¿Cómo encontrar el trinomio cuadrado perfecto?

El cuadrado perfecto es un número que se obtiene multiplicando el número por sí mismo. De igual forma el trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica que se obtiene multiplicando dos binomios iguales. Un trinomio es una expresión que consta de tres términos, mientras que un binomio consta de dos términos, es decir, una variable y una constante, que están separados por el signo «+» o «-«. Incluso en el trinomio también los términos están separados por el signo «+» o «-«. Generalmente, el trinomio cuadrado perfecto existe en dos formas. es decir, a ² + 2ab + b ² o a ² – 2ab + b ² . Ahora veamos los pasos para encontrar el trinomio cuadrado perfecto del binomio dado y viceversa.

Fórmula Trinomio Cuadrado Perfecto

Podemos determinar si el trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto o no mediante una fórmula simple. Consideremos un trinomio ax ² + bx + c donde x es una variable y a, b, c son constantes, entonces el trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto si y solo si satisface la siguiente condición

b ² – 4ac = 0

a, b, c son constantes.

Pasos para encontrar un trinomio cuadrado perfecto a partir de un binomio

Entonces, el primer término del trinomio es el cuadrado del primer término del binomio. El segundo término es el doble del producto de dos términos del binomio. El tercer término del trinomio es el cuadrado del segundo término del binomio. Si el binomio tiene signo positivo, entonces todos los términos del trinomio formado al elevar al binomio al cuadrado son positivos. Si el binomio tiene signo negativo, el segundo término del trinomio cuadrado perfecto tendrá signo negativo.

(a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

(a – b) ² = a ² – 2ab + b ²

Aquí a, b son los términos primero y segundo de un binomio.

A continuación se muestran los pasos básicos que se deben seguir para encontrar el trinomio cuadrado perfecto del binomio,

1. Encuentra el cuadrado del primer término del binomio.
2. Multiplica el primer término y el segundo término del binomio por 2.
3. Encuentra el cuadrado del segundo término del binomio.
4. Suma los tres términos obtenidos en los pasos anteriores.

Pasos para factorizar el Trinomio Cuadrado Perfecto

1. Escriba el trinomio cuadrado perfecto en la forma a ² + 2ab + b ² o a ² – 2ab + b ² donde el primer y tercer término son cuadrados perfectos, siendo uno variable y el otro constante.
2. Además, el término medio es el doble del producto del primer y tercer término.
3. Si el término medio tiene signo positivo, los factores de un trinomio son (a+b)(a+b). De lo contrario (ab)(ab).

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

a ² – 2ab + b ² = (a – b) ²

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Comprueba que el trinomio dado x ² + 4x + 4 es un trinomio cuadrado perfecto o no.

Solución:

Dado el trinomio, x ² + 4x + 4

Al comparar el trinomio dado con ax ² + bx + c

a = 1, b = 4, c = 4

b ² – 4ac = 4 ² – 4 × 1 × 4

= 16 – 16

= 0

b ² – 4ac = 0, Entonces el trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto.

Pregunta 2: Comprueba que el trinomio dado x ² + 3x – 2 es un trinomio cuadrado perfecto o no.

Solución:

Dado el trinomio, x ² + 3x – 2

Al comparar el trinomio dado con ax ² + bx + c

a = 1, b = 3, c = -2

b ² – 4ac = 3 ² – 4 × 1 × 2

= 9 – 8

= 1

b ² – 4ac ≠ 0, Entonces, el trinomio dado no es un trinomio cuadrado perfecto.

Pregunta 3: Encuentra los factores del trinomio cuadrado perfecto dado x ² – 6x + 9.

Solución:

Dado el trinomio, x ² – 6x + 9

Se puede reescribir como x ² – 2(3)x + 3 ² que es de la forma a ² – 2ab + b ² por lo que los factores son (a – b)(a – b)

Donde a = x, b = 3

Entonces, los factores del trinomio cuadrado perfecto dado son (x – 3)(x – 3)

Pregunta 4: Encuentra los factores del trinomio cuadrado perfecto dado x ² + 8x + 16.

Solución:

Dado el trinomio, x ² + 8x + 16

Se puede reescribir como x ² + 2(4)x + 4 ² que tiene la forma a ² + 2ab + b ² por lo que los factores son (a + b)(a + b)

Donde a = x, b = 4

Entonces, los factores del trinomio cuadrado perfecto dado son (x + 4)(x + 4)

Pregunta 5: Encuentra el trinomio cuadrado perfecto para el binomio (x + 5).

Solución:

Dado binomio, x + 5

El trinomio cuadrado perfecto para un binomio de la forma a + b es a ² + 2ab + b ²

Del polinomio dado a = x, b = 5

a ² + 2ab + b ² = x ² + 2(5)x + 5 ²

= x2 ⁺ 10x + 25

Entonces, x ² + 10x + 25 es el trinomio cuadrado perfecto para el binomio dado.

Pregunta 6: Encuentra el trinomio cuadrado perfecto para el binomio (2x – 1).

Solución:

Dado binomio, 2x – 1

El trinomio cuadrado perfecto para un binomio de la forma a – b es a ² – 2ab + b ²

Del polinomio dado a = 2x, b = 1

a ² – 2ab + b ² = (2x) ² – 2(1)(2x) + 1 ²

= 4x ^​​2 – 4x + 1

Entonces, 4x ² – 4x + 1 es el trinomio cuadrado perfecto para el binomio dado.