La geometría es un campo de estudio de formas y estructuras. Da una breve explicación de las diferentes formas y sus propiedades. La geometría da fórmulas definidas para el cálculo de parámetros de estas formas planas o sólidas. Estas fórmulas son diferentes para cada forma y se derivan según sus dimensiones.
En el artículo dado, hemos estudiado un polígono de ocho lados, a saber. octágono junto con sus propiedades. El contenido del artículo también da la fórmula para la determinación del área de un octágono. Se incluyen algunos ejemplos de problemas numéricos junto con sus soluciones como referencia.
Octágono
El octágono es una figura geométrica de 8 lados y 8 ángulos. La palabra octágono en sí significa «ocho lados». Un octágono es una de las figuras planas o un polígono que tiene ocho lados. El ángulo interior de los polígonos regulares mide 135 grados cada uno. Y los ángulos exteriores miden 45 grados. Todos los puntos medios de los lados de un octágono se encuentran en su centro y todas las diagonales tienen la misma longitud.
El octágono es una forma plana bidimensional con ocho lados y ocho ángulos. Es un polígono formado por la unión de segmentos de recta. Tiene 8 lados y los lados se indican con la letra ‘a’.
Octágono
Propiedades de un octágono
- Un polígono regular tiene ocho lados.
- Un polígono tiene ocho ángulos iguales.
- Un polígono regular consta de 20 diagonales que se encuentran en el centro.
- Cada ángulo interior mide 135°. Y, la suma de todos los ángulos interiores es igual a 1080°.
- Cada ángulo exterior mide 45°. Y, la suma de todos los ángulos exteriores es igual a 360°.
área de un octágono
En geometría, existen fórmulas establecidas para calcular los parámetros de las formas. El área de un octágono con lado de longitud ‘a’ viene dada por la fórmula
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
Dónde,
a es la longitud del lado o borde
Por ejemplo:
Si se da un octágono con una longitud de 8 cm, su área se puede calcular por
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(8) 2 (1 + √2)
A = 309,01 cm2
La fórmula del cálculo del área de un octágono se puede derivar por cuatro métodos diferentes. Estos métodos se derivan brevemente junto con sus diagramas.
- Método I
Un octágono regular se puede ver como una colección de ocho pequeños triángulos isósceles que comparten un punto de vértice común. Por lo tanto, el área de un octágono regular se puede calcular determinando el área de uno de los triángulos y multiplicándolo por 8.
Matemáticamente el área del octágono está dada por,
Área del octágono = 8 × Área del triángulo
Nos han dado un octágono con ocho triángulos isósceles. Considere uno de los triángulos del octágono y dibuje una línea perpendicular desde su base hasta el vértice para formar ángulos rectos.
Aquí, a es la longitud del lado del octágono y OZ es la altura del triángulo.
Ahora,
tan 2 θ = 1 – cos2θ/1 + cos2θ [PORQUE, 2sen 2 θ = 1 – cos2θ y 2cos 2 θ = 1 + cos2θ]
tan 2 (45/2) = 1 – cos45°/1 + cos45°
tan 2 (45/2) = 1 – 1/√2/1 + 1/√2
tan(45/2) = √2 – 1
ZY/OZ = √2 – 1
OZ = a/2/√2 – 1
OZ = a/2 (1 + √2)
Área del triángulo XOY =1 × XY × Oz
1/2 a × a/2 (1 + √2)
un 2 /4 (1 + √2)
Ahora, Área del octágono = 8 × área del triángulo
Área del octágono = 8 × a 2 /4 (1 + √2)
Área del octágono = 2a 2 (1 + √2)
- Método II
Cuando un octágono regular se divide en partes que no se superponen, un octágono se puede subdividir en un cuadrado, cuatro rectángulos y cuatro triángulos isósceles en ángulo recto.
Aquí, a es la longitud del lado del octágono.
Ahora, el área del cuadrado, A sq = a 2
Entonces, el área del triángulo = A tr = 1/2 × x
Dónde,
x = √(a 2 /2)
Dado que, en un triángulo rectángulo, b 2 + h 2 = cuadrado de la hipotenusa = lado del octágono
Área del rectángulo, A rec = x × a
Entonces el área combinada del octágono dado será,
Área del octágono = A sq + 4 × A rec + 4 × A tr
- Método III
Un octágono se puede tomar como un cuadrado con cuatro triángulos unidos desde cada esquina del cuadrado.
por lo tanto, el lado del octágono ‘a’ será la hipotenusa del triángulo dado.
A 2 = 2x 2
Sea la longitud del lado del cuadrado 1 = a + 2x = a + 2√(a 2 /2)
[Ya que, x = √(a 2 /2)]
El área combinada del octágono será,
Área = (1 × 1) – 4 (1/2 x. x)
- Método IV
Un octágono regular también se puede conceptualizar como una composición de 4 cometas.
Sean las diagonales de las cometas d y w y el área será,
Área de la cometa = d × w/2
Tomemos la cometa AHOB del diagrama de arriba
∠HOB = 2π y HO = BO = r
Y, HB = √2r
Como AO = r
Área de AHOB = AO × HB × 2
√(2r) 2 /2
Área del octágono = 4 × Área de las cometas
Área del octágono = 2 × √(2r) 2
octágono irregular
A diferencia de un octágono regular, un octágono irregular no tiene lados ni ángulos congruentes entre sí. Por lo tanto, un octágono irregular también tiene ocho lados pero es desigual entre sí.
Los ángulos interiores en un octágono irregular son siempre desiguales pero su suma siempre es igual a 1080°
Fórmula del área de un octágono irregular,
Al igual que los octágonos regulares, los octógonos irregulares no tienen la fórmula derivada específica para el cálculo de su área. Entonces, para calcular el área de un octágono irregular, se divide en figuras más pequeñas como triángulos, cuadrados y rectángulos. y, más tarde, todas estas áreas se suman.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el área de un polígono regular con un lado de 3 cm.
Solución:
Dado:
El lado del octágono mide 3 cm.
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(3) 2 (1 + √2)
= 43,45 cm 2
Pregunta 2: Encuentra el área de un polígono regular con un lado de 2,5 cm.
Solución:
Dado:
El lado del octágono mide 2,5 cm.
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(2.5) 2 (1 + √2)
A = 30,17 cm2
Pregunta 3: Encuentra el área de un polígono regular con un lado de 7 cm.
Solución:
Dado:
El lado del octágono mide 7 cm.
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(7) 2 (1 + √2)
A = 236,59 cm 2
Pregunta 4: Encuentra el área de un polígono regular con un lado de 3,5 cm.
Solución:
Dado,
El lado del octágono mide 3,5 cm.
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(3.5) 2 (1 + √2)
A = 59,14 cm 2
Pregunta 5: Encuentra el área de un polígono regular con un lado de 6 cm.
Solución:
Dado,
El lado del octágono mide 6 cm.
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(6) 2 (1 + √2)
A = 173,82 cm2
Pregunta 6: Encuentra el área de un polígono regular con un lado de 5 cm.
Solución:
Dado,
El lado del octágono mide 6 cm.
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(5) 2 (1 + √2)
A = 120,71 cm2
Pregunta 7: Encuentra el área de un polígono regular con un lado de 10 cm.
Solución:
Dado,
El lado del octágono mide 10 cm.
Área de un octágono = 2a 2 (1 + √2)
A = 2(10) 2 (1 + √2)
A = 482,84 cm2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por punamsingh628700 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA