En geometría, los ángulos complementarios se pueden definir como aquellos ángulos cuya suma es 90 grados. Por ejemplo, 39° y 51° son ángulos complementarios, ya que la suma de 39° y 51° es 90°. Si la suma de dos ángulos es un ángulo recto, entonces podemos decir que son ángulos complementarios. Pero, ¿qué es un ángulo? En geometría, un ángulo se conoce como el espacio formado entre dos rayos cuando se unen por un punto común llamado vértice. Si θ es un ángulo, entonces (90° – θ) es el ángulo complementario de θ.
Para que dos ángulos sean complementarios, su suma debe ser de 90 grados, es decir, los dos ángulos deben ser agudos. Si θ es un ángulo, entonces (90° – θ) es el ángulo complementario de θ.
Tipos de ángulos complementarios
Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°. En geometría, hay dos tipos de ángulos complementarios, es decir, ángulos complementarios adyacentes y ángulos complementarios no adyacentes.
Ángulos complementarios adyacentes: dos ángulos complementarios que tienen un vértice común y un brazo común se denominan ángulos complementarios adyacentes.
De la figura dada, podemos decir que ∠QEF y ∠DEQ son ángulos adyacentes, ya que ambos ángulos comparten el vértice común “E” y el brazo común “EQ”. Como ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, ∠QEF y ∠DEQ también son ángulos complementarios. Por lo tanto, los dos ángulos dados son ángulos complementarios adyacentes.
Ángulos complementarios no adyacentes: se dice que dos ángulos son ángulos no adyacentes si no comparten un vértice común y un brazo común. Los ángulos complementarios no adyacentes son ángulos complementarios que no son adyacentes entre sí.
De la figura dada, podemos decir que ∠XYZ y ∠ABC son ángulos no adyacentes, ya que ambos ángulos no comparten un vértice común ni un brazo común. ∠XYZ y ∠ABC también son ángulos complementarios ya que su suma es 90°, es decir, ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Por lo tanto, los dos dados son ángulos complementarios no adyacentes.
Teorema de los ángulos complementarios
El teorema de los ángulos complementarios establece que “ si dos ángulos son complemento de cualquier tercer ángulo, entonces los dos primeros ángulos son congruentes entre sí”.
Prueba:
Supongamos que ∠COB es complementario de ∠BOA y ∠DOC.
De la definición de los ángulos complementarios obtenemos,
∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)
∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)
De las ecuaciones (1) y (2) podemos decir que,
∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC
⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA = ∠DOC
Por lo tanto, el teorema está probado.
Propiedades de los ángulos complementarios
Analicemos algunas propiedades de los ángulos complementarios.
- Se dice que un par de ángulos son complementarios si suman 90°.
- Los dos ángulos complementarios pueden ser adyacentes o no adyacentes.
- Se dice que un ángulo es complemento de otro ángulo si la suma de ambos ángulos es 90°.
- Aunque la suma de tres o más ángulos sea igual a 90°, no pueden ser complementarios.
- Los dos ángulos complementarios son agudos.
Hallar el complemento de un ángulo
Para encontrar el complemento de un ángulo, necesitamos restar el ángulo dado de 90°, ya que sabemos que la suma de dos ángulos complementarios es 90°. Si θ es el ángulo dado, entonces (90° – θ) es el complemento de θ.
Por ejemplo, calcula el complemento de 17°.
Sabemos que la suma de dos ángulos complementarios es 90°.
Como resultado, el complemento de 17° es (90° – 17°) = 73°.
Por lo tanto, el complemento de 17° es 73°.
Diferencia entre ángulos complementarios y suplementarios
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Ángulos complementarios |
Ángulos suplementarios |
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Si la suma de un par de ángulos es 90°, se dice que son complementarios. |
Si la suma de un par de ángulos es 180°, se dice que son suplementarios. |
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(90° – θ) es el complemento de un ángulo θ. |
(180° – θ) es el suplemento de un ángulo θ. |
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Si un par de complementarios se unen, entonces forman un ángulo recto. |
Si se unen un par de suplementarios, entonces forman una línea recta. |
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Para que dos ángulos sean complementarios, su suma debe ser de 90 grados, es decir, los dos ángulos deben ser agudos. |
En dos ángulos suplementarios, un ángulo es agudo y el otro es obtuso, o ambos pueden ser ángulos rectos. |
Problemas Resueltos
Problema 1: Calcula los valores de los dos ángulos complementarios, A y B, si A = (2x – 18)° y B = (5x – 52)°.
Solución:
Dados los datos,
∠A = (2x – 18)° y ∠B = (5x – 52)°
Lo sabemos,
Suma de dos ángulos complementarios = 90°
∠A + ∠B = 90°
⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°
⇒ 7x – 70° = 90°
⇒ 7x = 90° + 70° = 160°
⇒ x = 160°/7 = 22,85°
Ahora,
∠A = (2 × (22,857) – 18) = 27,714°
∠B = (5 × (22,857) – 52) = 62,286°
Por lo tanto, ∠A = 27,714° y ∠B = 62,286°.
Problema 2: Determina el valor de x si (5x/3) y (x/6) son ángulos complementarios.
Solución:
Dados los datos,
(5x/3) y (x/6) son ángulos complementarios.
Lo sabemos,
Suma de dos ángulos complementarios = 90°
⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°
⇒ (10x + x)/6 = 90°
⇒ 11x = 90° × 6 = 540°
⇒ x = 540°/11 = 49,09°
Por lo tanto, el valor de x = 49,09°.
Problema 3: Encuentra el valor de x en la figura que se muestra a continuación.
Solución:
De la figura dada podemos observar que x y 54° son ángulos complementarios, es decir, la suma de x y 54° es 90°.
⇒ x + 54° = 90°
⇒ x = 90° – 54° = 36°
Por lo tanto, el valor de x es 36°.
Problema 4: Encuentra el valor de y y la medida de los ángulos en la figura dada.
Solución:
De la figura dada, podemos observar que (2y – 15)° y (3y – 25)° son ángulos complementarios, es decir, la suma de (2y – 15)° y (3y – 25)° es 90°.
⇒ (2y – 15)° + (3y – 25)° = 90°
⇒ (5y – 40)° = 90°
⇒ 5y = 90° + 40° = 130°
⇒ y = 130°/5 = 26°
Ahora, (2y – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°
(3y – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°
Por tanto, el valor de y es 26° y los ángulos complementarios son 37° y 53°.
Problema 5: Determina el valor de x y la medida de los ángulos complementarios en la figura que se muestra a continuación.
Solución:
Dado que (x – 3)° y (2x – 7)° son ángulos complementarios, es decir, la suma de (x – 3)° y (2x – 7)° es 90°.
⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°
⇒ (3x – 10)° = 90°
⇒ 3x = 90° + 10° = 100°
⇒ x = 100°/3 = 33,34°
Ahora, (x – 3)° = (33.333- 3)° = 30.333° = 30.33°
(2x – 7)° = (2 × (33,333) – 7)° = 59,666° = 59,67°
Por tanto, el valor de x es 33,333° y los tres ángulos complementarios son 30,33° y 59,67°.
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA