Número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Estos son los números que se pueden escribir en forma de a+ib, donde a y b son números reales. Se denota por z.
Aquí, en forma de número complejo, el valor ‘a’ se llama la parte real que se denota por Re(z), y ‘b’ se llama la parte imaginaria Im(z). En la forma de número complejo a + bi, ‘i’ es un número imaginario llamado «iota».
El valor de i es (√-1) o podemos escribir como i 2 = -1.
Por ejemplo:
- 3+4i es un número complejo, donde 3 es un número real (Re) y 4i es un número imaginario (Im).
- 2+5i es un número complejo donde 2 es un número real (Re) y 5i es un número imaginario (im)
La combinación de un número real y un número imaginario se llama número complejo.
números imaginarios
Los números que no son reales se denominan números imaginarios. Después de elevar al cuadrado un número imaginario, da un resultado negativo. Los números imaginarios se representan como Im().
Ejemplo: √-3, √-7, √-11 son todos números imaginarios. aquí ‘i’ es un número imaginario llamado “iota”.
¿Cómo dividir números complejos?
Solución:
Hay algunos pasos para dividir el número complejo:
El proceso de dividir dos números complejos es ligeramente diferente al proceso de división de dos números reales. Es el concepto de racionalizar el denominador en el caso de fracciones que involucran números irracionales como sus denominadores.
Los siguientes pasos están involucrados:
Paso 1: Asegúrese de que tanto el numerador como el denominador estén en la forma estándar de números complejos, es decir, z = a + ib.
Paso 2: Calcula el conjugado del número complejo que está en el denominador de la fracción. Digamos, si el denominador es a + bi, entonces su conjugado es a − bi.
Paso 3: Multiplica el numerador y el denominador con el conjugado o con ambos términos de la fracción.
Paso 4: simplificar el numerador con propiedad distributiva
Paso 5: Simplifique el denominador con el uso de la fórmula de diferencia de cuadrados. es decir (a+b)(ab) = a 2 – b 2
Paso 6: En el último de los números complejos separe sus partes real e imaginaria.
Supongamos que hay dos números complejos z 1 = a+bi, z 2 = m+ni
Divide: a+bi / m+ni = {(a+bi)(m-ni)} / {(m+ni)(m-ni)}
= {soy – ani + mbi – bni2 } / (m 2 + n 2 )
= {soy – ani + mbi – bn (-1)} / (m 2 + n 2 )
= {soy – ani + mbi +bn} / (m 2 + n 2 )
= {(am + bn) + (mb – an)i} / (m 2 +n 2 )
= {(am + bn) / (m 2 +n 2 )} + {(mb-an)/ (m 2 +n 2 )} yo
aquí {(am + bn) / (m 2 +n 2 )} es parte real y {(mb-an)/ (m 2 +n 2 )} i es parte imaginaria
Problemas de muestra
Pregunta 1: ¿Simplificar {(-3 – 5i) / (2 +2i)}?
Solución:
Dado {(-3 – 5i) / (2 +2i) }
conjugado del denominador 2+2i es 2-2i
Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
Por lo tanto {(-3 – 5i) / (2 +2i) } x {(2-2i) / (2-2i) }
= {-6 -6i -10i +10i 2 } / { 2 2 – (2i) 2 } {fórmula de diferencia de cuadrados. es decir (a+b)(ab) = a 2 – b 2 }
= { -6 -6i -10i + 10 (-1) } / { 4 – 4(-1) } { i 2 = -1 }
= { -6 -6i -10i -10 } / { 4 + 4 }
= (-16 – 16i) / 8
= -16 /8 – 16i /8
= -2 -2i
Pregunta 2: ¿Simplificar {(-3 + 5i) / (2 – 2i)}?
Solución:
Dado {(-3 + 5i) / (2 – 2i)}
conjugado del denominador 2-2i es 2+ 2i
Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
Por lo tanto {(-3 + 5i) / (2 -2i) } x {(2+2i) / (2+2i) }
= {-6 + 6i +10i -10i 2 } / { 2 2 – (2i) 2 } {fórmula de la diferencia de cuadrados. es decir (a+b)(ab) = a 2 – b 2 }
= {-6 + 6i +10i – 10 (-1) } / { 4 – 4(-1)} { i 2 = -1 }
= {-6 + 6i +10i +10 } / { 4 + 4 }
= (4 +16i) / 8
= 4 /8 +16i /8
= 1/2 + 2i
Pregunta 3: ¿Resuelve (1-5i) / (-3i)?
Solución:
Dado : (1-5i) / (-3i)
forma estándar del denominador -3i = 0 – 3i
conjugado del denominador 0-3i = 0 +3i
Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado
por lo tanto, {(1-5i) / (0 -3i) } x { (0+3i )/( 0 +3i )}
= { (1-5i)(0+3i ) } / { 0 – (3i) 2 }
= { 3i – 15i 2 } / { 0 – (9(-1) ) }
= { 3i – 15 (-1) } / 9
= ( 3i +15 ) / 9
= 15 / 9 + 3i/ 9
= 5/3 + (1/9) yo
Pregunta 4: Realiza la siguiente operación y encuentra el resultado en forma de a +ib?
(2 – √-25) / (1 – √ -16)
Solución:
Dado (2 – √-25 ) / (1 – √-16)
(2 – √-25 ) / (1 – √-16) = {2 – (i)(5)} / { 1 – (i)(4) } { i = √-1 }
= (2-5i) / (1-4i)
= { (2-5i) / (1-4i)} x {(1+ 4i) / (1+ 4i)}
= { (2-5i) (1+ 4i) } / { (1-4i) (1+4i) }
= { 2 +8i -5i -(20i 2 ) } / { (1-16i 2 )} { i 2 = -1 }
= { 2 +3i +20} / {1 – 16(-1) }
= (22 +3i) / (1 +16)
= (22+3i)/17
= { (22/17) + (3i/17) }
= 22/17 + 3i/17
Pregunta 5: Si z 1 , z 2 son (1-i), (-2 +4i), respectivamente, encuentre Im(z 1 z 2 /z 1 )
Solución:
Dado: z 1 = (1-i)
z2 = (-2 +4i )
ahora para encontrar Im(z 1 z 2 /z 1 )
poner valores de z 1 y z 2
Im(z 1 z 2 /z 1 ) = {(1-i) (-2 +4i) } / (1-i)
= {(-2 +4) +i(2+4)} / (1+i)
= {(2+6i) /(1+i)}
= {( 2+6i) /(1+i)} x { (1+i) / (1- i) }
= {( 2+6i) (1+i)} / {(1+i)(1-i)}
= {(2+6) +i(6-2) } / (1+1)
= 4+2i
por lo tanto Im(z 1 z 2 /z 1 ) = 2
Pregunta 6: Expresar (1-i)/(1+i) en forma estándar y encontrar su conjugado.
Solución:
Dado: (1-i)/(1+i)
= {(1-i)/(1+i) x (1-i)/(1-i)}
= { (1-i) 2 } / {(1) 2 -(i) 2 }
= {1 -2i -1 } / (1-i 2 )
= -2i / 2
= 0 – 2i/2
= 0 -yo
ahora conjugado = 0+i
Pregunta 7: Expresar en forma de a+ib, 3(7+7i) + i(7+7i)
Solución:
Dado: 3(7+7i) + i(7+7i)
= 21 + 21i + 7i + 7i 2
= 21 + 28i + 7(-1)
= 21 +28i -7
= 14 +28i
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Nishant_Singh y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA