Cuando una ecuación cuadrática se representa gráficamente con forma de U, se llama parábola. Una parábola también se puede definir como una curva plana donde cualquier punto de esa curva es equidistante de un punto fijo, el foco. El punto de inflexión de cualquier curva o parábola es el punto en el que su dirección cambia de arriba a abajo o viceversa. El punto de inflexión de una parábola se llama vértice. La forma estándar de la parábola es y = ax 2 + bx + c. La forma de vértice de la parábola con vértice (h, k) es y = a(x – h) 2 + k.
Punto de inflexión de la parábola
Para obtener el punto de inflexión o vértice (h, k) de la parábola, podemos transformar esta ecuación a la forma de vértice de la parábola: y = a(x – h) 2+ k. Podemos realizar esto utilizando el método «Completar los cuadrados».
- Restar c de LHS y RHS.
y – c = hacha 2 + bx
- Tome «a» como un factor común en la RHS.
y – c = a(x 2 + (b/a)x)
- Agregue el término a(b / 2a) 2 tanto a RHS como a LHS.
y – c + (b 2 /4a) = a(x 2 + (b/a)x + (b /2a) 2 )
- Ahora la ecuación en RHS es de la forma (m + n) 2 .
y – (c + (b 2 /4a)) = a(x + (b/2a) 2 )
Al comparar esta ecuación con la forma de vértice de la parábola, podemos observar la siguiente relación entre los valores de a, b, c y h, k.
Vértice (h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
Problemas de muestra
Problema 1: Encuentra el punto de inflexión de una parábola definida por la ecuación y = 5x 2 + 3x + 2.
Solución:
Dado, y = 5x 2 + 3x + 2: a = 5 b = 3 c = 2
Usando la fórmula mencionada anteriormente, (h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
⇒ h = -3/(2 × 5) = -3/10 = 0,3
⇒ k = 2 – (3 × 3)/(4 × 5) = 2 – (9/20) = 1,55
Entonces, (h, k) = (0.3, 1.55)
Problema 2: Dada la función F(x) = 7x 2 + 5x + 8, encuentre el valor de x para el cual es creciente.
Solución:
La ecuación, 7x 2 + 5x + 8 está en forma de parábola.
Donde, a = 7, b = 5 y c = 8
Sabemos que para a > 0, la parábola tiene una dirección ascendente o creciente para x > h.
Usando la fórmula mencionada anteriormente, (h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
⇒ h = -5/(2 × 7) = -5/14 = -0,357
Entonces, la función es creciente para (x > -0.357)
Problema 3: ¿Cuál es el valor mínimo de la función y = 3x 2 + 8x + 1?
Solución:
La ecuación y = 3x 2 + 8x + 1 tiene la forma de una parábola.
Donde, a = 3, b = 8 y c = 1
Sabemos que para a > 0, la parábola tiene su valor mínimo en su vértice.
Usando la fórmula mencionada anteriormente, Vértice V (h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
⇒ h = -8/(2 × 3) = -8/6 = -1,33
⇒ k = 1 – (8 × 8/(4 × 3)) = 1 – (64/12) = -4,33
Por lo tanto, el valor mínimo de la función está en (-1.33, -4.33).
Problema 4: Encuentra el punto de inflexión de una parábola definida por la ecuación y = 1x 2 + 2x + 3.
Solución:
Dado, y = 1x 2 + 2x + 3,
un = 1
segundo = 2
c = 3
Usando la fórmula mencionada anteriormente, el punto de inflexión o el vértice es,
(h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
⇒ h = -2/(2 × 1) = -1
⇒ k = 3 – (2 × 2/4) = 2
Entonces, (h, k) = (-1, 2)
Problema 5: Dada la función F(x) = -2x 2 + 2x + 1, encuentre el valor de x para el cual es decreciente.
Solución:
La ecuación, -2x 2 + 2x + 1 tiene la forma de una parábola.
Donde, a = -2, b = 2 y c = 1
Sabemos que para a < 0, la parábola tiene una dirección descendente o decreciente para x > h.
Usando la fórmula mencionada anteriormente,
(h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
⇒ h = -2/(2 × (-2)) = 1/2 = 0,5
Entonces, la función es creciente para (x > 0.5).
Problema 6: Cuál es el vértice de la parábola y = -8x 2 + 8x + 1.
Solución:
Dado y = -8x 2 + 8x + 1:
un = -8
b = 8
c = 1
Usando la fórmula mencionada anteriormente,(h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
⇒ h = -8/(2 × (-8)) = 1/2 = 0,5
⇒ k = 1 – (8 × 8/(4 × (-8))) = 1 + (64/32) = 3
Entonces, (h, k) = (0.5, 3)
Problema 7: Dada la función y = -9x 2 + 2x + 5, encuentra el punto máximo de la curva.
Solución:
La ecuación y = -9x 2 + 2x + 5 tiene la forma de una parábola.
Donde, a = -9, b = 2 y c = 5
Sabemos que para a < 0, el punto máximo de la parábola está en (h, k).
Usando la fórmula mencionada anteriormente,(h, k) = (-b/2a, c – (b 2 /4a))
⇒ h = -2/(2 × (-9)) = 1/9 = 0,11
Entonces, la función es creciente para (x > 0.5)