números reales son simplemente la mezcla de números racionales e irracionales, en el sistema numérico. En conocido, todas las funciones aritméticas se pueden lograr en estos números y también se pueden expresar en la recta numérica. Entonces, en este artículo, examinemos algunos números racionales e irracionales y su prueba.
Numeros racionales
Un numeral de la forma p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0 se llaman números racionales.
Ejemplos:
Todos los números en bruto son racionales,
1, 2, 3, 4, 5…….. todos son números racionales.
Los números enteros son racionales.
0,1, 2, 3,,,,,,, todos son racionales.
Todos los números enteros son números racionales.
-2,-1, 0, 1, 2, 3,,,,,,,,, todos son números racionales.
Numeros irracionales
Se entienden como números irracionales los dígitos que representados en formato decimal son expresables como decimales no terminales y no periódicos.
Ejemplos:
Si n es un entero optimista que no es un cuadrado ideal, entonces √n es irracional.
√2,√3, √5, √6, √7, √8, √10,….. etc., todos son irracionales.
Si n es un entero optimista que no es un cubo ideal, entonces 3√n es irracional.
2√1, 4√3, 5√4,….. etc., todos son irracionales.
Todos los decimales que no se duplican ni terminan son números irracionales.
0.1010010001…… es un decimal no terminador y no periódico. Entonces es un número irracional.
0.232232223…….. es irracional.
0.13113111311113…… es irracional.
Caracteres de las expansiones decimales de los números racionales
Teorema 1: Sea x un número racional cuya forma más fácil es p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Entonces, x es un decimal terminador solo cuando q tiene la forma (2r x 5s) para algunos no -enteros negativos r y s.
Teorema 2: Sea x un número racional cuya forma más fácil es p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Entonces, x es un decimal periódico no terminador, si q ≠ (2r x 5s).
Teorema 3: Sea x un número racional cuya forma más fácil es p/q, donde p y q son números enteros y q = 2r x 5s entonces x tiene una expansión decimal que elimina.
Prueba 1: √3 es irracional
Solución:
Sea √3 un número racional y permita que su formación más fácil sea p/q.
Entonces, p y q son números enteros que no tienen otro elemento estándar que 1, y q ≠ 0.
Ahora √3 = p/q
⇒ p = √3/ q (al elevar al cuadrado ambos lados)
⇒ p 2 = 3q 2
p 2 / 3 = q 2 ……..(i)
(1) indica que 3 es un elemento de p. (Ya que entendemos que por teorema, si a es un número primo y si a está en el rango de p 2 , entonces a divide a p, donde a es un número entero positivo)
Aquí 3 es el número primo que divide p², luego 3 divide p y por lo tanto 3 es un elemento de p.
Como 3 es un factor de p, podemos escribir p = 3c (donde c es una constante). Sustituyendo p = 3c en (1), obtenemos,
(3c)² / 3 = q²
9c²/3 = q²
3c² = q²
c² = q² /3 ——- (2)
Así 3 es un factor de q (de 2)
La ecuación 1 ofrece 3 como factor de p y la ecuación 2 indica que 3 es factor de q. Esta es una paradoja de nuestra creencia de que p y q son co-picos. Entonces, √3 no es un número racional. Por lo tanto, la raíz de 3 es irracional.
Prueba 2: las raíces cuadradas de los números primos son irracionales
Solución:
Sea p un número primo y, si es posible, sea √p un número racional.
Sea su forma más sencilla √p=r/s, donde r y s son números enteros que contienen n sin otro elemento estándar que 1, y n ≠0.
Entonces, √p = r/s
⇒ p = r²/s² al elevar al cuadrado ambos lados]
⇒ pr² = s² ……..(i)
⇒ p divide r² (p divide ps²)
⇒ p divide a r (p es primo y p divide a r² ⇒ p divide a r)
Sea r = pq para algún entero q.
Poniendo r = pq en la ecuación (i), obtenemos:
ps² = p²q²
⇒ s² = pq²
⇒ p divide a s² [ p divide a pq²]
⇒ p divide a s [p es primo yp divide a s² = p divide a n].
Por lo tanto, p es un factor común de r y s. Pero, esto contradice el hecho de que r y s no tienen factor común más que 1. La paradoja ocurre al pensar que /p es racional. Por lo tanto, p es irracional.
Prueba 3: √3 + √4 es irracional.
Solución:
Supongamos que (√3 + √4) es racional.
Sea (√3 + √4) = a, donde a es racional.
Entonces, √3 = (a – √4) ………….(i)
Al elevar al cuadrado ambos lados de (i), obtenemos:
3 = a² + 4 – 3a√4 ⇒ 3a√4 = a² + 1
Por lo tanto, √4 = (a² +1)/3a
Esto es imposible, ya que el lado derecho es racional, mientras que √4 es irracional. Esto es una contradicción.
Dado que la contradicción surge al suponer que (√3 + √4) es racional, entonces (√3 + √4) es irracional.
Decimales de terminación y repetición
Cualquier número racional (es decir, una fracción en los tiempos más bajos) se puede informar como un decimal final o un decimal periódico. Simplemente divide el numerador por el denominador. Si termina con un resto de 0, entonces tiene un decimal final. De lo contrario, el resto comenzará a replicarse después de cierta importancia y tendrá un decimal periódico.
Ejemplos
3/4 como decimal es 3 ÷ 4 = 0,75
65 /₁₀₀ como decimal es 65 ÷100 = 0,65
3/7 como decimal es 3 ÷ 7 = 0,42
¿Cómo convertir un número racional en un decimal terminador?
Examinamos antes que los números enteros, los números naturales y los números enteros también son números racionales, ya que pueden describirse como forma p/q. Los números decimales que se describen como números racionales pueden ser decimales periódicos terminales o no terminales. Tomemos algunos ejemplos de números racionales y encontremos su expansión decimal.
Ejemplo: encontrar la expansión decimal de 7/8
Solución:
divide el numerador entre el denominador.
La expansión decimal de 7/8= 0.875
Restos: 6,4,0
el divisor es 8
Ahora, podemos ver tres cosas:
- El resto evoluciona a 0 después de un cierto conjunto o comienza a replicarse.
- El número de entradas en la serie repetitiva de residuos es menor que el divisor.
- Si los residuos se repiten, entonces obtenemos una obstrucción repetitiva de números enteros en el cociente.
Aunque hemos detectado esta práctica utilizando únicamente los criterios anteriores, es correcta para todos los números racionales de la forma p/q. En la división de p por q, ocurren dos elementos principales, el resto evoluciona a cero o alcanza una string repetitiva de resto.
Problemas de muestra
Problema 1: Seleccione la expansión decimal de números racionales de las siguientes. 1.5555555………,1.5, 6.78543256………
Solución:
Los números decimales que se pueden expresar como números racionales son de naturaleza terminal o no terminal. Los decimales que no se pueden expresar en forma de p/q se conocen como números irracionales.
1.555555……….. es un decimal periódico no terminador. Por lo tanto, se puede expresar como un número racional. 1.4 es un número decimal terminador. Entonces, 1.4 es una forma de expansión decimal de un número racional. Pero 6.78543256…….. es un decimal no recurrente y no terminador. Entonces, esto no se puede expresar como un número racional. Por lo tanto la expansión decimal del número racional es 1.5, 1.55555555…….
Problema 2: ¿Encontrar la forma decimal de un número racional 3/4?
Solución:
El número racional se termina si se puede representar como p/2n×5m. El número racional cuyo denominador no tiene más factores que 2 y 5 da un número decimal terminal. Ahora, en 3/4 el denominador es 4 que significa 2². Para hacer que el denominador sea una potencia de 10, necesitamos multiplicar el denominador y el numerador por 5².
Entonces, 3×5²/2²×5²=75/100=0.75
Por lo tanto, la forma de expansión decimal es 0,75.
Problema 3: Encuentra la forma decimal de un número racional 5/8
Solución:
Un número racional es terminado si se puede representar como p/2n×5m. El número racional cuyo denominador no tiene más factores que 2 y 5 da un número decimal terminal. Ahora, en 5/16 el denominador es 16 que significa 2³. Para hacer que el denominador sea una potencia de 10, necesitamos multiplicar el denominador y el numerador por 5³.
Entonces, 5×5³/2³×5³=625/1000=0.625
Por lo tanto, la forma de expansión decimal es 0,3125.
Problema 4: Encuentra la forma decimal de un número racional 2/25.
Solución:
Un número racional es terminado si se puede representar como p/2n×5m. El número racional cuyo denominador no tiene más factores que 2 y 5 da un número decimal terminal. Ahora, en 2/25 el denominador es 25 que significa 5². Para hacer la potencia de 10 del denominador, necesitamos multiplicar el denominador y el numerador por 2².
Entonces, 2×2²/5²×2²=8/100=0.08
Por lo tanto, la forma de expansión decimal es 0,08.
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Artículo escrito por chhabradhanvi y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA