¿Cómo encontrar el cubo de un número imaginario?

Todos podemos encontrar la raíz cuadrada de los números reales positivos, pero no fue posible con los números reales negativos. Por lo tanto, para encontrar las raíces de los números negativos, entra en juego el concepto de números complejos. Los números complejos son los números que son combinación de números reales e imaginarios. Se expresan en la forma x + iy donde x e y son números reales e i es la iota. x es la parte real mientras que iy es la parte imaginaria del número complejo. 

• Los números reales son aquellos que pueden ser positivos, negativos, cero, racionales, irracionales, etc. y se pueden trazar en la recta numérica. 
• Los números imaginarios son aquellos números que no se pueden trazar en la recta numérica y se representan en forma de ‘xi’ donde i es la iota yx es el número real. 

Por ejemplo, sea z = 2 + 5i un número complejo. La parte real de z es 2 y la parte imaginaria es 5i.

¿Qué pasa cuando elevas al cubo un número imaginario? 

Responder:

Dado que los números imaginarios son de la forma ‘xi’, donde x es el número real e i es iota. Entonces, cuando un número imaginario se eleva al cubo, el producto siempre da un resultado negativo.

Cuando “i”, el número imaginario se eleva al cuadrado, la respuesta que se obtiene es -1, 

yo = √(-1)

yo ² = -1

Ahora, para obtener el cubo del número imaginario, vuelve a multiplicar por i,

yo × yo ² = -yo

yo ³ = -yo

Más sobre Iota

El valor de iota es √-1. Para diferenciar la parte real de la parte imaginaria usamos iota. El papel de iota entra en juego cuando necesitamos encontrar la raíz cuadrada de un número negativo. 

1. El valor de i ² = -1
2. El valor de i ³ = -i
3. El valor de i ⁴ = 1

Algunas operaciones con números complejos

• Suma: cuando se suman dos números complejos, digamos, a + ib y x + iy, las partes reales se suman por separado y las partes imaginarias se suman por separado, es decir, 

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).

• Resta: Al igual que la suma, la resta también sigue la misma regla. Sean dos números complejos a + ib yx + iy. El resultado es, 

(a – x) + i(b – y)

• Multiplicación: cuando se multiplican dos números complejos, las partes reales se multiplican juntas, luego la parte real con la parte imaginaria y luego las partes imaginarias. 

(a + ib).(c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)

• Conjugado: significa inverso de signo. Si el operador es positivo, se convertirá en negativo y viceversa. 

(a + ib) = a – ib

• División: La división se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el cuadrado de √5i.

Solución:

(√5i) ² = √5i × √5i 

= -5i

Pregunta 2: Encuentra el valor de (-8i) ³

Solución: 

(-8i) ³ = -8 × -8 × -8 × yo × yo × yo 

= -512 × -i

= 512i

Pregunta 3: Encuentra el valor de (a + ib)²

Solución: 

Ampliando obtenemos,

(a + ib) ² = a ² + 2aib – b ²

Pregunta 4: Simplifica √-56.

Solución: 

56 se puede expresar en forma de 7 × 2 ³

Por lo tanto √-56 = √-(7 × 2³) 

= (√7 × 2³) × (√-1) 

= 2√14 yo

Pregunta 5: Encuentra el cuadrado de (-1 – 2i).

Solución: 

(-1 – 2i) ² = [-(1 + 2i)] ² 

= (1) ² + 2 × (1) × (2i) + (2i) ² 

= 1 – 4 + 4i 

= -3 + 4i

Pregunta 6: Encuentra el cubo de 5i.

Solución: 

(5i) ³ = 5 × 5 × 5 × yo × yo × yo 

= 125 × (-i) 

= -125i

Pregunta 7: Encuentra el valor de (a – ib) ²

Solución: 

(a – ib) ² = (a) ² – 2 × a × (bi) + (bi) ² 

= a ² – 2iab -b ²