¿Cómo encontrar el ángulo entre dos vectores?

Las cantidades físicas que tienen ambas direcciones y magnitud son vectores. Un vector con magnitud igual a uno y dirección igual a uno es un vector unitario “û.”. Ese es el alfabeto en minúsculas con un circunflejo de «sombrero». De esta manera, los vectores se describen con flechas, tienen puntos iniciales y puntos terminales, y se desarrollaron durante un período de 200 años. Los vectores se pueden utilizar para representar cantidades físicas, como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, etc. 

Ángulo entre dos vectores

El ángulo de un vector entre sus colas es igual a su ángulo entre dos vectores. Se puede obtener mediante un producto punto (producto escalar) o un producto vectorial (producto vectorial). Tenga en cuenta que el ángulo entre los dos vectores permanece entre 0° y 180°. El ángulo entre vectores se puede encontrar usando dos métodos. Pero la fórmula más utilizada para encontrar un ángulo entre dos vectores implica el producto escalar. 

Encontrar el ángulo usando el producto escalar (punto) 

Dos vectores combinados en un producto escalar te dan un número. Los productos escalares se pueden utilizar para definir las relaciones entre energía y trabajo. En matemáticas, un producto escalar se usa para representar el trabajo realizado por una fuerza (que es un vector) al dispersar (que es un vector) un objeto. El producto escalar se representa con un punto (.). Dejar,

producto escalar ser (ab)

Magnitud del vector a = |a|

Magnitud del vector b = |b|

El ángulo entre los vectores es θ = Cos ^-1 [(a · b) / (|a| |b|)]

Cuando dos vectores están conectados por un producto escalar, la dirección del ángulo ፀ no importa. El ángulo ፀ se puede medir por la diferencia entre cualquiera de los dos vectores, ya que Cos ፀ = Cos (-ፀ) = Cos (2π – ፀ).

Encontrar el ángulo usando el producto cruzado (vectorial)

Un producto cruzado también puede ser conocido como un producto vectorial. Es una forma de multiplicación de vectores que tiene lugar entre dos vectores que tienen diferentes tipos o naturalezas. Cuando dos vectores se multiplican entre sí y el producto resultante es también una cantidad vectorial, el vector resultante se denomina producto vectorial de dos vectores o producto vectorial. La multiplicación de dos vectores produce productos vectoriales con una dirección perpendicular a cada vector. Dejar,

producto vectorial sea (a × b)

Magnitud del vector a = |a|

Magnitud del vector b = |b|.

|a × b| = |a| |b| sen θ

El ángulo entre los vectores es θ = Sin ^-1 [|a × b| / (|a| |b|)]

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el ángulo entre dos vectores a = {4, 5} y b = {5, 4}.

Solución:

1. Encontrar el producto escalar (ab) = 4 × 5 + 5 × 4 = 40.
2. Encontrar vectores magnitud, |a| =   = √41, |b| =   = √41.
3. Ángulo entre vectores, θ = Cos ^-1 [(a · b) / (|a| |b|)] , θ = Cos ^-1 [(40) / (√41 × √41)]

Ángulo entre a y b, 

θ = Cos ^-1 [(40) / (41)]

Pregunta 2: Encuentra el ángulo entre dos vectores a = {2, 2} y b = {1, 1}.

Solución:

1. Encontrar el producto escalar (ab) = 2 × 1 + 2 × 1 = 4.
2. Encontrar vectores magnitud, |a| =   = √8, |b| =   = √2.
3. Ángulo entre vectores, θ = Cos ^-1 [(a · b) / (|a| |b|)], θ = Cos ^-1 [(4) / (√8 × √2)].

Ángulo entre a y b,

θ = Cos ^-1 [(4) / (4)] 

θ = Cos ^-1 [1] = 0°.

Esto significa que ambos vectores se superponen entre sí y están en la misma dirección.

Pregunta 3: Encuentra el ángulo entre dos vectores a = i + 2j – k y b = 2i + 4j – 2k.

Solución:

1. Encontrar el producto escalar (ab) = 1 × 2 + 2 × 4 + (-1) × (-2) = 2 + 8 + 2 = 12.
2. Encontrar vectores magnitud, |a| =   = √6, |b| =   = √24.
3. Ángulo entre vectores, θ = Cos ^-1 [(a · b) / (|a| |b|)] , θ = Cos ^-1 [(12) / (√6 × √24)].

Ángulo entre a y b,

θ = Cos ^-1 [(12) / (12)]

θ = Cos ^-1 [1] = 0°.

Esto significa que ambos vectores se superponen entre sí y están en la misma dirección.

Pregunta 4: Encuentra el ángulo entre dos vectores a = i + 2j – k y b = 4j – 2k.

Solución:

El vector b se puede escribir como b = 0i + 4j – 2k.

1. Encontrar el producto escalar (ab) = 1 × 0 + 2 × 4 + (-1) × (-2) = 0 + 8 + 2 = 10.
2. Encontrar vectores magnitud, |a| =   = √6, |b| =   = √20.
3. Ángulo entre vectores, θ = Cos ^-1 [(a · b) / (|a| |b|)] , θ = Cos ^-1 [(10) / (√6 × √20)].

Ángulo entre a y b,

θ = Cos ^-1 [(10) / (√120)].

Pregunta 5: Encuentra el ángulo entre dos vectores a = {1, -3} yb = {-3, 1}.

Solución:

1. Hallar la magnitud del producto vectorial |a × b| = √(0)² + (0)² + (-8)² = 8.
2. Encontrar vectores magnitud, | un| =   = √10, |b| =   = √10.
3. Ángulo entre vectores, θ = Sin ^-1 [(|a × b|) / (|a| |b|)], θ = Sin ^-1 [(8) / (√10 × √10)]

Ángulo entre a y b,

θ = Sin ^-1 [(8) / (10)] 

Pregunta 6: Encuentra el ángulo entre dos vectores a = -3i + j y b = -3i + j.

Solución:

1. Encontrar el producto escalar (ab) = (-3) × (-3) + 1 × 1 = 10.
2. Encontrar vectores magnitud, |a| =   = √10, |b| =   = √10
3. Ángulo entre vectores, θ = Cos ^-1 [(a · b) / (|a| |b|)], θ = Cos ^-1 [(10) / (√10 × √10)].

Ángulo entre a y b,

θ = Cos ^-1 [(10) / (10)]

θ = Cos ^-1 [1] = 0°

Como ambos vectores tienen el mismo valor y dirección, son los mismos vectores y, por lo tanto, tienen un ángulo 0 entre ellos.